吳小強　呂文龍

摘要：股票價格指數(shù)是一個國家經(jīng)濟建設健康狀況的體溫表，它的變化大致反映了該國經(jīng)濟結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟活動的宏觀變化趨勢。文中利用了計量經(jīng)濟軟件EViews6.0，以上證指數(shù)為例，選擇了ARIMA模型進行擬合和預測。實驗結(jié)果表明，該模型的絕對誤差以及百分比絕對誤差都控制在了一定范圍之內(nèi)，因此該模型擬合效果較好，預測值接近實際值。最后，借助該模型對2012年07月27日至2012年09月09日的上證指數(shù)進行了預測。

關鍵詞：時間序列分析；股價指數(shù)；ARIMA模型

一、引言

在金融領域中，股票價格指數(shù)的預測是一個非常熱門的話題。股票價格指數(shù)簡稱為股價指數(shù)，它是動態(tài)的反應某個時期股市總價格水平的一種相對指標。由眾多股票構(gòu)成的股票價格指數(shù)，是一個國家經(jīng)濟建設健康狀況的體溫表，它的變化大致反映了該國經(jīng)濟結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟活動的宏觀變化趨勢。投資者可以根據(jù)股價指數(shù)的升降判斷股票市場的走勢，從而做出科學合理的投資決策。因此，科學合理的預測股價指數(shù)具有非常重要的現(xiàn)實意義，因為它直接關系到投資者的切身利益。有不少學者都對此做了一定的研究。陳海明，李東（2003）運用了灰色預測對股票價格進行了預測，預測結(jié)果較為精確。李響（2008）用數(shù)值試驗的方法對基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡的股市預測模型進行了一定的研究。而吳朝陽（2010）則運用了改進的灰色模型和ARMA模型對股價指數(shù)進行了預測。還有一些學者運用了傳統(tǒng)的預測股價指數(shù)的方法即證券投資分析法對股價進行預測。但證券投資分析法預測股價指數(shù)具有一定的局限性，主要體現(xiàn)在其關于股票收益率的獨立、正態(tài)分布、和方差有限的假設不符合證券市場混亂復雜的特性。其次，證券投資分析法是基于市場有效假說的，但是有效市場假說經(jīng)常不能解釋市場中的某些行為，因為市場不是秩序或簡單的，而是既混亂又復雜的。于是，本文運用時間序列分析模型對股價指數(shù)進行了分析和預測。

時間序列分析是從一段時間上的一組屬性值數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)模式并預測未來值的過程。時間序列的分析模型主要有ARMA模型和ARIMA模型。ARMA模型是目前常用于擬合平穩(wěn)序列的模型，而ARIMA模型主要用于擬合和預測非平穩(wěn)時間序列。ARIMA 模型由G. E. P. Box 和G. M. Jenkins 提出，也稱為B—J方法，是一類常用的隨機時間序列模型，該方法不考慮以經(jīng)濟理論為依據(jù)解釋變量的作用，而是依據(jù)變量本身的變化規(guī)律，利用外推機制描述時間序列的變化，能達到最小方差意義下的最優(yōu)預測，是一種精度較高的時間序列短期預測方法。利用ARMA和ARIMA模型分析預測物價指數(shù)、股價指數(shù)等方面具有重要的實際意義。本文將用ARIMA模型結(jié)合上證指數(shù)數(shù)據(jù)建立模型，并用該模型對上證指數(shù)進行擬合和預測。

二、時間序列模型簡述

（一）時間序列的基本知識

時間序列分析是一種應用廣泛的數(shù)量分析方法，它主要用于描述和探索事物隨時間發(fā)生變化的數(shù)量規(guī)律性。時間序列是指某一統(tǒng)計指標數(shù)值按時間先后順序排列而形成的序列。例如，工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值按年度順序排列起來的序列；居民消費價格指數(shù)按季度或月度排列起序列；股價指數(shù)等等都是時間序列。時間序列一般用y1，y2，y3…，yt 表示，t為時間。

在社會經(jīng)濟統(tǒng)計中，編制和分析時間序列具有非常重要的作用，主要表現(xiàn)在：

1、為分析研究社會經(jīng)濟現(xiàn)象的發(fā)展速度，發(fā)展趨勢及變化規(guī)律提供基本的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。

2、通過計算分析指標，研究社會經(jīng)濟現(xiàn)象的變化方向，速度以及結(jié)果。

3、對若干相互關聯(lián)的時間序列進行分析研究，可以揭示現(xiàn)象之間的聯(lián)系程度及動態(tài)演變關系。

4、建立數(shù)學模型，解釋現(xiàn)象的變化規(guī)律并對未來進行預測。

（二） 時間序列分析模型

ARMA模型是目前最常用的平穩(wěn)時間序列的分析模型，它又可以細分為AR模型，MA模型和ARMA模型三類。

ARMA模型的方程式如下：

引進延遲算子，ARMA（p，q）模型簡記為：

其中：

，為p階自回歸系數(shù)多項式；

，為q階移動平均系數(shù)多項式。

顯然，當q=0時，ARMA（p，q）模型就退化成了AR（p）模型。

在現(xiàn)實生活中，有許多時間序列是非平穩(wěn)的，但是這些非平穩(wěn)序列差分后會顯示出平穩(wěn)序列的性質(zhì)，這時我們就稱該非平穩(wěn)時間序列為差分平穩(wěn)時間序列。對差分平穩(wěn)時間序列可以用ARIMA模型進行擬合。

ARIMA（p，d，q）模型的結(jié)構(gòu)如下：

其中：

，為平穩(wěn)可逆ARMA（p，q）模型的自回歸系數(shù)多項式；

，為平穩(wěn)可逆ARMA（p，q）模型的移動平滑系數(shù)多項式；

為零均值白噪聲序列。

特別地，當d=1，p=q=0時，AMIMA（0，1，0）模型為：xt=xt—1+εt，該模型稱為隨機游走模型或醉漢模型。

（三）時間序列分析的步驟

通常情況下， 自回歸移動平均模型（ARIMA）的建模過程分為以下幾個步驟：

1、對原序列進行平穩(wěn)性檢驗， 若非平穩(wěn)序列則通過差分消除趨勢；

2、判斷序列是否具有季節(jié)性， 若序列具有季節(jié)波動， 則通過季節(jié)差分消除；

3、對序列進行自相關與偏相關分析，進行白噪聲檢驗，確定階數(shù)p、q擬合ARMA（ p， q）模型；

4、估計模型中的未知參數(shù)的值并對模型進行適當?shù)臋z驗；

5、模型優(yōu)化；

6、利用擬合模型，預測時間序列的將來趨勢。

三、建立股價指數(shù)的ARIMA模型

由于時間序列分析模型需要較大數(shù)量的樣本，所以本文選取了上證指數(shù)從2012年07月27日到2012年09月09日的開盤價，共計47個樣本，基本滿足時間序列的建模要求。上證指數(shù)2012年07月27日到2012年09月09日的開盤價（如下表1）。

注：本數(shù)據(jù)來源于華泰證券。

（一）數(shù)據(jù)分析與處理

設2012年07月27日為第一個開盤日，28日為第二個開盤日，依此類推，并用t來表示第t個開盤日，同時設第t個開盤日的上證指數(shù)為yt。

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，作出序列的時間序列圖可以看出，上證指數(shù)的變化具有一定的時間趨勢，因此我們可以初步判斷原時間序列為非平穩(wěn)的時間序列，為了更好的判別原序列的平穩(wěn)性，本文對原時間序列進行了單位根檢驗，檢驗結(jié)果如圖1所示。

從圖1的檢驗結(jié)果中我們可以看到，t統(tǒng)計量的值遠大于檢驗水平1%、5%、10%的臨界值，因此拒絕原假設，即認為該時間序列是非平穩(wěn)的。為了消除原時間序列的趨勢并減少序列的波動，可以對原時間序列做一階逐期差分▽xt=xt—xt—1，經(jīng)過一階差分處理后的時間序列的序列趨勢基本被消除，基本符合平穩(wěn)時間序列的性質(zhì)。為了能夠更好的判斷差分后的序列是否平穩(wěn)，繪制差分序列的相關圖和Q統(tǒng)計量，結(jié)果顯示一階差分后序列的各階滯后的自相關函數(shù)和偏相關函數(shù)都在95%的置信區(qū)間內(nèi)，而且Q統(tǒng)計量對應的P值都大于0.05，從而表明差分后序列的趨勢基本消除，即序列基本滿足平穩(wěn)性。

（二）模型的識別與預測

由上面的數(shù)據(jù)分析及處理可知，該居股價指數(shù)時間序列是一個非平穩(wěn)的時間序列，但一階差分后序列滿足平穩(wěn)性，故可以使用ARIMA（p，d，q）模型對其進行擬合和預測。通過EViews6.0軟件的調(diào)試，逐步修改階數(shù)，經(jīng)過多次修改發(fā)現(xiàn)當p=1，d=1，q=0時，模型擬合效果較好，模型整體較為顯著。因此我們可以用ARIMA（1，1，0）對上證指數(shù)進行擬合及預測。ARIMA（1，1，0）的估計結(jié)果如圖2。

從圖2我們可以得到，R2=0.9119， 調(diào)整的R2=0.9103，AIC準則=2.5923，SC準則=2.6640，F(xiàn)統(tǒng)計量=569.4781，其相應的概率值非常小，AIC和SC準則都比較小，從而說明模型整體上是顯著的。為了更好的判斷模型的擬合程度，我們對模型估計結(jié)果的殘差進行白噪聲檢驗，從檢驗結(jié)果我們可以看到，模型估計結(jié)果的殘差序列的樣本自相關系數(shù)都在95%的置信區(qū)域以內(nèi)，而且自相關函數(shù)相應的概率值P都大于檢驗水平0.05，因此不能拒絕原假設，即認為模型ARIMA（1，1，0）估計結(jié)果的殘差序列滿足隨機性假設，從而該模型可以用于擬合和預測。從擬合結(jié)果可以看出，模型的擬合值接近真實值，擬合情況較好，其中2012年09月10日至09月14日的上證指數(shù)擬合結(jié)果如表2所示。

注：絕對誤差=∣實際值—預測值∣，絕對百分比誤差=絕對誤差/實際值

由表2可知，該模型擬合的絕對誤差以及絕對百分比誤差都比較小，因此該模型擬合情況較好，可以用來預測，預測結(jié)果如表3所示。

四、模型的分析、總結(jié)和展望

（一）模型的分析

根據(jù)建立的股票價格指數(shù)的ARIMA模型可以看出，上證指數(shù)在2012年09月09日到09月14日期間雖然又漲又跌，但總體趨勢是上升的，但是從15日之后，上證指數(shù)一直處于下跌狀態(tài)，而且下跌的速度比較快。這可能是由于一下幾個原因：首先，人們對經(jīng)濟的前景不樂觀，甚至是悲觀，從而造成市場投資信息不足；其次，市場資金面緊張也是其中一個原因。最近，政府為了給過熱的經(jīng)濟降溫，尤其是為了解決通貨膨脹問題，采取了緊縮的貨幣政策，從而市場資金面趨于緊張；再次，外部環(huán)境也不利于股市的發(fā)展。自從歐洲債務危機爆發(fā)以來，其陰影一直籠罩著各個國家，中國不可能獨善其身。

（二）總結(jié)和展望

由以上分析可知，ARIMA模型較好的解決了非平穩(wěn)時間序列的建模問題，該股票價價指數(shù)的ARIMA模型的實際值與擬合值的絕對誤差和百分比絕對誤差都較小，擬合效果較好。因此，ARIMA模型可以在時間序列的預測方面有很好的表現(xiàn)。此外，借助計量經(jīng)濟軟件EViews6.0，我們可很方便地將ARIMA模型應用于金融等時間序列的擬合和預測。但是，由于金融時間序列的復雜性，ARIMA模型在應用時也有一定的不足，因為ARIMA模型只適用于短期預測，若想預測幾個月的數(shù)據(jù)，效果則不太理想。所以，更好的模擬還需進一步研究和探討。

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