李建波

【摘要】 二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)一塊很重要的知識(shí)點(diǎn)，三項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)問(wèn)題頻繁出現(xiàn)在各類大小考試中，此類問(wèn)題既是高考的重要考點(diǎn)也是學(xué)生的難點(diǎn)，因此，本文分別介紹三項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)問(wèn)題的四種處理方法（定義法、分解因式法、分組法、賦值法），供大家參考借鑒.

【關(guān)鍵詞】 三項(xiàng)式;分解因式法;分組法

三次項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)問(wèn)題既是高考重點(diǎn)也是學(xué)生難點(diǎn)，下面介紹四種破解之法.

一、定義法

定義法是利用乘方的定義、多項(xiàng)式運(yùn)算法解決問(wèn)題的方法.

例1 ??求（1+2x-3x2）6展開(kāi)式中含x5項(xiàng)的系數(shù).

解 ?將（1+2x-3x2）6看成六個(gè)相同的因式相乘，根據(jù)組合的定義和多項(xiàng)式乘法法則可以將x5項(xiàng)的系數(shù)分為三類.（?。┰?個(gè)因式中取兩個(gè)-3x2，一個(gè)2x，三個(gè)1，則乘積含有x5項(xiàng)有C26C14C33種取法，此種取法對(duì)應(yīng)的系數(shù)為C26C14C33（-3）2×21×13=1 080.（ⅱ）在6個(gè)因式中取一個(gè)-3x2，三個(gè)2x，兩個(gè)1，則乘積含有x5項(xiàng)有C16C35C22種取法，此種取法對(duì)應(yīng)的系數(shù)為C16C25C22（-3）1×23×12=-1 440.（ⅲ）在6個(gè)因式中取零個(gè)-3x2，五個(gè)2x，一個(gè)1，則乘積含有x5項(xiàng)有C56C11種取法，此種取法對(duì)應(yīng)的系數(shù)為C56C11（-3）0×25×11=192.

所以x5的系數(shù)為1 080-1 440+192=-168.

二、分解因式法

分解因式法是將三項(xiàng)式分解成兩個(gè)二項(xiàng)式的積，再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)求解的方法.

例2 ??求（x2+3x+2）5的展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù).

解 ?（x2+3x+2）5=[（x+1）（x+2）]5=（x+1）5（x+2）5=（C05x0+C15x1C25x2+…+C55x5）·（C0525x0+C1524x1+C2523x2+…+C5525x0），

所以x的系數(shù)為C05C15·24+C15C05·25=240.

三、分組法

分組法是將三項(xiàng)式添加括號(hào)變成兩項(xiàng)，再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)的方法.

例3 ??求（x-x-1-1）5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

解 ?（x-x-1-1）5=[（x-x-1）-1]5=C05（x-x-1）5+C15（x-x-1）4（-1）1+…+C45（x-x-1）1（-1）4+C55（-1）5，

利用二項(xiàng)式定理知：

（x-x-1）n的展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)為

Tr+1=Crnxn-r（-x-1）r=Crn（-1）rxn-2r.

令n-2r=0，其中0≤r≤n≤5，且均為整數(shù)，可得兩組解，分別為 n=4， r=2 ?或者 n=2， r=1.

所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為C15C24（-1）2×（-1）+C35（-2）×（-1）3+C55（-1）5=-11.

四、賦值法

賦值法是將三項(xiàng)式展開(kāi)式的一般表達(dá)式取特殊值求解的方法.

例4 ??求（1+x+x2）11的展開(kāi)式中偶次項(xiàng)系數(shù)和.

解 ?由題可知（1+x+x2）11最高次項(xiàng)為x22，故可將展開(kāi)式設(shè)為：

（1+x+x2）11=b0+b1x1+b2x2+b3x3+…+b22x22.

令x=1，有b0+b1+b2+…+b22=311， ①

令x=-1，有b0-b1+b2-…+b22=1. ②

由①+②得b0+b2+b4+…+b22= 311+1 2 ，故偶次項(xiàng)系數(shù)和為 311+1 2 .

【參考文獻(xiàn)】

[1]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]普通高中數(shù)學(xué)教材（選修2-3）[M].北京：人民教育出版社，2007.