彭剛 劉廣平

【摘要】在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，一些數(shù)學(xué)概念、定義或公式從形式上說，比較抽象，但其內(nèi)容都與實(shí)際應(yīng)用有關(guān).為了講清一些抽象的數(shù)學(xué)概念或公式，引入應(yīng)用實(shí)例，深化教學(xué)改革，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性，進(jìn)一步提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果，本文列出了幾個(gè)重要數(shù)學(xué)概念和它的相應(yīng)的實(shí)例，用于豐富教學(xué)內(nèi)容.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);教學(xué)改革;教學(xué)方法;應(yīng)用實(shí)例

一、引言

高等數(shù)學(xué)是其他學(xué)科的基礎(chǔ)，在社會(huì)科技日益發(fā)展的今天，數(shù)學(xué)更是展現(xiàn)出了其獨(dú)有的魅力所在.數(shù)學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的良好思維品質(zhì)和創(chuàng)新精神具有重要作用，而傳統(tǒng)的教學(xué)模式卻限制了學(xué)生積極性和創(chuàng)造性的發(fā)揮，甚至影響到高質(zhì)量人才的培養(yǎng).因此，對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革已達(dá)成共識(shí)，如何進(jìn)行教學(xué)改革，卻沒有一定的模式，但是，為了講清高數(shù)中的一些重要概念引入實(shí)例教學(xué)法，將抽象的概念變?yōu)榫唧w的形象的概念，愈來愈受到學(xué)生的歡迎，對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和教學(xué)效果大有裨益.

二、二個(gè)數(shù)學(xué)概念的相關(guān)實(shí)例及其應(yīng)用

（一）函數(shù)y=f（x）在x0處連續(xù)與間斷的實(shí)例

函數(shù)y=f（x）在x0處連續(xù)與間斷是一對(duì)相互否定的概念，因此，可以放在一起來講，這對(duì)概念也是比較抽象的，在教材安排上也沒有舉實(shí)例.作者在很長(zhǎng)一段時(shí)間也苦于找不到一個(gè)很好的實(shí)例.正好，我國(guó)于2007年10月20日18：05發(fā)射“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星，當(dāng)火箭發(fā)射時(shí)，燃料燃燒釋放大量的熱量，為了吸收這些熱量，發(fā)射架下建了一個(gè)400 m3的水池.當(dāng)火箭發(fā)射瞬間，水池里的水全部變?yōu)樗魵?基于這個(gè)實(shí)例，將其概括成函數(shù)模型.設(shè)水池容積為V，向水池中注水的水管流速為V0，注滿水的時(shí)間為t0，火箭發(fā)射的時(shí)刻為t1，則V關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)為：V（t）=v0t，0≤t≤t0，400，t0≤t≤t1. 如圖所示：

由此實(shí)例可知，向水池中連續(xù)注入水時(shí)，水池中水的變化是連續(xù)變化的，當(dāng)水池注滿水到火箭發(fā)射時(shí)，水池中的水是一個(gè)不變的體積（常量），也是連續(xù)的，當(dāng)火箭發(fā)射時(shí)，水池中的水由400 m3變?yōu)?.由此可知，v（t）在t=t0處是連續(xù)的，在t=t1處是不連續(xù)的.

再分析：t=t0，v（t）→v（t1）=400，即 limt→t0v（t）=v（t0），

t→t-1，v（t）→v（t0）=400，但t→t+1，v（t）→0，

limt→t1v（t）不存在.

即得出 limx→x0f（x）=f（x0），f（x）在x0點(diǎn)連續(xù)，否則f（x）在x0點(diǎn)處不連續(xù).

（二）基礎(chǔ)解析的實(shí)例

在城市中，交通堵塞成為阻礙城市發(fā)展的“瓶頸”和市民關(guān)注的焦點(diǎn).下面的例子一方面，給出了交通堵塞的部分?jǐn)?shù)學(xué)解釋，另一方面，也給出線性方程組基礎(chǔ)解析一個(gè)生動(dòng)的刻畫.圖中是某一地區(qū)的公交網(wǎng)絡(luò)圖，所有的道路都是單行道，且道上不能停車，通過的方向用箭頭表示，標(biāo)示的數(shù)字為高峰期每小時(shí)進(jìn)出網(wǎng)絡(luò)的車輛數(shù)，試從交通流量平衡條件建立線性方程組，并對(duì)解做出符合實(shí)際意義的解釋.

如圖所示：

根據(jù)每個(gè)“十字”路口節(jié)點(diǎn)處“入=出”的準(zhǔn)則，得出下旬四個(gè)“十字”路口節(jié)點(diǎn)的方程;

（1）x4+550=650+x1;

（2）x1+550=400+x2;

（3）x2+500=350+x3;

（4）x3+450=600+x4.

上述方程組的通解為：x1x2x3x4=50200350200+k1111，k為正數(shù).

本來上述方程組有四個(gè)未知數(shù)，有四個(gè)方程，但是R（A）=R（A）=3<4，從實(shí)際分析中得知，K為整數(shù)，有正負(fù)之分是與行車方向有關(guān)，基礎(chǔ)解系1111的實(shí)際意義是什么呢？如果k=0x1x2x3x4=50200350200 說明這800輛車在單形道上只行駛一次，當(dāng)k≠0時(shí)，說明x1，x2，x3，x4路上在此基礎(chǔ)上增加了k輛車，而此公路交通網(wǎng)絡(luò)流入的車輛為（200+100+200+300），從公路網(wǎng)絡(luò)流出的車輛為300+300+200=800（輛），

k=0時(shí)，x1+x2+x3+x4=800輛，

k≠0時(shí)，x1+x2+x3+x4>800輛.

為什么呢？只能說明有些“無聊”的司機(jī)找不到目標(biāo)和方向，在此公交網(wǎng)絡(luò)單行道中往復(fù)行駛.

高等數(shù)學(xué)從理論上說是比較抽象的，但它來源于實(shí)踐，而又能指導(dǎo)實(shí)踐，在講授高等數(shù)學(xué)時(shí)，應(yīng)該因時(shí)、因地制宜，列舉一些實(shí)例，用一些具體實(shí)例得出一般的數(shù)學(xué)概念或者用一些具體事例解釋一些數(shù)學(xué)抽象概念.從而最終改變以往學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)枯燥無味的局面，全面進(jìn)行數(shù)學(xué)改革，提高教學(xué)質(zhì)量.

【參考文獻(xiàn)】

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