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        一個重要函數(shù)不等式≤ln(1+x)≤x及其應(yīng)用

        2011-08-27 02:43:00430074武漢市洪山高級中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2011年13期
        關(guān)鍵詞:洪山綜上定義域

        430074 武漢市洪山高級中學(xué) 張 順 戴 露

        (Ⅰ)當n=2時,求函數(shù)f(x)的極值;

        (Ⅱ)當a=1時,證明:對任意的正整數(shù)n,當x≥2時,有 f(x)≤x-1.

        解 (Ⅰ)由已知得函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>1},

        (1)當 a>0 時,由 f'(x)=0,得

        當 x∈(1,x1)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

        當 x∈(x1+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

        (2)當a≤0時,f'(x)<0恒成立,所以f(x)無極值.

        當a≤0時,f(x)無極值.

        要證f(x)≤x-1

        而ln(x-1)=ln(x-2+1)≤x-2

        而x≥2可得1-x≤-1

        綜上,所以原不等式成立.

        解 (1)由Sn-Sn-1=an易得通項公式為an=n.

        點評 本題的第二問第三問均是應(yīng)用不等式的變形得到.

        (Ⅰ)用 a表示出 b,c;

        (Ⅱ)若 f(x)>lnx在[1,+∞]上恒成立,求 a的取值范圍;

        解 (Ⅰ)可求出b=a-1,c=1-2a.

        f(x)>lnx,故f(x)≥lnx在1,+[)∞上恒不成立.

        ∴ f(x)≥lnx,

        故 f(x)≥lnx,在[1,+∞)上恒成立.

        將上述n個不等式依次相加得

        整理得

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