● (大麻鎮(zhèn)中心學校 浙江桐鄉(xiāng) 314514) ● (邵逸夫中學 浙江桐鄉(xiāng) 314511)

例談變式在初中數(shù)學教學中的作用

●徐利國(大麻鎮(zhèn)中心學校 浙江桐鄉(xiāng) 314514) ●許偉龍(邵逸夫中學 浙江桐鄉(xiāng) 314511)

所謂變式，就是在引導學生認知事物屬性的過程中，不斷變更所提供的直觀材料或事例呈現(xiàn)的形式，使事物的非本質(zhì)屬性時隱時現(xiàn)，而本質(zhì)屬性保持恒定.在新課程實施過程中，初中數(shù)學教學的主要任務還是讓學生掌握數(shù)學基本知識、基本技能、基本的數(shù)學思想及對運算能力、空間想象能力、邏緝思維能力、分析與解決問題能力等的培養(yǎng).教師要充分利用變式進行變式訓練，有意識地把教學過程變?yōu)閿?shù)學思維活動的過程，從而提高學生的解題能力.

1 在命題中變式

在多前件的命題中，把后件與前件作一對一的交換，得到的新命題被稱之為偏逆命題.根據(jù)邏輯關系，當原命題為真時，偏逆命題則恒真.根據(jù)這一特點，可編撰很多題目.

圖1

例1已知：如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于點F，交AB于點E，交CA的延長線于點D.求證：AD=AE.

變式1如圖1，在△ABC中，DF⊥BC，交AB于點E，AD=AE.求證：AB=AC.

變式2如圖1，在△ABC中，AB=AC，DF交AB于點E，交CA的延長線于點D，AD=AE.求證：DF⊥BC.

深度思考

我們發(fā)現(xiàn)，通過對命題前、后件的交換，可以讓學生多角度獲得變式知識，多感觀獲得變式體驗.變式是手段，提升是目的.在變式與提升之間，建立起必然聯(lián)系就是數(shù)學思維.

變式是學生主體在教學活動中個性化的感受，這種感受的最初形態(tài)是凌亂、感性的，要成為學生個體的知識還需要有一個內(nèi)化的過程，需要進行自我建構，自主地對感性狀態(tài)的變式體驗進行歸納、整合，獲得對表象性的體驗的深度認識.因此，對數(shù)學變式思考的深入，能讓學生將粗淺的知識升華，讓學生的數(shù)學思維走向深刻.

2 在集合中變式

已知全集U，欲求子集A，如果直接求A比較麻煩，那么可考慮先求的補集CUA，再求A=CU(CUA).其實質(zhì)是通過2次否定實現(xiàn)一次肯定，這也是哲學思想上的否定之否定規(guī)律在數(shù)學中的具體表現(xiàn).因此，在解此類題目有困難時，可以充分利用這個特點，轉變思路，從補集的角度入手.

分析“至少有1個方程有2個不相等的實數(shù)根”包含著3種情況，分別討論較繁.而通過補集概念來證明非常簡單，因為它的反面只有一種情況，即“沒有一個方程有2個不相等的實數(shù)根”.

證明假設在3個方程中沒有一個方程有2個不相等的實數(shù)根,則3個方程的判別式

Δ1≤0，Δ2≤0，Δ3≤0，

于是

因為

所以

由于a,b,c均為正數(shù)，因此

這與式(1)矛盾.故假設“在3個方程中，沒有一個方程有2個不相等的實數(shù)根”是錯誤的，從而原命題結論正確.

深度思考

鄭毓信教授曾說過：“知識求連，方法求變.”學生的認知發(fā)展是有規(guī)律的，變式教學是學生獲取解題方法的有效途徑.張光鑒在《相似論》中指出，如果在問題求解時，某個偶然的機會，相似塊與問題求解的信息度達到高度的相似結合與相似匹配，產(chǎn)生了某種共振狀態(tài)，信息的幅度就會大大增加.因此，在某種意義上說，變式教學的過程就是相似信息的共振過程，或者說是由相似信息的共振引起的.這樣的教學設計完全擺脫了學生機械地判斷，可以優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，從而促使學生數(shù)學思想的發(fā)展.

3 在證明中變式

有些數(shù)學問題直接從已知出發(fā)進行推理，能得出的結論甚少,此時可以用間接的證法——反證法證明.當然，用反證法要考慮清楚原結論的反面，掌握證明適用的范圍.

例3已知凸四邊形ABCD,求證：這個凸四邊形一定可以被分別以AB，BC，CD，DA為直徑的半圓所覆蓋.

圖2

分析如圖3，由半圓可以想到以AB，BC，CD，DA為斜邊的直角三角形.連結AC，作DF⊥AC于點F，BE⊥AC于點E，則四邊形ABCD被4個直角三角形△ABE，△BCE，△CDF，△ADF所覆蓋.因為以AB，BC，CD，DA為直徑的4個半圓分別覆蓋4個直角三角形，所以這4個半圓覆蓋四邊形ABCD.

這就是正面的思考，主體工作已經(jīng)完成，需要細致思考的是點E,F可能在AC的延長線上，如圖3或圖4所示，結論也成立.此時，對比下面的反證法可知，反證法顯得更緊湊、有力.

圖3 圖4

證法1以AB，BC，CD，DA為直徑在四邊形內(nèi)作4個半圓.設點P為四邊形ABCD內(nèi)一點，若點P不被這4個半圓的任一個覆蓋，則在4個半圓之外.連結PA，PB，PC，PD，則

∠APB<90°，∠BPC<90°，

∠CPD<90°，∠DPA<90°,

相加得

360°=∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA<360°.

這一矛盾說明，點P必被某一半圓所覆蓋.

這個證法的關鍵是利用了圓周角等于360°，若先使用這一知識，把推理反過來，又得出一個正面證法.

證法2取四邊形ABCD內(nèi)一點P，連結PA，PB，PC，PD,則∠APB，∠BPC，∠CPD，∠DPA中的最大角必非銳角.記∠APB≥90°，則點P被以AB為直徑半圓覆蓋.

以上說明，若經(jīng)常利用變式的思維，則可以使命題的證明更有力，同時也可以提升學生解題能力的層次.

深度思考

數(shù)學教學離不開反面猜想，反面猜想是一種難度較大的跳躍性的創(chuàng)造性思維，是人的思維在已有事實和經(jīng)驗上，運用非邏輯手段而得到的一種合理的假設推理.在數(shù)學的發(fā)展史上，有使用反證法的不少典范，學生應該掌握這一基本的證法.在數(shù)學教學中，這樣的教學設計可以讓學生在正面與反面的強烈反差中產(chǎn)生一種震撼，經(jīng)歷此心理活動后往往會給學生留下深刻的印象，從而強化對變式觀念的建立.

4 在習題中變式

課本習題中有許多基本的題目，只要仔細挖掘，就能讓學生得到變式的訓練.

課例4如圖5，A，B，C，D這4個點在一條直線上，問圖中有幾條線段？是哪幾條？

解從左到右找線段，以A為起點的線段有AB，AC，AD這3條，以B為起點的有BC，BD這2條，以C為起點的有CD一條，因此圖5中共有線段3+2+1=6條.

圖5 圖6

此題有以下多種變式：

(1)數(shù)線段：一條線段上有n個點A1,A2,A3,…,An，以任意2個點為端點的線段共有多少條？

解在直線上依規(guī)律從左到右找線段，以A1為端點的有(n-1)條,以A2為端點的有(n-2)條，以A3為端點的有(n-3)條,…,以An-1為端點的有1條.因此，共有線段

(2)數(shù)角：如圖6，同一平面上有個n個點A1,A2,A3,…,An，以O為端點作射線OA1,OA2,OA3,…,OAn，則圖中共有多少個角？

解在射線上依規(guī)律從左到右，以OA1為始邊的有(n-1)個角，以OA2為始邊的角有(n-2)個，以OA3為始邊的角有(n-3)個,…,以OAn-1為始邊的角有1個.因此，圖中共有角

(3)數(shù)三角形：如圖7所示，一條直線上有n個點A1,A2,A3,…,An，點O是直線外一點，順次連結OA1，OA2，OA3,…,OAn，則圖中共有多少個三角形？

解在直線上依規(guī)律從左到右找線段，以點A1為端點的有(n-1)條,以點A2為端點的線段有(n-2)條，以點A3為端點的線段有(n-3)條,…,以點An-1為端點的線段有1條.因此，圖中共有三角形

(4)數(shù)平行四邊形.

圖7 圖8

①現(xiàn)有縱、橫2組平行線相交，每組5條，如圖8，則圖中有多少個平行四邊形？

解因為每一條直線與一組平行線相交可得5個點，所以平行四邊形有

②縱、橫2組平行線相交，如果縱向有m條，橫向的有n條，那么這2組平行線可構成多少個平行四邊形？

解因為橫向上每條直線被縱向上的平行線截為m個點，而縱向上每條直線被橫向上的平行線截為n個點，所以平行四邊形有

深度思考

“多種變式體驗”需要建立聯(lián)系.通過以上例子，我們發(fā)現(xiàn)讓學生思維閃光的前提是：教師合理設計變式體驗活動，將獨立的材料按照一定的順序進行排列、整合，同時巧妙地加以引導，這樣才能讓零散的思維聚集為有序的推理.

從獨立走向整合.當“獨立”的素材進行“整合”時，學生思維的深度也就自然而然地顯現(xiàn)出來.在經(jīng)歷比較、分析之后，學生的思考變得有序、推斷變得合理.這也正是教師希望達到的境界：直觀的變式體驗喚醒學生深入的思考，具體的感知提升為抽象的認識！

“讓學生數(shù)學學習經(jīng)歷變式的過程”伴隨著課改的步伐正與我們共同前行！體驗數(shù)學變式學習的必要性，經(jīng)歷數(shù)學思想方法的概括過程，認清知識應用的廣泛性及與生活的聯(lián)系，才能更好地調(diào)動學生學習的主動性，使學生的數(shù)學思維不僅敏捷而且靈活，不僅深刻而且獨創(chuàng).

“心中悟出始知深.”變式可以簡單，而思維必須深刻！結合以上5個例子的教學實踐，筆者認為，如果平時能夠充分鉆研題目，注重變式教學，并運用于教學實際，讓學生積極、主動地參與教學的全過程，調(diào)動和展示學生的思維，使學生在思維中形成一般性的“定勢”，從而有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，及大膽創(chuàng)新、勇于探索的精神，這樣學生一定會收益匪淺，并真正把能力的培養(yǎng)落到實處.

[1] 羅增儒.初中數(shù)學奧林匹克[M].南寧：廣西教育出版社，2001.

[2] 毛顯勇.數(shù)學教學[M].上海：上海教育出版社，2004.

[3] 王萬勇.數(shù)學大世界[M]．長春：世界圖書出版公司，2003.

[4] 何乃忠.新課程有效操作教學解讀[M].南寧：廣西教育出版社，2008.