宋述剛 謝作喜

(長江大學信息與數(shù)學學院,湖北 荊州 434023)

試論數(shù)學危機與數(shù)學的發(fā)展①

宋述剛 謝作喜

(長江大學信息與數(shù)學學院,湖北 荊州 434023)

數(shù)學這門學科始終圍繞著數(shù)與形而展開。數(shù)學的發(fā)展并非一帆風順,而是處處充滿了危機。數(shù)學在其發(fā)展過程中經(jīng)歷了三次大的危機。探究這三次數(shù)學危機的歷史根源、思想背景,分析危機的解決給數(shù)學帶來的巨大促進作用,對了解數(shù)學這門學科的發(fā)展脈絡(luò)、領(lǐng)略數(shù)學的旖旎風光與思想方法無疑具有十分重要的意義。

數(shù)學危機;畢達哥拉斯學派;微積分;集合論

一、引言

數(shù)學這門學科始終圍繞著數(shù)與形而展開。在人類文明的早期,人們開始認識自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù),正方形、三角形、一般直線形以及特殊的曲線形如圓、橢圓、拋物線等。數(shù)與形已有初步的結(jié)合。隨著文明的進一步發(fā)展,人們又認識了無理數(shù)、復(fù)數(shù)乃至于一般抽象集合的元素,而對形的認識,則經(jīng)歷了從可度量的曲線形到一般的圖形或空間點集。代數(shù)與幾何有了更密切的結(jié)合。數(shù)與形經(jīng)歷了從有限到無限的過程,最終歸結(jié)為集合,使集合論成為現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)。

數(shù)學的發(fā)展并非一帆風順,而是處處充滿了危機。所謂危機,是事物的一種已激化的非解決不可的矛盾,它深刻影響著事物的運動、變化與發(fā)展。數(shù)學雖然以精確嚴密著稱,但矛盾無處不在,例如正數(shù)與負數(shù),有理數(shù)與無理數(shù),有限與無限,連續(xù)與間斷,微分與積分,等等。當數(shù)學中的矛盾激化到影響數(shù)學的基礎(chǔ)時,即產(chǎn)生數(shù)學危機。每消除、解決一次數(shù)學危機,都會極大地促進數(shù)學的飛躍與發(fā)展。

數(shù)學在其發(fā)展過程中,經(jīng)歷了三次大的危機。探究這三次數(shù)學危機的歷史根源、思想背景,分析危機的解決給數(shù)學帶來的巨大促進作用,對我們了解數(shù)學這門學科的發(fā)展脈絡(luò)、領(lǐng)略數(shù)學的旖旎風光與思想方法無疑具有十分重要的意義。

二、第一次數(shù)學危機

古希臘文明在人類文明史上具有承前啟后的重要作用。古希臘文明可追溯到公元前2000年以前,公元前600年到公元600年為其鼎盛時期。數(shù)學,特別是幾何學在古希臘文明早期還孕育在哲學的母體之內(nèi)。古希臘有一個著名的畢達哥拉斯學派,他們重視對自然與社會的理性研究,把幾何、算術(shù)、天文、音樂稱為四藝,追求宇宙的和諧及其規(guī)律性。這個學派的哲學觀是“萬物皆數(shù)”,他們認為整數(shù)是上帝創(chuàng)造的,整數(shù)與整數(shù)之比是人創(chuàng)造的,世間萬事萬物都可以歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。顯然,他們的認識局限于有理數(shù)范圍之內(nèi)。

畢達哥拉斯學派對數(shù)學作出了杰出貢獻,成就之一是發(fā)現(xiàn)了勾股定理(中國古代發(fā)現(xiàn)此定理較之更早)。在西方這一定理被稱為畢達哥拉斯定理,也被認為是最美的數(shù)學定理之一。傳說為了慶祝此發(fā)現(xiàn),畢達哥拉斯學派曾舉辦過“百牛宴”。但正是由于此定理的發(fā)現(xiàn),該學派的一名成員希帕索斯(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了另一個驚人的事實:兩直角邊都為1的直角三角形的斜邊不能歸結(jié)為整數(shù)之比!這可反證如下:假設(shè)斜邊為,其中m,n互素,則m,n至少有一個是奇數(shù)。由勾股定理,有

可得m2=2n2,則m必為偶數(shù),將m=2k代入,又得n2=2k2,則n也必為偶數(shù),矛盾。有可能畢達哥拉斯本人就發(fā)現(xiàn)了這一事實,但因它違背了該學派的哲學信條,使得畢達哥拉斯保持了沉默。不幸的是,希帕索斯卻因為這一發(fā)現(xiàn),被同伴拋進了大海,成為史上第一個為科學獻身的人。

萬物皆數(shù)在幾何上表現(xiàn)為任意兩條線段都可以公度。希帕索斯發(fā)現(xiàn)直角邊都為1的直角三角形的斜邊與直角邊不可公度,也就是發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)。由于畢達哥拉斯學派的巨大影響以及幾何學在古希臘的崇高地位,無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)在當時的古希臘學術(shù)界產(chǎn)生了極大震動,從而形成了第一次數(shù)學危機。

第一次數(shù)學危機揭示了無理數(shù)的存在,涉及到了無限與無限過程,遺憾的是,古希臘人并沒有馬上認可無理數(shù),而是將其歸結(jié)為幾何量之比,對無限也是敬而遠之。大約在一個世紀之后,才由畢達哥拉斯學派成員的學生歐多克斯(Eudoxus)提出新的比例理論而暫時消除危機。盡管這樣,第一次數(shù)學危機給人們警示:直覺與經(jīng)驗并不可靠。只有通過推理證明了的結(jié)論才是可靠的。從此,希臘的哲學家、數(shù)學家紛紛對宇宙展開理性的研究與討論:伊利亞學派的芝諾(Zeno)提出了四個著名的悖論;德謨克里特(Democritus)建立了原子論;特別是稍晚的亞里士多德(Aristotle),被稱為古希臘百科全書式的人物,創(chuàng)立了古典邏輯學。這些理論極大地促進了演繹數(shù)學的發(fā)展。受柏拉圖(Plato)、亞里士多德的影響,歐幾里得(Euclid)首次在數(shù)學中運用公理方法撰寫了《幾何原本》等數(shù)學著作,建立了歐氏幾何學,最終古希臘成就了初等數(shù)學的基本體系。

三、第二次數(shù)學危機

隨著中世紀的結(jié)束與文藝復(fù)興運動的興起,歐洲近代數(shù)學蓬勃發(fā)展。17世紀對數(shù)的發(fā)明促進計算技術(shù)的改進,解析幾何的誕生帶來數(shù)學方法的革命,天文學、力學、運動學等自然科學以及資本主義工業(yè)生產(chǎn)提出了大量諸如求曲線的切線、運動物體的瞬時速度、函數(shù)極值、曲邊形面積等初等數(shù)學不能解決的實際問題。為了解決這些問題,法國數(shù)學家笛卡兒(R.Descartes),費爾馬(Fermat),德國天文學家、數(shù)學家開普勒(Kepler),意大利數(shù)學家卡瓦列里(Cavalieri),英國數(shù)學家巴羅(Barrow)等都進行了研究。終于在17世紀后期,由英國科學家牛頓(Isaac Newton)與德國哲學家萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)創(chuàng)立了微積分理論。

微積分的創(chuàng)立,是數(shù)學史也是科學史上的里程碑。一方面,它在數(shù)學上的進一步發(fā)展形成了近現(xiàn)代的分析數(shù)學,包括微分方程、復(fù)變函數(shù)、微分幾何實變函數(shù)、泛函分析等。另一方面,它極大地促進了物理學、化學、天文學等自然科學與工程技術(shù)的發(fā)展。但是,微積分創(chuàng)立之初,其基礎(chǔ)很不嚴格。以牛頓求導(dǎo)數(shù)(牛頓稱為“流數(shù)”)的“首末比方法”為例:

為了求y=xn的導(dǎo)數(shù),首先設(shè)x變?yōu)閤+ο,其中ο是x的增量,牛頓稱為“瞬”,ο≠0,則函數(shù)增量為…,函數(shù)增量與自變量增量構(gòu)成所謂的“最初比”:nxn-1++…,最后,設(shè)增量ο消失,即令ο= 0,得“最終比”即導(dǎo)數(shù)為nxn-1。

上述自變量的增量ο到底是0,還是不為0,引起了極大爭論,最令人震撼的抨擊來自英國哲學家伯克萊(Berkeley)主教,他于1734年發(fā)表了小冊子《分析學家,或致一位不信神的數(shù)學家》,攻擊牛頓在流數(shù)論中關(guān)于無窮小量的混亂假設(shè),同時,對萊布尼茲的微積分也竭力非難,說其中的正確結(jié)論是從錯誤的原理出發(fā)通過錯誤的抵消所獲得。雖然伯克萊的攻擊主要是出于宗教的動機——保衛(wèi)基督教教義,但他的許多評判確實切中要害,客觀上揭露了早期微積分的邏輯缺陷。這些對微積分基礎(chǔ)的懷疑批評甚至攻擊,造成了數(shù)學史上的第二次危機。

第二次數(shù)學危機的出現(xiàn),也涉及到了無窮與無窮過程。它刺激了牛頓、萊布尼茲之后的數(shù)學家們?yōu)榻⑽⒎e分的嚴格基礎(chǔ)而努力。18～19世紀,歐洲的著名數(shù)學家如法國的達朗貝爾(J.d’Alembert)、柯西(Cauchy),德國的魏爾斯特拉斯(Weierstrass)、康托爾(Cantor)為分析的嚴格化作出了杰出貢獻。他們給出了函數(shù)、極限的近代概念以及無窮小分析。到19世紀末,形成了建立在實數(shù)理論之上的極限理論,為微積分理論奠定了堅實的基礎(chǔ)。此外,微積分理論也發(fā)展得更加豐富多彩。

四、第三次數(shù)學危機

19世紀末20世紀初,以康托爾集合論的建立為標志,數(shù)學步入現(xiàn)代數(shù)學時期。時至今日,集合論已成為現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)。

集合論的建立并非一帆風順,康托爾在研究三角級數(shù)的“唯一性點集”時,自然而然地碰到實數(shù)“集合”的子集問題。這引導(dǎo)他去考慮一般的集合理論。研究發(fā)現(xiàn),有理數(shù)的集合都是可以“數(shù)”的,而全體實數(shù)則不然,這說明無理數(shù)、超越數(shù)要比有理數(shù)多得多。但康托爾卻連一個具體的超越數(shù)也未列舉出來。此外,集合論中也發(fā)現(xiàn)了一些矛盾,這引起當時的一部分數(shù)學家的懷疑甚至憤怒。雖然有很多數(shù)學家如戴德金(Dedekind)、希爾伯特(Hilbert)的支持,但柏林學派的領(lǐng)袖人物克洛耐克(Kronecker)極力反對集合論,認為只有他研究的數(shù)論與代數(shù)才可靠。集合論遭遇的冷遇與壓力,導(dǎo)致康托爾晚年精神抑郁,1918年1月6日病死在精神病醫(yī)院。

分析的嚴格化與集合論的創(chuàng)立,一度使數(shù)學家對數(shù)學基礎(chǔ)變得大為放心。法國大數(shù)學家龐加萊(Poincare)在1900年巴黎國際數(shù)學家大會上樂觀地宣稱:“現(xiàn)在我們可以說,完全的嚴格性已經(jīng)達到了。”可話音未落,集合論中的悖論就產(chǎn)生了。事實上,康托爾早先就發(fā)現(xiàn)了所謂的“最大集合悖論”,但沒有引起人們的重視。其后,英國哲學家、數(shù)學家羅素(Russell)發(fā)現(xiàn)了更為驚人的“理發(fā)師悖論”,用集合的語言描述為:將集合分為兩類,第一類是集合不是它本身的元素;第二類是集合是它本身的元素。考慮全體第一類集合的集合A,問A到底屬于哪一類?如果A∈A,根據(jù)定義,A的元素不該屬于A,即A?A;反過來,如果A?A,同樣根據(jù)定義,不是它自身元素的集合應(yīng)該屬于第一類,即A∈A。這是一個邏輯矛盾,它僅用了三個集合論最基本的概念:元素、屬于、集合。后來,羅素又用理發(fā)師悖論來形象地說明:一個鄉(xiāng)村理發(fā)師,宣稱專門給那些不自己刮臉的人刮臉。請問:這個理發(fā)師該不該給自己刮臉?

羅素的理發(fā)師悖論雖然簡單明了,卻產(chǎn)生了極大的震動,形成了數(shù)學史上的第三次危機。法國數(shù)學家弗雷格(Frege)在其當時剛剛完成的數(shù)學著作《算術(shù)基礎(chǔ)》中寫道:“一個科學家不會碰到比這更令人尷尬的事情了,即在一項工作完成的時候它的基礎(chǔ)卻在崩潰,當這部著作即將付印之際,羅素先生的一封信就使我處于這種境地?！?/p>

為了消除悖論,數(shù)學家們首先考慮將康托爾所謂的“樸素集合論”加以公理化。1908年策梅洛(Zermelo)提出了第一個集合論公理系統(tǒng),后經(jīng)弗蘭克爾(Fraenkel)改進,形成了現(xiàn)在常用的策梅洛—弗蘭克爾公理系統(tǒng)(簡稱ZF系統(tǒng)),它包括外延公理、空集公理、并集公理、冪集公理、子集公理、無限公理、選擇公理、代換公理、正則公理等。此公理體系可以證明:任何集A都有A?A,一切集合所組成的“集合”不是集合,從而避免了羅素悖論。但是,策梅洛—弗蘭克爾公理系統(tǒng)的無矛盾性至今未被證明。任何公理系統(tǒng)都要求具備獨立性、相容性(無矛盾性)、完備性。

第三次數(shù)學危機引起了哲學家、邏輯學家和數(shù)學家的共同關(guān)注,用數(shù)學的方法研究邏輯以及用邏輯的方法研究數(shù)學基礎(chǔ)成為20世紀的一個發(fā)展方向,形成了數(shù)理邏輯學、數(shù)學哲學等數(shù)學基礎(chǔ)方面的現(xiàn)代學科。由于觀念的不同,關(guān)于數(shù)學基礎(chǔ)有三大流派:以羅素為代表的邏輯主義、以布勞爾(Brouwer)為代表的直覺主義和以希爾伯特為代表的形式主義。對于公理系統(tǒng)的相容性,1931年,奧地利數(shù)學家哥德爾(Godel)證明了“哥德爾不完全性定理”,說明一個包含自然數(shù)算術(shù)的公理系統(tǒng)的相容性在該系統(tǒng)內(nèi)是不可證明的。至此,第三次數(shù)學危機逐步淡化。

按照一定的特征,數(shù)學這門科學可分為四個部分_:

如果說基礎(chǔ)數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學是開疆拓域的話,數(shù)學史與數(shù)學基礎(chǔ)則是打掃清理戰(zhàn)場,并為前者提供思想方法的部分。

[1]胡作玄.第三次數(shù)學危機[M].成都:四川人民出版社,1985.

[2]朱梧賈.幾何基礎(chǔ)與數(shù)學基礎(chǔ)[M].沈陽:遼寧教育出版社,1987.

[3]張錦文.公理集合論導(dǎo)引[M].北京:科學出版社,1991.

[4]李文林.數(shù)學史教程[M].北京:高等教育出版社,2002.

責任編輯 強 琛 E-mail:qiangchen42@163.com

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1673-1395(2010)05-0051-03

2010-06-09

宋述剛(1961—),男,湖北荊門人,教授,主要從事函數(shù)論及數(shù)學史研究。

① 本文屬長江大學教學研究項目(J Y2009013)產(chǎn)出論文。