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        群的階與元素的階

        2011-11-29 07:58:16張姍姍
        新課程學習·中 2011年8期
        關鍵詞:元素

        張姍姍

        摘要:討論群的階、元素的階及兩者之間的關系,給出一些有意義的結果。

        關鍵詞:群的階;元素的階;同態(tài);同構;元素

        基金項目:寶雞文理學院科研計劃項目(ZK0788)

        群是一種特殊的代數(shù)系統(tǒng),它在數(shù)學本身以及現(xiàn)代科學技術的很多方面都有廣泛的應用。而群的階和元素的階是群的重要特征之一,本文著重介紹群的階與元素的階的有關概念及相關結果。

        一、群的階

        定義:一個群叫做有限群,假如這個群的元的個數(shù)是一個有限的正整數(shù)。不然的話,這個群叫做無限群。一個有限群的元的個數(shù)叫做這個群的階,記為G。

        結論1. (1)群的階為1?圳G=e。

        (2)群的階為2?圳G=e,a且a≠e。

        (3)群的階為3?圳G=e,a,a2且a≠e,a≠a2。

        結論2. 4階群G必為交換群,而且就同構意義而言,有且僅有兩種類型。

        (1)G=〈a〉,a的階是4。

        (2)G=e,a,b,c,ea=a,eb=b,ec=c,ab=c,ac=b,bc=a。

        結論3. 6階群有且僅有兩種類型。

        (1)G是交換群,G=〈a〉,a的階為6。

        (2)G是非交換群,G=e,a,a2,c,ca,ca2=〈a,c〉,且a3=c2=(ac)2=e。從而G的乘法表與三次對稱群S3相同。

        結論4. 階是素數(shù)的群一定是循環(huán)群。

        定理1. 若群G≠e,G的階是某一素數(shù)?圳G除自身與e外沒有其他子群。

        結論5. 階是pm的群(p是素數(shù))一定包含一個階是p的子群。

        定理2.G和G是兩個有限循環(huán)群,他們的階各是m和n,則G∽G?圳n|m。

        定理3.假定H是有限群G的一個子群。那么的H階n和它在G里的指數(shù)j都能整除G的階N,并且N=nj。

        二、元素的階

        定義:設a是群G的元素,若存在使am=e的最小正整數(shù)m,則稱a的階為m,記為°(a)=m;若這樣的m不存在,即對于任意正整數(shù)n,均有an≠e,則稱的a階為無限。

        以下分四種情況討論元素的階:

        1.元素階為有限

        結論1. (1)群的元素a的階為1?圳a=e。

        (2)群的元素a的階為2?圳a=a-1且a≠e。

        (3)群的元素a的階為>2?圳a≠a-1。

        結論2. 若a是群G的m階元素,則ai=e?圳i=0(modm);ai=ai?圳i=j(modm)。

        結論3. 群的元素a的階為有限

        ?圳存在i≠j,使ai=aj。

        ?圳〈a〉為有限集合。

        ?圳存在正整數(shù)n,使an=e。

        結論4. 若群G的元素a的階為m,則〈a〉=a0,a1,a2,…,am-1ai,ai+1,…,ai+(m-1)。

        定理1. 若a的階是m,則at的階是m?圳(t,m)=1。

        推論1. (1)若a的階是m,則at的階是s。

        (2)若a的階是st,s>0,則at的階是s。

        (3)若群G中有m階元素,則G中至少有Φ(m)個m階元素。

        (4)若群G中有m階元素,則對于m的任意正約數(shù)s,群G中有s階元素。

        推論2. 若群G中有異于單位元的有限階元素,則大于1的最低階數(shù)必定是素數(shù)。

        定理2. 若G與G是群,Gσ~G,a∈G,a的階是m,則σ(a)的階有限且為m的約數(shù).

        2.元素的階為無限

        結論1. 群的元素a的階為無限

        ?圳對任意i≠j,均有ai≠aj。

        ?圳〈a〉為無限集合。

        ?圳對任意的正整數(shù)n,均有an≠e。

        結論2. 若a是群的無限階元素,則對于任意的非零整數(shù)i,ai也是無限階元素。

        結論3. 設G與G是群,Gσ~G,a∈G,a的階是m,則σ(a)的階有限且為m的約數(shù)。

        3.元素乘積的階

        若群G的元素a與b不可交換,則乘積ab的階會出現(xiàn)各種不同的情況,為得出有用的結論,以下討論元素可交換的情形。

        結論1. (1)若a,b為有限階元素,ab=ba,則ab為有限階元素。

        (2)若群G的元素a的階有限,元素b的階無限,ab=ba,則ab是無限階元素.

        定理.若群的元素a的階是s,元素b的階是t,ab=ba,(s,t)=1,則元素ab的階是st。

        推論1. 若群G的元素a的階是s,b的階是t,ab=ba,則

        (1)元素ab的階是s,t的約數(shù)。

        (2)群G中存在階是s,t的元素。

        推論2. (1)若群G的元素a的階是s,b的階是t,ts,ab=ba,則群G中有階比s大的元素。

        (2)若群G是交換群,G中元素的最大階數(shù)是n,則G中任一元素的階均為n的約數(shù)。

        結論2. 若a1,a2,…,ak是群G的可換子集,元素ai的階為mi,i=1,2,…,k,則乘積a1,a2,…ak的階是m1,m2,…,mk的約數(shù)。

        4.其他情形

        結論1. 設G與G是群,GG,a∈G,則a與σ(a)有相同的階。

        結論2. 設a是群G的任意元素,則a與a-1有相同的階。

        結論3. 設a、b是群G的任意元素,則ab與ba有相同的階。

        結論4. 群中相互共軛的元素有相同的階。

        三、群的階與元素的階的關系

        結論1. 有限群的任一元素的階均為有限。

        定理1. 一個有限群G的任一元素a的階都整除G的階。

        結論2. 若群G的階為s,G的階大于2的元素的個數(shù)為t,G的階等于2的元素的個數(shù)為u(t,u可以為0),則

        (1)t必須為偶數(shù)。

        (2)u與s的奇偶性相反,特別地,偶數(shù)階的群必有2階元素。

        引理:如果群G的階能被素數(shù)p整除,則G包含著p階元素。

        定理2. 設G是有限群,G的每個元皆為p-元素的充要條件是G的階是p的方冪。

        證明:若G的每個元素皆為p-元素,假如G的階n不是p的方冪,即存在整數(shù)q,使得q整除n,(p,q)=1,則G有q元子群,但其中任意元素的階數(shù)是的p方冪,即G=pm,引出矛盾.所以G的階是p的方冪。反過來,假如G的階是p的方冪,即G=pm,由定理3.1知G中任意元素的階數(shù)是p的方冪。

        參考文獻:

        張禾瑞.近世代數(shù)基礎[M].北京:高等教育出版社,1978.

        (作者單位 陜西寶雞文理學院數(shù)學系)

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