☉江蘇興化市板橋初級(jí)中學(xué) 張仁榮

函數(shù)最值問題，是函數(shù)中的熱點(diǎn)問題，如求利潤(rùn)的最大值，費(fèi)用的最小值等問題中常會(huì)出現(xiàn).解決此類問題要構(gòu)建合理的函數(shù)模型，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化并運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決問題.

一、構(gòu)建一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題中的最值問題

一次函數(shù)的單調(diào)性受比例系數(shù)k影響，當(dāng)k＞0時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨著x的增大而減小.所以一次函數(shù)在定義域內(nèi)并無最大值或最小值，但在實(shí)際問題中一次函數(shù)的自變量的取值有一定的范圍，所以可以根據(jù)此范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來求解最值問題.

例1 某電器商城“家電下鄉(xiāng)”指定型號(hào)冰箱、彩電的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示：

類別 冰箱 彩電進(jìn)價(jià)（元/臺(tái)） 2320 1900售價(jià)（元/臺(tái)） 2420 1980

（1）按國(guó)家政策，農(nóng)民購(gòu)買“家電下鄉(xiāng)”產(chǎn)品享受售價(jià)13%的政府補(bǔ)貼.農(nóng)民田大伯到該商場(chǎng)購(gòu)買了冰箱、彩電各一臺(tái)，可以享受多少元的補(bǔ)貼？

分析：由題可知商場(chǎng)的利潤(rùn)等于銷售冰箱的利潤(rùn)和銷售彩電的利潤(rùn)之和，所以根據(jù)“單件利潤(rùn)×數(shù)量=總利潤(rùn)”找出總利潤(rùn)y與x間的函數(shù)關(guān)系式.最后根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，從而解決問題.

解：（1）（2420+1980）×13%=572.

（2）①設(shè)冰箱采購(gòu)x臺(tái)，則彩電采購(gòu)（40-x）臺(tái)，根據(jù)題意得：

因?yàn)閤為整數(shù)，所以x=19、20、21.

方案一：冰箱購(gòu)買19臺(tái)，彩電購(gòu)買21臺(tái).

方案二：冰箱購(gòu)買20臺(tái)，彩電購(gòu)買20臺(tái).

方案三：冰箱購(gòu)買21臺(tái)，彩電購(gòu)買19臺(tái).

設(shè)商場(chǎng)獲得總利潤(rùn)為y元，則：

因?yàn)?0＞0，所以y隨x的增大而增大.

所以當(dāng)x=21時(shí)，y最大=20×21+3200=3620.

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)建一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題中的最值問題，關(guān)鍵要注意兩點(diǎn)：一要根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，二要求出一次函數(shù)的自變量的取值范圍.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值或最小值，從而解決實(shí)際問題.

二、構(gòu)建二次函數(shù)模型解決生活中利潤(rùn)最大值問題

例2 今年我國(guó)多個(gè)省市遭受嚴(yán)重干旱.受旱災(zāi)的影響，4月份，我市某蔬菜價(jià)格呈上升趨勢(shì)，其前四周每周的平均銷售價(jià)格變化如下表：

（1）請(qǐng)觀察題中的表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)直接寫出4月份y與x所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并求出5月份y與x所滿足的二次函數(shù)關(guān)系式.

分析：由題意可知，4月份銷售利潤(rùn)=銷售總價(jià)-成本，滿足一次函數(shù)關(guān)系，可以根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；5月份的銷售利潤(rùn)與x滿足二次函數(shù)關(guān)系，可以借助二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出函數(shù)的最大值，解決利潤(rùn)最大值問題.

解：（1）4月份y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式為y=0.2x+1.8.

所以五月份y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式為y=-0.05x2-0.25x+3.1.

（2）設(shè)4月份第x周銷售此種蔬菜1千克的利潤(rùn)為W1元，5月份第x周銷售此種蔬菜1千克的利潤(rùn)為W2元.

因?yàn)?0.05＜0，所以W1隨x的增大而減小.

所以當(dāng)x=1時(shí)，W1最大=-0.05+0.6=0.55.

所以x＞-0.5時(shí)，y隨x的增大而減小.

所以當(dāng)x=1時(shí)，W2最大=1.

所以4月份銷售此種蔬菜1千克的利潤(rùn)在第1周最大，最大利潤(rùn)為0.55元；5月份銷售此種蔬菜1千克的利潤(rùn)在第1周最大，最大利潤(rùn)為1元.

點(diǎn)評(píng)：在實(shí)際問題中，如果兩變量滿足二次函數(shù)關(guān)系時(shí)，可構(gòu)建二次函數(shù)模型并通過對(duì)二次函數(shù)的最值的求解，解決實(shí)際中的最值問題.

函數(shù)的最值問題在實(shí)際運(yùn)用中比較廣泛，也是學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)內(nèi)容，解題的關(guān)鍵要從實(shí)際生活中抽象出數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的求解，來解決實(shí)際問題.