朱旭平

小學數(shù)學“解構(gòu)教材”包含兩層含義：一是解讀小學數(shù)學教材；二是在解讀的基礎(chǔ)上，按照數(shù)學本身的知識邏輯體系，根據(jù)學生的年齡特點和認知體系，對教材進行二次構(gòu)建，從而形成教學設(shè)計思路。所以，對教材的“解”與“構(gòu)”是互為依存，不斷遞進的一組概念。解讀教材是實現(xiàn)教材二次建構(gòu)的基礎(chǔ)，而教材的二次建構(gòu)又反過來會深化對教材的理解，兩者有著諸多相同的研究視角、途徑和策略。本文從具體的課時案例出發(fā)，深入闡析了小學數(shù)學教材解構(gòu)的若干基本路徑。

一、著眼知識的發(fā)展脈絡(luò)，理清知識的前因后果

2008年12月，全縣舉行了數(shù)學大練課比賽，要求教師用同課異構(gòu)的形式參賽。我校一位青年教師抽到的是人教版小學數(shù)學第十冊的內(nèi)容《因數(shù)和倍數(shù)》。我們數(shù)學研究組在共同解構(gòu)此課時，碰到的最大問題是：如何出示因數(shù)和倍數(shù)這一組概念（一般都是從2×6=12中，用規(guī)定方式引出），又如何深入理解此課中因數(shù)概念和乘積關(guān)系中的因數(shù)概念有什么關(guān)系？

我們帶著這樣的問題進行了試教。通過對學生進行提問，我們發(fā)現(xiàn)很多學生對該課題的第一感知是：因數(shù)在乘法中出現(xiàn)過，我們已經(jīng)學過了。這促使我們進一步從教材變化的角度來思考問題。本課教材將因數(shù)、倍數(shù)概念從具有整除關(guān)系的除法算式中揭示改為從相應的乘法算式na＝b中揭示，將原先命名的約數(shù)概念改為因數(shù)。這樣的變化，就帶來了一個疑問：為什么要把原先的約數(shù)改為因數(shù)，而在小學數(shù)學教材中就出現(xiàn)了命名重復的現(xiàn)象呢？這究竟是失誤、巧合，還是基于數(shù)學本質(zhì)內(nèi)涵而作出的規(guī)定呢？我們認為：乘積關(guān)系中的因數(shù)與因倍關(guān)系（本課學習的因數(shù)和倍數(shù)是在整除關(guān)系中揭示的一組概念，因教材的改變，在此暫且將這種關(guān)系稱為因倍關(guān)系）中的因數(shù)，兩者不是蕃薯與毛芋各不相干的關(guān)系，而是蕃薯與薯條的關(guān)系。從知識的發(fā)展體系來看，兩個因數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵是一致的，它們都可以表示數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，即都可以說2是12的因數(shù)，只是在不同的關(guān)系背景下其概念外延不同。在乘積關(guān)系中，因數(shù)可以表示任何數(shù)；在因倍關(guān)系中，因數(shù)只能表示非0整數(shù)。而到中學，公因數(shù)、公倍數(shù)等概念中，其研究范圍又回歸到任何數(shù)。因此，我們在解構(gòu)這節(jié)課時，采用舊知遷移方式來出示因數(shù)、倍數(shù)這一組概念，并著力于在數(shù)論背景中進行刻劃。

基于這樣的思考，因數(shù)、倍數(shù)概念的出示方式具體設(shè)計如下。先順向遷移因數(shù)概念，出示飛機圖（如右圖），列出算式2×6=12，讓學生說算式中各部分的名稱（板書：因數(shù)、因數(shù)、積），再讓學生說說2是誰的因數(shù)？6呢？進而進行逆向提問：12是誰的積？ 12是2的什么呢？（板書：12是2和6的倍數(shù)，12是6的倍數(shù)。）然后，請學生說說因數(shù)和倍數(shù)之間的關(guān)系。教師總結(jié)：因數(shù)和倍數(shù)是一組相互依存的概念，有著互逆關(guān)系。

我們認為，在解構(gòu)一節(jié)課時，應以一種整體、開放、聯(lián)系的視角，把教材內(nèi)容納入整個知識發(fā)展脈絡(luò)之中，理解編者意圖，理清整個知識發(fā)展脈絡(luò)分布的基本結(jié)構(gòu)、知識的前因后果和來龍去脈，找準新舊知識的關(guān)聯(lián)與生長點；明確每節(jié)課所學的知識點、知識塊在整個單元、整冊教材、整個小學階段所處的地位、作用，明確每節(jié)課的重點、難點和關(guān)鍵，從而幫助學生完善認知結(jié)構(gòu)，并建立完整的知識體系，理清知識的前因后果，即要回過頭來看看前面的教材，明確學生對于現(xiàn)學內(nèi)容的認知基礎(chǔ)；要放眼于后面的乃至中學教材中的內(nèi)容，明確現(xiàn)學內(nèi)容的高位知識是什么，以便為建構(gòu)現(xiàn)學內(nèi)容找到遷移的落腳點、鞏固的深化點，為后面內(nèi)容的學習掃清障礙、埋下伏筆。同時，還要以此為背景，充分考慮知識的形成線索與學生的認知線索，在此基礎(chǔ)上對教材內(nèi)容進行適當?shù)难a充、修改、調(diào)換和刪減等。

二、理清知識之間的關(guān)系，實現(xiàn)知識的串聯(lián)與整合

在解構(gòu)人教版小學數(shù)學第一冊《6和7的加減法》一課時，我們碰到的最大問題是：此課教學內(nèi)容蘊含著加法、減法兩大塊并列知識（如左圖）。加法或減法知識內(nèi)部都有生活原型、意義、算理、計算技能、書寫規(guī)范等各個層次表征，而如何理清加減法及內(nèi)部橫縱向各個層次表征之間的關(guān)系，實現(xiàn)知識的串聯(lián)與整合，糅合各層次表征的力量，促進加減法知識模塊的建構(gòu)，還需要深入的思考。

為了破解這個問題，我們首先認真研讀教材，仔細分析了加減法本身的特點及關(guān)系。具體情況如下：

1.從書本情境（如左圖）分析，加減法有各自的生活原型，每一幅生活原型中分別可以得到兩道算式，數(shù)學上簡稱為“一圖兩式”。我們認為：加法易于從圖中得出兩道互逆的算式，而減法不易從圖中得出兩道互逆的算式。

2.從加減法各自的兩式內(nèi)在關(guān)系來看，兩道加法算式關(guān)系很明顯，學生已初步掌握，能從一道加法算式想到與之互逆的另一道加法算式；而兩道減法算式關(guān)系則不清晰，學生基本沒有這方面的認知基礎(chǔ)，還不能從一道減法算式想到與之互逆的另一道減法算式。

3.從計算算理來看，兩者都是以數(shù)的組成來闡析計算算理，但減法比加法更難理解；從計算技能來看，減法比加法更難掌握。

基于這樣的分析，我們認為本節(jié)課的教學重點是：掌握計算6、7的加減法計算方法，形成計算技能，能從一幅圖中列出兩道相應的算式；教學難點是：通過操作和觀察活動，讓學生在活動中發(fā)現(xiàn)一圖兩式的內(nèi)在規(guī)律。在建構(gòu)教學時，我們作了如下處理：

（1）生活原型：課始用加法生活原型引入，明晰了抽象線路：從蘋果實物（具體）——圓片圖（半具體、半抽象）——兩個算式（抽象）；在課尾呈現(xiàn)減法生活原型，使學生在掌握減法意義、計算方法的基礎(chǔ)上，反過來解決生活問題，為下節(jié)課作鋪墊。

（2）意義算理。本節(jié)課是計算課，以算理為主，意義為輔。算理闡述以半具體、半抽象的組成圖（如下圖）實現(xiàn)圖式結(jié)合，以組成突破計算方法。不單純闡述意義，將算式意義揉合于算理和兩道互逆算式的對比分析之中，使算式意義為理解算理服務(wù)。

（3）教學方式。加法以引導發(fā)現(xiàn)為主，減法以自主探究為主，減法教學時間比加法略多一些。

所以，教師在解構(gòu)一節(jié)課時，要能透過教材從情境、例題、習題等方面解剖出所蘊含的知識點；要從哲學的高度厘晰各個知識的特點、主次關(guān)系及各知識點的邏輯關(guān)系，明確教學的落足點；要根據(jù)教材的廣度和深度、學生的認知基礎(chǔ)和心理特點，明確哪些內(nèi)容比較抽象，不易被學生理解，哪些內(nèi)容縱橫交錯，比較復雜，哪些內(nèi)容本質(zhì)屬性比較隱蔽，哪些內(nèi)容在新舊知識銜接上呈現(xiàn)出較大的差距，等等。從而促使解構(gòu)者有效地把握主體知識，破解主要矛盾，落實教學的重難點，實現(xiàn)知識的有機串聯(lián)與整合，從而形成教學設(shè)計的整體構(gòu)架。

三、分析教材編排目的，處理、挖掘?qū)W習素材

在解構(gòu)人教版一年級第二冊《兩位數(shù)加一位數(shù)進位加法》一課時，我們對教材主題圖（見下圖）進行了分析，認為“咱們班有33人，每人一瓶夠嗎？”通過生活原型問題，激起學生尋求解決生活問題的策略，訓練學生在生活背景中學會數(shù)學推理，進而抽象為數(shù)學問題“一共有幾瓶礦泉水？”激發(fā)學生對計算的需求，這是新課程在計算課中滲透“算用結(jié)合”的一大亮點。但從試教效果來看，“咱們班有33人，每人一瓶夠嗎？”這一現(xiàn)實問題沒有引起學生足夠的思維沖突和深層次思考。究其原因，學生的原有認知是一位數(shù)加一位數(shù)的進位加法，整十數(shù)加兩位數(shù)等，有一半以上的學生都能馬上答出24+9=33（瓶），這就沖淡了他們對現(xiàn)實問題（“咱們班有33人，每人一瓶夠嗎？”）的數(shù)學推理思索。

基于這樣的分析，我們認為，如何突顯對這一生活問題的數(shù)學推理和產(chǎn)生計算需求，體現(xiàn)教材的編排目的，是本節(jié)課所面臨的最大挑戰(zhàn)。我們從學生的認知基礎(chǔ)出發(fā)，對主題圖的呈現(xiàn)采用化明為暗的手法，即將上面主題圖中的一箱礦泉水去掉數(shù)量24瓶，零散的9瓶把它緊密地擺放在一起，使學生數(shù)不清瓶數(shù)。這一小小的改動，使這個現(xiàn)實問題更具有實際思考價值，更忠實于生活問題的思考原形。如分發(fā)礦泉水的學生及班級中的同學，是在看到一堆礦泉水，不知總瓶數(shù)的情況下，而產(chǎn)生了問題：“每人一瓶，夠不夠。”這樣就使學生把思考點放在“夠還是不夠”上，而不在“24+9=？”的計算層面上，從而把“夠與不夠”這一現(xiàn)實問題推向了討論的焦點，激起學生對總瓶數(shù)和總?cè)藬?shù)進行比較的策略，呈現(xiàn)出以33瓶為基點的思維方式，即33瓶、多于33瓶都夠了，而32瓶、小于32瓶都不夠。實現(xiàn)了學生對“咱們班有33人，每人一瓶夠嗎？”這一現(xiàn)實問題的完整建構(gòu)，也激起學生想知道“究竟總共有多少瓶”的欲望，凸顯了數(shù)學推理和數(shù)學計算的現(xiàn)實價值。

所以，我們認為在解構(gòu)一節(jié)課時，要注重處理、挖掘?qū)W習素材，要從兩個維度進行對比分析。一是從教材的編排意圖和學生的認知特點等維度進行思考，以明確各個部分學習素材應承擔哪些功能，要達成怎樣的效果。二是對教材中現(xiàn)有的學習素材維度進行分析，要求教師透過各個素材的表面現(xiàn)象，深層次分析它已經(jīng)具有的功能是否符合學生的認知特點，將會達成怎樣的效果。解構(gòu)者要在兩者對比中明晰差距，從中找到處理、挖掘?qū)W習素材的方向與策略，從而有效地對教材中的問題情境、教學課例、教學順序、配套練習及呈現(xiàn)方式等進行二次建構(gòu)。

四、挖掘知識背景，滲透數(shù)學思想方法

人教版小學數(shù)學第九冊數(shù)學廣角中的《身份證號碼》一課，一般教法只是停留于對身份證號碼表層含義的解讀。我們認為突顯數(shù)學思維是數(shù)學廣角的本質(zhì)特點，在解構(gòu)此課時，完全可以將增厚身份證號碼的本質(zhì)內(nèi)涵作為關(guān)鍵點。

基于這樣的思考，我們對教材進行了深層次的分析，認為《身份證號碼》一課教學蘊含著兩條線索，明線是身份證結(jié)構(gòu)和各部分數(shù)字表征的意義；暗線是身份證的本質(zhì)內(nèi)涵——唯一性，這是數(shù)字編碼的根源，是編碼方法的首要思考點。這兩個方面都是身份證號碼這一知識載體不同側(cè)面的體現(xiàn)。在教學過程中，筆者滲透了集合思想（如下圖），形成了三個層次的認知建構(gòu)，具體闡述如下：

1.子集思想：用運動員號碼從年級——班級——學生這樣從大到小的編碼策略思維，到前6位行政區(qū)劃代碼從省——市——縣，7至14位出生日期碼從年——月——日的建構(gòu)遷移。既厘晰了各部分知識結(jié)構(gòu)，又體現(xiàn)出以唯一性為基點的編碼策略思維，這個過程是數(shù)學思想、方法的具體運用。

2.交集思想：針對某一具體身份證的前14位號碼，教師提問：前6位表示什么？它唯一嗎？7至14位表示什么？它唯一了嗎？它們合在一起又表示什么，它唯一了嗎？你認為它的范圍在怎么變？這樣，使學生進一步理解合在一起的14位號碼所表示的意義范圍，它其實就是行政區(qū)劃代碼和出生日期碼兩個表示范圍的交集。這個過程深層次闡析了編碼策略思維和身份證號碼的本質(zhì)內(nèi)涵唯一性，產(chǎn)生了編識別碼的需求。這個過程體現(xiàn)了數(shù)學教學的思想方法性原則，展示了掌握數(shù)學思想和方法解決數(shù)學問題的優(yōu)越性，促進學生對數(shù)學思想和數(shù)學方法的領(lǐng)悟、掌握和運用。

3.并集思想：從整體上解讀身份證號碼，明確身份證三大部分的結(jié)構(gòu)及各部分數(shù)字代碼所表示的意義，從而實現(xiàn)身份證號碼這一認知對象的整體建構(gòu)。

我們認為：“數(shù)學教學的任務(wù)是把數(shù)學的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學生易于接受的教育形態(tài)，將冰冷美麗的數(shù)學恢復為火熱的思考?！焙玫臄?shù)學課堂教學，最不能缺失的是讓學生理解數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)與精神，也就是數(shù)學思想方法。數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂，解構(gòu)者要透過數(shù)學知識表層，深層次地把握概念的本質(zhì)內(nèi)涵，并挖掘出知識背后的數(shù)學思想方法。在教學中，滲透數(shù)學思想方法與解決數(shù)學問題是數(shù)學內(nèi)在本質(zhì)各個側(cè)面、各個層次的體現(xiàn)。數(shù)學思想方法是在解決數(shù)學問題的過程中逐步形成的，并得到了人們有意識地提煉和歸納，從而解決數(shù)學問題的過程，也就是數(shù)學思想方法不斷被運用的過程，從而不斷推進學生認知體系向更高層次建構(gòu)，并最終有效地改善數(shù)學教學。

總之，解讀教材是構(gòu)建教學的基點，而所建構(gòu)的教學又是深層次理解、處理教材的具體體現(xiàn)。因此，在解構(gòu)一節(jié)課時，要根據(jù)教材內(nèi)容的特點，抓住數(shù)學的本質(zhì)內(nèi)涵，明確教材解構(gòu)的問題與困難，沿著“著眼知識的發(fā)展脈絡(luò)，理清知識的前因后果；理清知識之間的關(guān)系，實現(xiàn)知識的串聯(lián)與整合；分析教材的編排目的，處理、挖掘?qū)W習素材；挖掘知識背景，滲透數(shù)學思想方法”等路徑，實現(xiàn)對教材的有效解構(gòu)，從而使課堂更加充滿生命活力。