☉甘肅省通渭縣通和初級中學(xué) 張守榮

評價一節(jié)課好壞的標(biāo)準(zhǔn)就是教學(xué)目標(biāo)達(dá)到了沒有，教學(xué)重難點(diǎn)突破了沒有及教學(xué)效果如何.一般情況下，一節(jié)課的教學(xué)目的，教學(xué)重難點(diǎn)都是非常明確的.教師在備課時都是從這幾個方面來下功夫的.有經(jīng)驗(yàn)的教師在備課時做到備學(xué)生、備教材、備教法.筆者在平時的教學(xué)中也是這樣做的，教學(xué)效果不錯，成績名列前茅.但是有這樣一節(jié)課，卻是學(xué)生“牽著”教師的“鼻子”走，“由不得”筆者了.那就先從這節(jié)課的備課說起吧.

教材內(nèi)容：新人教版數(shù)學(xué)七年級下冊《7.3.2多邊形的內(nèi)角和》.

教學(xué)目的：使學(xué)生了解多邊形的內(nèi)角、外角等概念，且能通過不同方法探索多邊形的內(nèi)角和、外角和公式并會應(yīng)用它們進(jìn)行有關(guān)的計算.

教學(xué)重點(diǎn)：多邊形的內(nèi)角和、外角和公式.

教學(xué)難點(diǎn)：多邊形內(nèi)角和定理的探索.

教學(xué)流程：首先介紹多邊形的內(nèi)角、外角的概念，然后以四邊形為例探索幾種內(nèi)角和定理的推導(dǎo)過程，再以四邊形為例探索外角和公式，最后拓展到多邊形的內(nèi)角和、外角和公式，同時做幾道相關(guān)的練習(xí).

介紹概念后提出問題：如何證明四邊形內(nèi)角和定理？如何把未知的知識轉(zhuǎn)化為已知的知識？未知的是什么？已知的是什么？

圖1

學(xué)生A：未知的是四邊形的內(nèi)角和，已知的是三角形的內(nèi)角和，連接一條對角線，就可分成兩個三角形，四邊形的內(nèi)角和等于兩個三角形的內(nèi)角和.如圖1.

證明：∠DAB+∠B+∠BCD+∠D

=（∠CAB+∠B+∠BCA）+（∠DAC+∠ACD+∠D）

=180°+180°

=360°.

這是所有人都能想到的方法.

“還可以在四邊形的內(nèi)部任找一點(diǎn)，把這點(diǎn)和所有頂點(diǎn)連接，就可分成四個三角形.”沒等我誘導(dǎo)其他方法，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情高的學(xué)生B搶先說了.

“嗯！不錯，但這時四邊形被分成了四個三角形，已經(jīng)知道四邊形的內(nèi)角和等于360°，難道四邊形的內(nèi)角和也可以等于180°×4=720°？”

大家稍一沉默，學(xué)生C站起來說：“從四邊形內(nèi)部的這點(diǎn)引出的角不是四邊形的內(nèi)角，應(yīng)當(dāng)把這個角減去，而它正好是一個周角，剩下的就是360°.”

圖2

“噢！是這樣，多角度解決數(shù)學(xué)問題是我們學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.”我不失時機(jī)地B贊揚(yáng)一下，并把證明過程用幻燈片展示如下（如圖2）.

證明：∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA

=（∠OAB+∠ABO+∠BOA）+（∠OBC+∠BCO+∠COB）+（∠OCD+∠CDO+∠DOC）+（∠ODA+∠DAO+∠AOD）-（∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA）

=180°×4－360°

=360°.

“也許我們還有其他方法，大家能不能想出來？”有了不同方法后我趁機(jī)誘導(dǎo)大家.

圖3

大家沉默片刻后，學(xué)生D站起來說：“我可以在某一條邊上選一點(diǎn)，然后把這點(diǎn)和不相鄰的兩個頂點(diǎn)連接，可構(gòu)成三個三角形，四邊形的內(nèi)角和等于三個三角形的內(nèi)角和減去由這個點(diǎn)引出的三個角構(gòu)成的平角（如圖3）.”

這時同學(xué)們投來了贊許的目光.（幻燈片展示證明過程）

證明：∠A+∠B+∠BCD+∠CDA

=（∠A+∠AOD+∠ODA）+（∠B+∠BCO+∠COB）+（∠OCD+∠CDO+∠DOC）-（∠AOD+∠DOC+∠COB）

=180°×3-180°

=360°.

看得出許多學(xué)生露出滿意的笑容，在課前準(zhǔn)備的三種方法也順利地由學(xué)生“交代”出來，我們又一起回顧了四邊形內(nèi)角和定理的三種證明方法，正準(zhǔn)備下一環(huán)節(jié)的內(nèi)容，突然喜歡鉆研數(shù)學(xué)的學(xué)生E站起來說：“老師，既然點(diǎn)不僅可以選在四邊形內(nèi)部，還可以選四邊形的邊上，那么能不能把點(diǎn)選在四邊形的外部哪？”

大家都被這突如其來的問題弄“悶”了.不討論吧，打擊學(xué)習(xí)熱情，討論吧，影響教學(xué)進(jìn)程，還是“草草”討論，來個兩全其美.“到底怎么樣，大家討論一下吧.”大家七嘴八舌地開始討論了.

片刻之后，學(xué)生F舉手：“這樣也可以，在四邊形外找一點(diǎn)，然后把這點(diǎn)和四個頂點(diǎn)依次連接，四邊形的內(nèi)角和就為三個三角形內(nèi)角和減去外面三角形的內(nèi)角和（如圖4）.”

課前沒有準(zhǔn)備這種解法，幻燈片不能及時展示，只能讓該生板演過程.

證明：∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA

=（∠OAB+∠ABO+∠BOA）+（∠OBC+∠BCO+∠COB）+（∠OCD+∠CDO+∠DOC）-（∠OAD+∠ADO+∠DOA）

=180°×3-180°

=360°.

這時一看時間，已經(jīng)過去了近二十分鐘，看來今天的教學(xué)任務(wù)完不成了，“一不做二不休”，干脆就此總結(jié)一下.

原來，我們把四邊形分成三角形，關(guān)鍵是選點(diǎn)，這點(diǎn)可以選在四邊形的邊上（邊上有頂點(diǎn)處和不在頂點(diǎn)兩種情況），選在四邊形的內(nèi)部，選在四邊形外部.

至此，所有人感覺四邊形內(nèi)角和證明方法已經(jīng)非常完美了，把所有情況都做了討論，正準(zhǔn)備收場時，又有愛鉆“牛角”的學(xué)生G站起來說：“老師，F(xiàn)的解法有漏洞，當(dāng)這個點(diǎn)在四邊形外部的位置不同時，證明方法不一樣.”

“噢！還有這樣的問題？所有的學(xué)生為之一愣，做做看.”

他利索地在黑板上畫出了圖形（如圖5）.大家觀察之后，果然這種情況不能用上述方法證明，那么到底該如何證明呢？”

大家都靜下心來思考，好久沒有反映，還是學(xué)生F發(fā)言了，看來“解鈴還需系鈴人”.

我覺得：“先把△OAB和△OBC的內(nèi)角和加起來，相比四邊形的內(nèi)角少了∠ADC，而多了∠AOC，∠OCD，∠DAO.而根據(jù)三角形的任意一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，可得∠ADC=∠ADG+∠CDG=∠DAO+∠AOC+∠OCD.因此這個四邊形的內(nèi)角和實(shí)際為△OAB和△OBC的內(nèi)角和相加等于360°.”

這時全班學(xué)生報以熱烈的掌聲.這節(jié)課完全“由不得”我了，大家又熱鬧起來了，肯定還會有不同的情況產(chǎn)生，果然又有學(xué)生H站起來，還有一種不同的情況.

他展示了他的“作品”，原來是圖6.

他給出了這樣解法：四邊形的內(nèi)角和等于以頂點(diǎn)A引出的周角加頂點(diǎn)D引出的周角，再加△OBC的內(nèi)角和共900°，然后減去△OBA，△OAD，△ODC的內(nèi)角和共540°，這樣可得結(jié)果為360°.

全班一片沸騰，掌聲經(jīng)久不衰，學(xué)習(xí)多邊形的外角和顯然沒時間了，趕快做幾個練習(xí)吧.不料數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最細(xì)心的學(xué)生I又發(fā)言了：“這個點(diǎn)還可以在某條邊的延長線上（如圖7）.”

圖7

證明：∠DAB+∠ABC+∠C+∠CDA

=∠DAB+∠ABO+∠OBC+∠C+∠DOA+∠OAD

=∠DAB+∠OAD+∠ABO+∠OBC+∠C+∠COB+∠BOA

=（∠OAB+∠ABO+∠BOA）+（∠OBC+∠C+∠COB）

=180°+180°

=360°.

這時全班學(xué)生發(fā)出驚嘆的表情，竟然可以這樣做.不過我還是把話題轉(zhuǎn)到做練習(xí)上，不然課堂結(jié)構(gòu)也太不完整了.

不料，“數(shù)學(xué)王子”學(xué)生J又站起來了.難怪！這么熱鬧的一節(jié)課怎么能少了他！“還有一種情況，就是直接延長不平行一組對邊讓它們相交（當(dāng)它們有不平行的對邊時）（如圖8）.”

原來他是這樣證明的.

證明：∠DAB+∠B+∠C+∠CDA

=（∠B+∠C+∠O）+（∠DAB+∠DAO）+（∠CDA+∠ADO）－（∠O+∠DAO+∠ADO）

=180°×3－180°

=360°.

“哇塞！”同學(xué)們一片歡呼！原來我們可以用這么多的方法來證明四邊形的內(nèi)角和.當(dāng)然啦！這個做法只適合有一組對邊不平行的情況.

看來練習(xí)都做不成了，索性就把我們所做的幾種證明方法總結(jié)一下吧.表達(dá)能力最強(qiáng)的學(xué)生K給大家做了總結(jié)：

“證明四邊形的內(nèi)角和就是想辦法把四邊形的角構(gòu)成平角或周角或三角形，方法是通過一點(diǎn)和各頂點(diǎn)連接，這個點(diǎn)可以在四邊形的邊上，在四邊形的邊上時又有在頂點(diǎn)處和不在頂點(diǎn)處兩種情況，可以在四邊形的內(nèi)部，也可以四邊形的外部，在外部時還有幾種情況.”

伴隨著學(xué)生K的總結(jié)下課鈴聲也響了，學(xué)生們一個個帶著滿意而輕松的笑容.

下課之后反思，雖然這節(jié)課遠(yuǎn)未達(dá)到“教學(xué)目標(biāo)”，教學(xué)任務(wù)沒有完成，但還是為大家的表現(xiàn)而感到欣慰，學(xué)生在課堂上能夠積極思考，勇于探索，敢于發(fā)言，這不正是我們數(shù)學(xué)課上所需要的嗎？我們在平時也不是強(qiáng)調(diào)要培養(yǎng)學(xué)生的各種思想和精神嗎？這些思想和精神體現(xiàn)在哪兒呢？

一、由未知到已知的轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)的發(fā)展都是把未知的知識分解、細(xì)化而轉(zhuǎn)化為已知的知識，然后這時又變成已知的知識，又去解決其他未知的知識，這節(jié)課的思想就是把未知的四邊形的內(nèi)角和通過添加輔助線轉(zhuǎn)化成已知的三角形的內(nèi)角和，從而可以得出四邊形的內(nèi)角和.

二、歸納思想

歸納思想是數(shù)學(xué)中的重要思想之一，雖然初中階段的學(xué)生還不了解完全歸納法和不完全歸納法，但在這節(jié)課的學(xué)習(xí)中通過把點(diǎn)選在四邊形的邊上，四邊形內(nèi)部，四邊形外部，實(shí)際上滲透了歸納思想和分類思想，且有利于培養(yǎng)學(xué)生的慎密思維.

三、發(fā)散思維

本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生能夠從不同的角度來解決數(shù)學(xué)問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，而發(fā)散思維對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是必要的，而且是必須的.

雖然這節(jié)課沒有完成教材交代的教學(xué)任務(wù)，但本節(jié)課的收獲是不能僅僅用課本交代的教學(xué)任務(wù)所能代替的.作為教師來說，一定要放眼學(xué)生未來，課堂教學(xué)要做到“不拘一格”，對學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)精神和思想要滲透到課堂中來.這樣才有可能讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，學(xué)活數(shù)學(xué).