孫 萍，趙東方

（1.烏魯木齊職業(yè)大學(xué)，烏魯木齊 830002；2.華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430079）

0 引言

敏感性問(wèn)題是指與個(gè)人（或單位）的隱私（或私人利益）有關(guān)而不便向外界透漏的問(wèn)題。例如，是否存在行賄、受賄情況，考生是否存在考試作弊，個(gè)體工商戶是否偷稅、漏稅，是否為同性戀者等。對(duì)于這些敏感性問(wèn)題，若采用直接問(wèn)答的形式，被調(diào)查者就會(huì)產(chǎn)生抵觸情緒，拒絕回答，或者，接受調(diào)查但不愿據(jù)實(shí)回答。

抽樣調(diào)查中，經(jīng)常會(huì)遇到敏感性問(wèn)題的調(diào)查工作，由于涉及到被調(diào)查者的隱私問(wèn)題，很難得到被調(diào)查者的配合，因此造成了調(diào)查的困難、以及調(diào)查結(jié)果的不準(zhǔn)確。

1965年，S.L.Warner設(shè)計(jì)了一種隨機(jī)問(wèn)答方法，巧妙的解決了這個(gè)問(wèn)題[1]。1969年，B.G.Greenberg改進(jìn)了S.L.Warnerder的方法[2]?，F(xiàn)在，S.L.Warner的隨機(jī)調(diào)查法得到了廣泛的應(yīng)用[3][4]。

1 S.L.Warner隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查模型

隨機(jī)問(wèn)答法的具體步驟如下：

第1步：調(diào)查問(wèn)卷的卡片，每張卡片只問(wèn)下列問(wèn)題之一

問(wèn)題1：你屬于集合A

問(wèn)題2：你不屬于集合A

假設(shè)問(wèn)題1共有a張卡片，問(wèn)題2共有b張卡片，要求：p=a/(a+b)≠1/2，其中，p叫做卡片參數(shù)。

第2步：被調(diào)查者隨機(jī)抽取一張卡片，卡片上只有一個(gè)問(wèn)題，被調(diào)查者只回答“Yes”，或者“No”，然后，將卡片放回卡片盒。

在整個(gè)調(diào)查過(guò)程中，調(diào)查人不知道被調(diào)查者回答的是哪個(gè)問(wèn)題，只知道回答結(jié)果Yes或No，這樣，被調(diào)查者就有很大的可能說(shuō)真話。

第3步：假設(shè)調(diào)查了n個(gè)人，m個(gè)人回答“Yes”，根據(jù)全概率公式：

于是，我們就可以得到百分比α的估計(jì)值。

【案例1】某地調(diào)查個(gè)體工商戶偷稅漏稅問(wèn)題

問(wèn)題1：我偷過(guò)稅

問(wèn)題2：我從不偷稅

卡片設(shè)計(jì)：卡片參數(shù)p=1/6，即，6張卡片有一張是問(wèn)題1，其余5張是問(wèn)題2。

調(diào)查過(guò)程：被調(diào)查者隨機(jī)抽取一張卡片，看見(jiàn)問(wèn)題后，將卡片保密放回卡片盒，然后告訴調(diào)查人，Yes或No。

調(diào)查結(jié)果：隨機(jī)調(diào)查100個(gè)個(gè)體戶，共有75人回答“Yes”，根據(jù)公式計(jì)算可得：

于是，我們可以認(rèn)為，某地可能有1/8=12.5%的個(gè)體戶偷過(guò)稅。

2 B.G.Greenburg的改進(jìn)模型

S.L.Warner的隨機(jī)調(diào)查法，其中兩個(gè)問(wèn)題都與敏感性話題直接相關(guān)，很容易引起被調(diào)查者的戒備，所以，B.G.Greenburg建議，用其它一個(gè)毫不相干的問(wèn)題代替問(wèn)題2。

調(diào)查問(wèn)卷的卡片，只問(wèn)下列問(wèn)題之一

問(wèn)題1：你屬于集合A

問(wèn)題2：你屬于集合B

假設(shè)，屬于集合A的人群的百分比為αA（待求指標(biāo)），屬于集合B的人群的百分比αB（已知指標(biāo)），問(wèn)題1共有a張卡片，問(wèn)題2共有b張卡片，p=a/(a+b)，被調(diào)查者共有n人，其中m人回答Yes，那么就有：

從中解出αA：

【案例2】某高中調(diào)查學(xué)生談戀愛(ài)比例

問(wèn)題1：我談過(guò)戀愛(ài)

問(wèn)題2：我的身份證尾數(shù)是奇數(shù)

相對(duì)于問(wèn)題1，αA待求；相對(duì)于問(wèn)題2，αB=1/2。

卡片參數(shù)：p=9/10，即，10張卡片中有9張是問(wèn)題1。

被調(diào)查者n=100，其中，23人回答Yes，即，m=23，根據(jù)公式計(jì)算：

于是，我們可以認(rèn)為，這所高中大約有20%的學(xué)生談過(guò)戀愛(ài)。

3 卡片參數(shù) p的討論

3.1 S.L.Warner模型的卡片參數(shù) p的討論

在S.L.Warner模型中，待求百分比α=1/(2p-1)(p-1+m/n)p≠1/2，其中，卡片參數(shù)p的取值，必須使得0≤α≤1，下面，我們畫出α的圖形：

圖1 m/n＜0.5的圖形

圖2 m/n＞0.5的圖形

圖中p軸上方水平線對(duì)應(yīng)α=1。

通過(guò)觀察圖形，我們看到0≤α≤1的條件并不總是得到滿足，特別是在p=0.5附近，這個(gè)條件完全被破壞，于是，為了確保0≤α≤1成立，我們就要考慮卡片參數(shù)p的取值范圍。

總的原則：p的取值要遠(yuǎn)離0.5。

若取p＜0.5，由，可以得到，，即，根據(jù)所調(diào)查的問(wèn)題的背景知識(shí)，卡片參數(shù)p應(yīng)該盡可能的小。例如，已知患艾滋病的人群比例比較小，可以取p=1/9、p=1/10等等（此時(shí)，10張卡片有一張是問(wèn)題1：你有艾滋病？）。

若取p＞0.5，由，可以得到，，即，根據(jù)所調(diào)查的問(wèn)題的背景知識(shí)，卡片參數(shù)p應(yīng)該盡可能的大。例如，已知有某種壞習(xí)慣的人群比例比較大，可以取p=7/10、p=9/10等等（此時(shí)，10張卡片有9張是問(wèn)題1：你有×××壞習(xí)慣？）。

3.2 B.G.Greenberg改進(jìn)模型卡片參數(shù)p的討論

即，卡片參數(shù)p應(yīng)該盡可能大一點(diǎn)。

總結(jié)：卡片參數(shù)p的取值范圍，總的設(shè)計(jì)原則是，（1）在S.L.Warner模型中，p的取值應(yīng)該遠(yuǎn)離0.5；（2）在B.G.Greenberg的改進(jìn)模型中，p的取值應(yīng)該盡可能靠近1。

[1]Warner,S.L.Randomized Response:A Survey Technique for Elimi?nating Evasive Answer Bias[J].Journal of the American Statistical As?sociation,1965,(60).

[2]Greenberg,B.G.,et al.The Unrelated Question Randomized Re?sponse Model:Theoretical Framework[J].Journal of the American Sta?tistical Association,1969,64(326).

[3]M.Ostapczuk,M.Moshagen,Z.Zhao,J.Musch.Assessing Sensitive Attributes Using the Randomized-response-technique:Evidence for the Importance of Response Symmetry[J].Journal of Educational and Behavioral Statistics,2009,(34).

[4]M.Ostapczuk,J.Musch,M.Moshagen.A Randomized-response In?vestigation of the Education Effect in Attitudes towards Foreigners[J].European Journal of Social Psychology,2009,(39).

[5]趙東方.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)模型[M].武漢：華中師范大學(xué)出版社，2003.

[6]趙東方.數(shù)學(xué)模型與計(jì)算[M].北京：科學(xué)出版社，2007.