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        淺議變限定積分

        2017-05-09 21:44:28郭勝紅
        速讀·中旬 2016年9期
        關(guān)鍵詞:極限

        郭勝紅

        摘 要:給出了原函數(shù)存在定理的兩個(gè)簡(jiǎn)單推論,并討論了含有變限定積分的函數(shù)性狀及其應(yīng)用。

        關(guān)鍵詞:原函數(shù)存在定理;變限積分;極限

        微積分學(xué)這門(mén)學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的,變限積分就是一種特殊的定積分,也是經(jīng)常考察的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。它具有很多特殊的性質(zhì),比如它的導(dǎo)數(shù)很特殊。特殊性決定了它的重要性,現(xiàn)就它的幾個(gè)性質(zhì)加以說(shuō)明并舉例闡述其應(yīng)用。此外,為了解決在定積分形式下證明連續(xù)函數(shù)必定存在原函數(shù)這一問(wèn)題,必須引入變限積分這一內(nèi)容。

        1知識(shí)點(diǎn)

        設(shè)函數(shù)在上可積,變限定積分定義了上的一個(gè)新函數(shù)。

        定理1(原函數(shù)存在定理)如果函數(shù)在上連續(xù),則變上限積分在內(nèi)可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為.即是被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)。

        推論1:若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),為內(nèi)任一定點(diǎn),則變動(dòng)上限積分函數(shù)在上處處可導(dǎo),且,。

        此推論是變限積分的最重要的性質(zhì),掌握此定理需要注意兩點(diǎn):第一,下限為常數(shù),上限為參變量(不是含的其他表達(dá)式);第二,被積函數(shù)中只含積分變量,不含參變量。

        推論2:若是函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)點(diǎn)時(shí),還在點(diǎn)可導(dǎo),且。而對(duì)函數(shù),當(dāng)連續(xù),和可微時(shí),可導(dǎo)且有。

        討論含有變限定積分的函數(shù)性狀時(shí),往往利用這些重要的結(jié)論。

        2應(yīng)用

        2.1求極限

        解:令

        ,。

        定義,在(或)上連續(xù),利用洛必達(dá)法則可得:

        2.2設(shè)函數(shù)連續(xù),,存在,求極限

        解:令,作代換,有:

        ,由于連續(xù),可導(dǎo),

        由于,,以及時(shí),利用洛必達(dá)法則可得:

        2.3設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且遞增,則函數(shù)在內(nèi)遞增

        證:容易看出在上連續(xù),存在,使得,,所以:

        ,

        即函數(shù)在內(nèi)遞增。

        2.4設(shè)為上周期是1的連續(xù)函數(shù),且,函數(shù)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),又設(shè),試證明收斂。

        證明:令,則可導(dǎo)。

        因?yàn)樵谠谏线B續(xù),所以,使得,都有

        ,,而收斂,故由級(jí)數(shù)收斂的比較判別法知級(jí)數(shù)收斂。

        盡管2.4從題目看來(lái)與變限積分函數(shù)求導(dǎo)無(wú)關(guān),但是引入變限積分會(huì)有柳暗花明又一村的感覺(jué)。

        有關(guān)變限積分函數(shù)的應(yīng)用是比較多的,本文只給出了變限積分函數(shù)的一些性質(zhì)和應(yīng)用的簡(jiǎn)單探討,以上討論只是一個(gè)開(kāi)始,如果進(jìn)一步對(duì)其進(jìn)行討論,會(huì)得到一些更好的結(jié)論,也期望可以從其他的角度來(lái)研究變限積分函數(shù),使得變限積分函數(shù)像初等函數(shù)一樣充分的被討論,并給予足夠的重視。

        參考文獻(xiàn):

        [1]華東師大數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè)).高等教育出版社,1991.

        [2]錢(qián)吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹.崇文書(shū)局,2003.

        [3]江瑞俠、祝明慧、賈興斌.淺談“變限積分”[J].滄州師范專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào),2006(2):51-53.

        [4]盧亞麗、李艷華、李戰(zhàn)國(guó)、孫書(shū)安、李曄.變限積分函數(shù)求導(dǎo)方法研究[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004(1):4-6.

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