中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）21-0042-03

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：數學探究活動是綜合提升數學學科核心素養(yǎng)的載體之一，有助于學生經歷數學研究的過程，體驗發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的激情[1].學生在高中數學立體幾何的學習過程中，由于研究對象的圖形具有抽象性與復雜性，需要具備一定的直觀想象能力和探究活動經驗.祖晅原理作為立體幾何的重要結論，其應用與拓展是培養(yǎng)學生直觀想象能力、積累探究活動經驗的重要載體.因此，本文選擇“祖晅原理應用\"這一專題，試圖為立體幾何的探究式教學提供一個課例.

1分析教學背景，促進教學相長

普通高中數學教科書人教A版必修二第八章“立體幾何初步”的“探究與發(fā)現(xiàn)”板塊中介紹了祖晅原理的背景與定義，并通過原理初步推導了柱體、錐體的體積公式.近幾年高考和各地模擬試題中祖咂原理應用問題多有涉及，其中多數難題涉及球體、牟合方蓋及圓錐形幾何體的體積求解.應用祖恒原理的關鍵在于，在保持與原有幾何體同高截面面積相等的前提下，找到與其同底等高的幾何體.然而，大部分學生因直觀想象能力和自主探究能力不足，較難找到對應的幾何體

2 設計教學過程，提升探究能力

本節(jié)課采用問題串引導的探究式教學方式，教師先引導學生逐步展開直觀想象，再借助GeoGebra動態(tài)課件展示祖晅原理的應用過程，強化學生的直觀感知.在教學中，引導學生結合以往立體幾何的研究經驗，經歷“分析圖形一提出猜想一操作論證—解決問題”的探究過程，進而歸納出解答祖晅原理應用問題的一般步驟.

2.1 用祖恒原理探究球體體積

例1如圖1，將一個半徑為 R 的半球放在平面α 上，用與平面 α 平行的平面去截半球，其中截面與平面的距離為 h ，則截得的小圓面的面積怎么表示？該半球體積怎么表示？

問題1 圓截面的面積如何表示？圓截面的面積公式可重新理解為哪種圖形的面積？

生：可表示為 πR²-πh² ，可理解為同心圓環(huán)面積（半徑為 R 的大圓面積減半徑為 h 的小圓面積）.

問題2 高度 h 從0增加到 R 的過程中，同心圓環(huán)面積會發(fā)生什么變化？

生：同心圓環(huán)面積從 πR² 逐漸變小為0.

問題3 想象同心圓環(huán)截面隨高度 h 增加的動態(tài)變化情況，你能找到和半球同底等高的幾何體，使它們在相同高度下的截面面積總相等嗎？

生：與半球同底等高的圓柱內部挖去一個倒放的圓錐.

問題4如圖2，通過觀察GeoGebra動態(tài)課件，你能利用祖晅原理求出半徑為 R 的半球體積嗎？

生：與半球同底等高的圓柱體積 πR³ 減去其內部倒放的圓錐體積 ，得到

問題5 在前面問題串的引導下，你能總結一下探究祖晅原理應用題的一般步驟嗎？

生：首先，觀察截面圖形，通過截面面積公式判斷可表示的新圖形；其次，觀察新圖形面積隨高度 h 增加的變化情況（關注高度 h 兩端或某中間高度 h₀ ）；最后，根據前面的判斷，想象新圖形截面隨高度 h 增加的動態(tài)變化情況，找到和原有幾何體同底等高的幾何體，使它們在同樣高度下的截面面積總相等.

設計意圖通過問題串的形式步步深人，其中問題3是本題的探究難點.教師需注意啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)同心圓環(huán)截面的小圓半徑 h 與高度 h 相等的關鍵信息，引導學生想象同心圓環(huán)截面隨高度 h 增加的動態(tài)變化過程，直至學生得出“與半球同底等高的圓柱內部挖去一個倒放的圓錐”這一結論，最后讓學生歸納出解決祖晅原理應用問題的一般步驟

2.2 用祖晅原理探究牟合方蓋體積

例2 祖晅是我國南北朝時期杰出的數學家，是天文學家祖沖之的兒子，他提出的原理“冪勢既同，則積不容異”，意思是兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等.如圖3所示，某帳篷的造型是兩個全等圓柱垂直相交的公共部分的一半（這個公共部分是牟合方蓋）.若兩個圓柱底面半徑為 R ，求此帳篷的體積.

（1）牟合方蓋幾何體的定義及其性質

師：牟合方蓋幾何體的定義：做一個正方體，然后分別從上下和左右兩個方向做正方體內切圓柱時，重疊部分得到的幾何體

問題1 如圖4，通過觀察GeoGebra動態(tài)課件，你能得到牟合方蓋幾何體的哪些性質？

生：由圖5得，牟合方蓋是對稱的幾何體；牟合方蓋有外接正方體；牟合方蓋和其外接正方體有同一個內切球;用與正方體上下兩側面平行的平面截牟合方蓋，所得橫截面都是正方形

設計意圖本題以帳篷背景引入，介紹牟合方蓋幾何體及其性質.首先分析牟合方蓋的形成定義，并利用GeoGebra動態(tài)課件展示其形成過程；接著引導學生分析牟合方蓋的外接幾何體、內切幾何體及其截面圖形；最后總結其相關性質，為后續(xù)求牟合方蓋的體積做鋪墊.

（2）利用牟合方蓋的對稱性，先求1/8牟合方蓋幾何體的體積

師：由牟合方蓋幾何體的對稱性，用求解祖恒原理應用問題的一般步驟可求得1/2牟合方蓋的體積.更簡潔的，數學家祖晅利用祖晅原理先求出了1/8牟合方蓋的體積，那么他是怎么進行研究的？

設計意圖先預設學生的兩條探究思路：一是用求解祖晅原理問題的一般步驟求得1/8牟合方蓋的體積；二是用求解祖晅原理問題的一般步驟，先求出“1/8小外接正方體”在其“1/8牟合方蓋”外部的幾何體體積，再間接求得1/8牟合方蓋體積，重現(xiàn)偉大的數學家祖晅的求解過程

問題2如圖6，將高為 R 的1/8牟合方蓋放在平面 α 上，用與平面 α 平行的平面去截1/8牟合方蓋，其中截面與平面的距離為 h ，試求牟合方蓋的體積

生：如圖6，截面與平面的距離為 h 時，截得的截面是以 為邊長的小正方形，因此截面面積表示為 R²-h²

學生小組1：如圖7，截面面積公式可重新理解為正方環(huán)面積（以 R 為邊長的大正方形面積減去以h 為邊長的小正方形面積）.高度 h 從0增加到 R 的過程中，正方環(huán)面積 R²-h² 變小.注意到正方環(huán)截面的小正方形邊長 h 與高度 h 相等，直觀想象正方環(huán)截面隨高度 h 增加的動態(tài)變化情況，得到與1/8牟合方蓋體積相等的幾何體是“以 R 為邊長的正方體內部挖去一個同底等高的倒放棱錐”.接著用以 R 為邊長的正方體體積 R³ 減去其內部倒放的棱錐體積 R³/3 ，得到此1/8牟合方蓋的體積為 2R³/3 ，因此該牟合方蓋的體積為 16R³/3

學生小組2：如圖8，截面與平面的距離為 h 時，“1/8牟合方蓋外部”的截面面積為 R²-（R²-h²） Ω=h² ，可理解為以 h 為邊長的正方形面積.高度 h 從0增加到 R 的過程中，正方形面積變大.如圖9，注意到正方形截面的邊長 h 與高度 h 相等，直觀想象出正方形截面隨高度 h 增加的動態(tài)變化情況，得到與\"1/8牟合方蓋外部”體積相等的幾何體是“以 R 為邊長的正方體內部的一個同底等高的倒放棱錐”，其體積為 R³/3 ，間接得出1/8牟合方蓋的體積為 2R³/3 ，因此該牟合方蓋的體積為 16R³/3

（3）利用比例關系求牟合方蓋幾何體的體積.

還有其他求牟合方蓋幾何體體積的方法嗎？數學家劉徽在為《九章算術》作注時，發(fā)現(xiàn)了球體體積公式出錯.為了得到正確的球體體積公式，他找到牟合方蓋幾何體，并通過研究牟合方蓋性質，如圖5，得到 進而得到V牟合方蓋·V_PH⊥ABE=4?π. ，接著，只需先求得牟合方蓋的體積，就能推導球體體積公式.但劉徽始終未能求得牟合方蓋的體積.直到后來，祖晅用祖晅原理先求出牟合方蓋的體積，再借助比例關系得出了球體體積公式.由于學生已預先知曉球體體積公式，因此引導學生利用比例關系求解牟合方蓋體積的思路與數學家們的研究路徑相反.

3 結束語

本文基于教學背景，通過問題串引導探究活動步步深人展開，再借助GeoGebra動態(tài)課件，突破了圖形轉化后動態(tài)想象的難點，加深了學生對直觀想象過程的理解，提升了學生的直觀想象素養(yǎng).在引導學生總結出探究祖晅原理應用的一般步驟后，學生經歷了從特殊到一般、再從一般到特殊的學習應用過程，這為其積累了研究祖晅原理應用問題的活動經驗

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2017年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2017.