☉河南濮陽(yáng)市四中 劉建營(yíng)

數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)思維的學(xué)科，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)要能夠舉一反三，有時(shí)對(duì)一道題深入研究，嘗試用不同的解法來(lái)解，可以開發(fā)學(xué)生的智力，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.下面舉例分析.

例 題 如圖1，△ABC中，∠CAB=∠CBA，D是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AD=BF，DF交AB于E.求證：EF=ED.

分析：本題是證明線段相等的題目，此題不可能通過(guò)直接證兩個(gè)三角形全等來(lái)得出結(jié)論，因此必須通過(guò)添加輔助線，添加方法不同，便得到不同的解題思路（如三角形全等、中位線定理、相似三角形等）.

證法一：過(guò)D作DG∥CF交AB于點(diǎn)G，則有：

∠DGA=∠CBA.

因?yàn)椤螩AB=∠CBA，

所以∠DGA=∠CAB=∠DAG.

所以AD=DG.

因?yàn)锳D=BF，

所以DG=BF.

又因?yàn)镈G∥CF，

所以∠GDE=∠EFB.

又因?yàn)椤螱ED=∠FEB（對(duì)頂角相等），

所以△DGE≌△FBE.

所以EF=ED.

證法二：過(guò)D作DH∥AB交BC于H，則有：

∠CHD=∠CBA，

∠CDH=∠CAB.

因?yàn)椤螩AB=∠CBA，

所以CA=CB，∠CHD=∠CDH.

所以CH=CD.

所以BH=AD.

因?yàn)锳D=BF，

所以BH=BF.

又因?yàn)镋B∥DH，

所以BE是△DFH的中位線.

所以EF=ED.

證法三：過(guò)F點(diǎn)作FM∥AC交AB的延長(zhǎng)線于M，則有：

∠FMB=∠CAB.

因?yàn)椤螩BA=∠CAB，∠CBA=∠FBM

所以∠FMB=∠FBM.

所以FM=FB.

因?yàn)锳D=BF，

所以FM=AD.

因?yàn)椤螰ME=∠CAB=∠DAE，

∠FEM=∠DEA，

所以△FME≌△DAE.

所以EF=ED.

證法四：過(guò)F點(diǎn)作FK∥AB交CA的延長(zhǎng)線于K.

因?yàn)镕K∥AB，∠CBA=∠CAB，

所以AC=BC，CF=CK.

所以AK=FB.

因?yàn)锳D=BF，

所以AK=AD.

又因?yàn)镕K∥AB，

所以AE是△DFK的中位線.

所以EF=ED.

證法五：過(guò)C點(diǎn)作CN∥DF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則△FBE∽△CBN.

所以EF=ED.

證法六：過(guò)C點(diǎn)作CP∥AB交FD的延長(zhǎng)線于P，

因?yàn)锳B∥CP，

所以EF=ED.

當(dāng)然，此題還有其他證法，有興趣的讀者可以繼續(xù)探討.在教學(xué)中，多對(duì)學(xué)生進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的靈活分析、解決問(wèn)題的能力，可以起到事半功倍的效果.