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        辨“中國(guó)元素”,妙解幾何問(wèn)題

        2011-08-27 02:43:02200237上海西南模范中學(xué)張?zhí)珮?shù)
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2011年13期
        關(guān)鍵詞:碳原子中國(guó)元素氫原子

        200237 上海西南模范中學(xué) 張?zhí)珮?shù)

        中國(guó)古代的數(shù)學(xué)大師劉徽在公元263年的劉徽原理中闡明:任何一個(gè)多面體都可分解為長(zhǎng)方體、塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑.本文就和大家一起辨“中國(guó)元素”,妙解高中立體幾何問(wèn)題.

        首先,來(lái)認(rèn)識(shí)一下這些“中國(guó)元素”,塹堵是長(zhǎng)方體體積的一半.

        將塹堵沿以頂點(diǎn)到相對(duì)的一棱分割,便得到一個(gè)陽(yáng)馬,與一個(gè)鱉臑.

        本文大膽的古為今用,把平行六面體分割出來(lái)的組件都稱(chēng)為塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑.

        1 辨“墻角型”鱉臑

        特征:三線兩兩垂直解題思路:補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體.

        例1 過(guò)球O的球面上一點(diǎn)P作球的兩兩垂直的三條弦PA,PB,求球O的半徑.

        解析 構(gòu)造長(zhǎng)方體,以P為頂點(diǎn)的三條棱PA,PB,PC兩兩垂直,球O就是這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球,對(duì)角線PD就是球O的直徑,設(shè)半徑等于R,則有2R=

        2 辨“正四面體型”鱉臑

        特征:正四面體 解題思路:補(bǔ)成正方體.

        例2 甲烷分子(CH4)由一個(gè)碳原子和四個(gè)氫原子組成,其空間構(gòu)形為一個(gè)各條棱都相等的四面體,其中四個(gè)氫原子分別位于該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)上,碳原子位于該四面體的中心,它與每個(gè)氫原子的距離都相等.若視氫原子、碳原子為一個(gè)點(diǎn),四面體的棱長(zhǎng)為a,求碳原子到各個(gè)氫原子的距離.

        解析 顯然,四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在以中心(碳原子)為球心,中心到各頂點(diǎn)(氫原子)的距離為半徑的球面上.

        如圖,將此四面體ABCD補(bǔ)成正方體BD',其中A',B',D'也在球面上.設(shè)碳原子到每個(gè)氫原子的距離為x,則 2x=BD',BD',AB(a),AA'之間的關(guān)系是a=AB=

        3 辨“直二面角型”鱉臑

        特征:直二面角 解題思路:補(bǔ)成正方體

        例3 如圖4,把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起,使得平面DAC⊥平面BAC,求折疊后直線AB與直線CD所成的角.

        解析 此題思路并不復(fù)雜,但按常規(guī)方法有一定的運(yùn)算量,如果我們來(lái)研究如圖5的正方體EFCA-QGHP,可以很容易地發(fā)現(xiàn)圖5中的平面DAC與平面BAC即為符合題意的圖形.

        ∴求直線AB與直線CD所成的角即求直線AF與直線CP所成的角,而正方體中CP∥QF,

        ∴直線AF與直線CP所成的角即為直線AF與直線QF所成的角.

        ∵△AFQ是正三角形,

        ∴直線AF與直線QF所成的角等于60°,

        ∴直線AB與直線CD所成的角為60°.

        4 辨“古代直”陽(yáng)馬

        特征:直四棱錐 解題思路:補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體.

        例4 如圖6,四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn).(1)求證:PA∥平面BDE;(2)在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使PB⊥平面DEF?證明你的結(jié)論.

        解析 (1)略(2)原圖為正方體紅色部分,顯然黑色平面DGH⊥PB,故平面DGH與PB交點(diǎn)為F.

        5 辨“現(xiàn)代正”陽(yáng)馬

        特征:正四棱錐 解題思路:補(bǔ)成正四棱柱.

        由正四棱錐補(bǔ)成正四棱柱從而做題.

        例5 如圖,求所有棱長(zhǎng)為a的最“美麗幾何體的體積.

        以上思路,希望給大家一點(diǎn)啟發(fā),與大家共勉.

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