☉江蘇省南京市浦口區(qū)浦廠中學(xué) 譚 宇

背景：

學(xué)校模擬網(wǎng)上閱卷，在閱卷過(guò)程中收獲頗多，學(xué)生們的解題方法和思維方式五花八門(mén)，不管是正確的還是錯(cuò)誤的，遠(yuǎn)比出卷者預(yù)測(cè)的要多，有些考生的解題思維遠(yuǎn)比我們教師想象的要好，他們大膽的猜想和論證給了我不少震動(dòng)和啟發(fā).我被分到第七組，批改第27題（共7人），當(dāng)時(shí)碰到一份考生的試卷解法比較奇特，個(gè)人認(rèn)為是正確的，但有3人否定、2人疑惑、一人不語(yǔ).于是查找資料，思索探討，從而就有了下面的論證過(guò)程.

過(guò)程：

后經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，本題是2008年南京市數(shù)學(xué)中考試卷第27題第二問(wèn)，下面是一個(gè)學(xué)生的解題過(guò)程的一小部分：

解：如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為點(diǎn)C.

由題意可得：PA=5t，PB=4t.

圖1

在直角三角形中，可以用邊的比來(lái)表示兩個(gè)銳角的三角函數(shù)，而從上面的“畫(huà)線”部分可以看出，該生試圖用三角函數(shù)推出直角三角形.27題的改卷的部分教師都認(rèn)為是錯(cuò)誤的，毫無(wú)道理的，但是我通過(guò)大量的實(shí)例驗(yàn)證，覺(jué)得這個(gè)結(jié)論是正確的.可以用這樣一句話總結(jié)：“在三角形中，若一個(gè)銳角所對(duì)應(yīng)的余弦值等于這個(gè)角兩邊的比值，那么這個(gè)三角形是直角三角形”.下面是證明過(guò)程：

求證：△PBA是直角三角形.

圖2

又因P′B′=PB，

所以P′A′=PA.

在△P′A′B和△PAB中，

所以△P′A′B≌△PAB（SAS）.

所以∠PBA=∠P′B′A′=90°.

所以△PBA是直角三角形.

有以上結(jié)論可見(jiàn)，根據(jù)一位學(xué)生的“錯(cuò)”解，經(jīng)過(guò)推理論證，從而得到一個(gè)新的命題.雖然這位學(xué)生沒(méi)有論證他的猜想，沒(méi)有得分，但是該為他的大膽猜想而感到驕傲！如果對(duì)這個(gè)問(wèn)題的探討到此為止，那是欠深入的.若能繼續(xù)探索下去，不僅能提高探索能力而且能體會(huì)到做數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.

由舉一反三的直覺(jué)思維，自然想到以下兩個(gè)推論：

推論1“三角形中，若一個(gè)銳角所對(duì)應(yīng)的正弦值等于這個(gè)角的對(duì)邊與它的鄰邊比值，那么這個(gè)三角形是直角三角形”.

推論2“三角形中，若一個(gè)銳角所對(duì)應(yīng)的正切值等于這個(gè)角的對(duì)邊與它的鄰邊比值，那么這個(gè)三角形是直角三角形”.

證明：推論1“三角形中，若一個(gè)銳角所對(duì)應(yīng)的正弦值等于這個(gè)角的對(duì)邊與它的鄰邊比值，那么這個(gè)三角形是直角三角形”.

求證：△PBA是直角三角形.

圖3

所以AC=AB.

又因AC⊥PB，

根據(jù)直線外一點(diǎn)，到直線的所有線段中，垂線段最段且僅有一條，所以點(diǎn)B與點(diǎn)C重合.

即△PBA是直角三角形.

推論2“三角形中，若一個(gè)銳角所對(duì)應(yīng)的正切值等于這個(gè)角的對(duì)邊與它的鄰邊比值，那么這個(gè)三角形是直角三角形”.

圖4

求證：△PBA是直角三角形.

舉反例：

倘若△PBA是直角三角形，根據(jù)已知條件可得∠PBA=90°，∠A為銳角.過(guò)點(diǎn)B，在線段PA上找一點(diǎn)C，使BC=BA.

顯然△PBC不是直角三角形，所以本題結(jié)論不成立.

綜上可得，直角三角形的一個(gè)新判定：

三角形中，若一個(gè)銳角所對(duì)應(yīng)的余弦值等于這個(gè)角兩邊的比值，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

推論：三角形中，若一個(gè)銳角所對(duì)應(yīng)的正弦值等于這個(gè)角的對(duì)邊與它的鄰邊比值，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

反思：法國(guó)著名雕塑家羅丹說(shuō)過(guò)：“世上并不缺乏美而是缺乏發(fā)現(xiàn)美的眼睛”.同樣在學(xué)習(xí)中，教師不可避免會(huì)遇到一些學(xué)生做的錯(cuò)題，要用辯證的眼光去看待，不要看到不順眼的或沒(méi)看過(guò)的都一票否決.從探究性學(xué)習(xí)的觀點(diǎn)看，這些錯(cuò)題并不是一無(wú)是處，有的蘊(yùn)含的探索性價(jià)值不比“好題”小，因此不應(yīng)該簡(jiǎn)單的加以否定.心理學(xué)家桑代克認(rèn)為：“嘗試與錯(cuò)誤是學(xué)習(xí)的基本形式.”錯(cuò)誤是正確的先導(dǎo)，錯(cuò)誤是通向成功的階梯，學(xué)生犯錯(cuò)的過(guò)程是一種嘗試和創(chuàng)新的過(guò)程，教師應(yīng)該善待學(xué)生所犯的錯(cuò)誤.英國(guó)心理學(xué)家貝恩布里說(shuō)過(guò)：“差錯(cuò)人皆有之，而作為教師，對(duì)于學(xué)生的錯(cuò)誤不加以利用是不能原諒的.”但長(zhǎng)期以來(lái)，對(duì)待學(xué)生的學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，我們更多的是把“錯(cuò)誤”當(dāng)成了教育的“敵人”，以致“不錯(cuò)”便是“成功”，“不錯(cuò)”成了我們不懈的“追求”；在實(shí)踐中應(yīng)把其重點(diǎn)放在分析錯(cuò)因、制定對(duì)策上.對(duì)待學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，我們?nèi)狈σ环N“主動(dòng)應(yīng)對(duì)”的新理念和策略.有專(zhuān)家指出：“課堂上的錯(cuò)誤是教學(xué)的巨大財(cái)富.”教師應(yīng)巧妙利用這一“財(cái)富”，變解題錯(cuò)誤為促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的資源.