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        一類高考題解法再思考——高數(shù)背景下,慎用高數(shù)結(jié)論

        2011-08-27 02:43:02441021湖北襄陽四中馬???/span>
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2011年13期
        關(guān)鍵詞:高數(shù)壓軸高考題

        441021 湖北襄陽四中 馬???/p>

        近幾年,高考數(shù)學(xué)壓軸題中常出現(xiàn)函數(shù)型不等式的恒成立問題,可歸結(jié)為“對(duì)?x≥0時(shí),f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)恒成立,其中g(shù)(x)含有參數(shù)a,試確定a的范圍”.此類問題綜合性強(qiáng),難度大,能力要求高.對(duì)于考生能夠起到一定的甄別及選拔功能.張潤平老師在文[1]中,利用高數(shù)知識(shí),給出如下命題,并通過此命題解決了幾例高考題.筆者在學(xué)習(xí)了張老師的文章之后深受啟發(fā),感覺如果老師能站在高數(shù)背景下講解數(shù)學(xué)考題,勢(shì)必會(huì)有一種高屋建瓴之氣勢(shì),對(duì)于學(xué)生開拓視野,提升能力也極為有用.可是,當(dāng)我再細(xì)細(xì)品味張老師文章,發(fā)現(xiàn)張老師的命題稍有瑕疵.今整理出來與張老師及各位同行交流.

        張老師在文[1]中給出以下證明過程:

        則F(x)在[m,t]上連續(xù),在(m,t)內(nèi)可導(dǎo).

        由拉格朗日中值定理知:?ξ∈(m,t),使得

        成立,

        則F(t)=F'(ξ)t,

        ∴F(x)=F'(ξ)x,由于F(x)=f(x)-g(x)≥0,

        ∴ 當(dāng)x>0 時(shí),F(xiàn)'(ξ)≥0,即F'(ξ)=f'(ξ)-g'(ξ)≥0,

        ∴ 當(dāng)x>0時(shí),f'(x)≥g'(x)恒成立.

        細(xì)細(xì)推敲張老師的證明過程發(fā)現(xiàn)問題出在ξ上.證明過程中ξ只是存在,卻不是任意的.盡管t是任意的,但是對(duì)應(yīng)于每個(gè)t,一旦取定,在區(qū)間(m,t)內(nèi),都是存在ξ使得F'(ξ)=f'(ξ)-g'(ξ)≥0成立,即 ξ不是取遍區(qū)間(m,t)內(nèi)所有值.所以不能因?yàn)槟苷业玫?ξ使得F'(ξ)=f'(ξ)-g'(ξ)≥0 成立,就下結(jié)論對(duì)任意的x>0,f'(x)≥g'(x)恒成立.

        通過以上分析,我們發(fā)現(xiàn),盡管目前高考?jí)狠S題雖然大多具有高數(shù)背景,具備一定的高數(shù)知識(shí)有助于解題,但在使用有關(guān)結(jié)論及定理時(shí),要慎重考慮定理成立的條件,不然就會(huì)出現(xiàn)以特例代替一般而犯錯(cuò).

        事實(shí)上,張老師在文[1]中選擇的五個(gè)例題之所以使用命題可以解答,得到正確答案,就在于題目本身隱含了一個(gè)條件,那就是構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)后二階導(dǎo)數(shù)是大于或等于零的,這就說明F'(x)是一個(gè)增函數(shù),再有初始條件F'(x0)=0,就能得到x>x0時(shí),f'(x)≥g'(x)恒成立.

        下面僅以文[1]中例1為例說明.

        (Ⅰ),(Ⅲ)略

        (Ⅱ)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;

        此時(shí),令 F(x)=f(x)-lnx,則

        上述過程再次告訴我們,利用高數(shù)命題簡化證明的過程中,一定要注意充分挖掘隱含條件,慎將高數(shù)結(jié)論推廣.

        1 張潤平.高等數(shù)學(xué)背景下一類壓軸題的簡解[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(高中版).2011,2

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