高爾名

(原平市職業(yè)中學(xué),山西原平034100)

在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)中,大家都熟悉算術(shù)平均值與幾何平均值的關(guān)系,我們也常稱為均值定理。

定理:如果a、b∈R+,那么

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取“=”號)。

定理:如果a、b、c∈R+,那么

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,取“=”號)。

定理:如果a1、a2、a3…an∈R+,那么(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3=…=an時,取“=”號)。

在應(yīng)用此結(jié)論求值時,要注意三個條件:(1)各項(xiàng)或各因式為正;(2)和或積為定值;(3)各項(xiàng)或各因式都能取得相等的值。

一、在函數(shù)求最值方面的應(yīng)用

分析:因?yàn)?x-5<0,所以首先要調(diào)整符號。又(4x-2)不是常數(shù),所以要對(4x-2)進(jìn)行配湊。

故x=1時,ymax=1

分析:上例中我們要積為常數(shù),這例中我們要和為常數(shù)。

我們常用的是二元的均值定理。兩正數(shù)和一定,相等時積最大;兩正數(shù)積一定,相等時和最小。我們在處理問題時,必須遵循原則,靈活處理。

提示:在應(yīng)用均值定理時,各項(xiàng)或各因式必須為正。解:當(dāng)x>0時

當(dāng)x<0時

由此例可看到,處理有關(guān)問題時,要注意公式使用的前提條件,否則會出現(xiàn)錯誤的結(jié)果。

二、均值定理在不等式或求最值中的應(yīng)用

例5 a>b>1 P= lga·lgb Q=(lga+lgb) R=則

分析:觀察三式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),聯(lián)想對數(shù)運(yùn)算法則,注意到均值不等式就有如下解題過程。

解:∵a>b>1 ∴l(xiāng)ga>lgb>0 lga+lgb>2 lga·lgb

∴R>Q>P ∴答案選B。

即x=4 y=12時,上式等號成立。

故當(dāng)x=4 y=12時(x+y)min=16

例8 若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是( )。

分析:我們可以根據(jù)條件利用均值定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于ab的不等式,問題便可得到解決。

解:∵ab=a+b+3 ∴ab-3=a+b≥2 ab

∴ab-2 ab-3≥0 ∴ ab≥3或 ab≤-1(舍去)

∴ab≥9

∴ab的取值范圍是[9,+∞]。

以上是筆者在教學(xué)中總結(jié)的一些方法,希望能與同行共勉,進(jìn)一步做好我們的數(shù)學(xué)教學(xué)工作,為祖國培養(yǎng)更多的棟梁之材。