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        靈活多變求幾何圖形陰影面積

        2012-08-27 02:41:46湖北仙桃市三伏潭一中王丹仿
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年2期

        ☉湖北仙桃市三伏潭一中 王丹仿

        探求與圓有關(guān)的陰影面積一直是中考命題的一種題型,尤其是近幾年來,考題新穎,還有一定的難度.不少同學(xué)對這類題型感到頭疼.為了幫助同學(xué)們掌握這類題型的解題方法,特作如下歸納總結(jié).

        一、規(guī)則圖形求差法

        有些陰影部分是由一些規(guī)則圖形拼接后留下的空當,這類問題可以先求出規(guī)則圖形的面積,再求差即可解決.

        點評:仔細觀察圖形,搞清陰影部分的構(gòu)成情況,是正確求解的基礎(chǔ).

        例2 如圖2,圓心角都是90°,半徑分別為3和1的扇形AOB與扇形COD按圖示方法疊放在一起,連接AC、BD,求圖中陰影部分的面積.

        分析:圖中陰影部分看起來比較復(fù)雜,但仔細觀察就會發(fā)現(xiàn),由于△AOC≌△BOD,若將△BOD逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△AOC的位置后,陰影部分的面積實際上是兩個半徑分別為3和1的扇形面積之差.

        解:因為OA=OB,∠AOC=∠BOD,OC=OD

        所以△AOC≌△BOD.

        點評:圖中陰影部分也可看做將扇形COD逆時針旋轉(zhuǎn)∠AOC的度數(shù)后,扇形AOB與扇形COD面積之差.

        二、轉(zhuǎn)化圖形求和法

        有些陰影部分的面積,直接求比較困難,需要利用等積變換轉(zhuǎn)化為其他圖形的面積.

        例3 如圖3,半圓的直徑AB=40,C、D是這個半圓的三等分點,求弦AC、AD和弧CD圍成的陰影部分的面積.

        分析:不難證明CD∥AB,圖中陰影部分是弓形CD和△ADC面積之和,利用S△ADC=S△DOC, 即可將陰影部分轉(zhuǎn)化為扇形COD.

        解:因為C、D是半圓的三等分點,所以∠COD=∠AOC=∠BOD=60°.

        因為OC=OD,

        所以△COD是等邊三角形.

        所以∠DCO=∠CDO=60°.

        所以CD∥AB.

        點評:利用平行線間的距離處處相等可進行等積變換.

        三、分割圖形求差法

        有些陰影部分整體求比較困難,可以先分割為幾個部分,分別求面積后,再相加.

        例4 如圖4,同學(xué)們要在一塊邊長為a的正方形空地上種草,他們設(shè)計了如下圖案,其中陰影部分為綠化面積,求綠化面積.

        分析:圖中陰影部分可通過連接BD將其分割成兩塊,先求出其一半,即可得整個陰影部分的面積.

        解:連接BD.

        點評:(1)本題將陰影部分先分割為兩個相同部分,再將其中的一部分分割為一個扇形和一個三角形面積之差.

        (2)圖中陰影部分的面積也可看成由扇形ABD加扇形BCD的面積再減去正方形ABCD的面積求得.

        總之,求陰影部分的面積要在分清類別的情況下,采取相應(yīng)的對策.當然,各種方法之間并無絕對界限,解決問題的途徑不一定只有一個,只要同學(xué)們多思考多觀察,一定會找到相應(yīng)的對策,甚至能一題多解.

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