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        求解三項式的展開式系數(shù)問題的兩個“妙招”

        2024-01-01 00:00:00凌蘇建
        關鍵詞:三項式因式展開式

        形如(a+b+c)n的三項式的展開式系數(shù)問題通常較為復雜,其中涉及的項數(shù)較多,且運算量較大,同學們經常在解題時出現(xiàn)錯誤.下面筆者介紹兩種解答三項式的展開式系數(shù)問題的兩個“妙招”.

        一、巧用二項式定理

        二項式定理:(a + b) n = C0 nan + C1 nan - 1 b + C2 nan - 2 b 2 + …+ Cr nan - r b r +…+ Cn nb n ,其二項展開式的通項公式為 Tr + 1 = Cr nan - r b r (r = 0,1,2,…,n) .在求解三項式的展開式系數(shù)問題時,通常需將三項式中的兩項看作一個整體,如 (a + b + c) n =[(a + b)+ c] n ,把三項式視為二項式,以利用二項式定理將其展開,根據其通項公式來求展開式的系數(shù).

        例1

        解:

        先將 x 2 + x 視為一個整體,利用二項式定理將 [(x ] 2 + x)+ y 5 展開,根據其通項公式求得Tr + 1 = Cr 5(x 2 + x) 5 - r yr ;然后利用二項式定理將 (x 2 + x) 3 展開,根據其通項公式求得 Tt + 1 = Ct 3 x 6 - t ;再令t = 1,即可求得 x 5 y2 的系數(shù).

        例2

        解:

        由于 ( x 2 + 1 x + 2) 5 =[( x 2 + 1 x )+ 2] 5 ,所以分別將 [( x 2 + 1 x )+ 2] 5 、( x 2 + 1 x ) 5 - k 視為二項式,利用二項式定理求得其通項.然后根據各個變量的次數(shù)均為正整數(shù),分別令 k = 1、r = 2 ,k = 3、r = 1 ,k = 5、r = 0 ,從而求得常數(shù)項.

        二、妙用乘法計數(shù)原理

        利用乘法計數(shù)原理求解三項式的展開式系數(shù)問題,需先把 (a + b + c) n 看作 n 個 (a + b + c) 之積,然后在 n 個 (a + b + c) 中選出 p 個因式從中抽取 a ;再在剩下的 n - p 個 (a + b + c) 中選出 q 個因式從中抽取 b ;最后在 n - p - q 個(a + b + c)中選出 r 個因式從中抽取 c ,從而得出 a p b q c r 的系數(shù)為Cp nCq n - pCr n - p - q = n! p!q!r! (p + q + r = n) .

        以例1為例.

        解:

        一般地,需要幾個x,就從幾個因式中抽取幾個x,需要幾個y就從幾個因式中抽取幾個y,最后將抽取的變量和組合數(shù)相乘,即可得到對應項及其系數(shù).

        以例2為例.

        解:

        解答本題需分三種情況進行討論,(1)從5個因式中全部取 2 相乘;(2)從 5 個因式中取 1 個 x 2 、1 個 1 x 、3個 2 相乘;(3)從5個因式中取2個 x 2 、2個 1 x 、1 個 2 相乘,然后運用乘法計數(shù)原理求解.

        例3

        一般地,(a + b + c) n = Cr nCs ran - r b r - s c s 的中 Cr n 表示在 n 個因式 (a + b + c) 中選出 n - r 個因式從中抽取 a ,Cs r 表示在余下的 r 個因式 (a + b + c) 中選出 s 個因式從中抽取 c ,再從余下的 r - s 個因式 (a + b + c) 中抽取 b .

        例4

        我們也可以把(a + b + c) 3 看作(a + b + c)(a + b + c) 2 , 然后利用多項式的乘法公式得到 a?2bc + b?2ac +c?2ab ,那么含 a2 c 的項可以由 a?2ac + c?a2 得到,所以abc的系數(shù)為 6 ,a2 c 的系數(shù)為 3 .

        對于三項式的展開式系數(shù)問題,常規(guī)的解法是利用二項式定理將其展開,但是過程較為復雜,且容易出錯.而利用乘法計數(shù)原理,可使問題巧妙獲解,但同學們需轉換解題的思路,靈活運用乘法計數(shù)原理以及組合知識來解題.

        (作者單位:江蘇省如東縣掘港高級中學)

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