在高考不斷改革的過程中，高中數(shù)學(xué)考試內(nèi)容也發(fā)生了顯著的變化。其中最值問題的變化多體現(xiàn)在考查方式和難度上，為提高學(xué)生在考試中的成績，需要教師把握一定的教學(xué)要點(diǎn)和策略。此外，最值問題在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用，如物理學(xué)中的極值問題、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的優(yōu)化問題等。因此，本文針對(duì)新高考背景下最值問題的教學(xué)建議和解題策略展開研究。通過研究可以幫助教師優(yōu)化教學(xué)方案，選擇適合學(xué)生現(xiàn)階段發(fā)展的教學(xué)方式，也有助于強(qiáng)化學(xué)生的問題分析、問題解決以及創(chuàng)新思維能力，為學(xué)生的全面發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。

一、新高考背景下最值問題的特點(diǎn)

（一）內(nèi)容形式多變

新高考背景下，最值問題廣泛存在于函數(shù)（如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等）、圓錐曲線、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、不等式和向量等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中。最值問題不僅出現(xiàn)在選擇題、填空題中，還常見于解答題，且題目背景復(fù)雜，題型新穎，文字?jǐn)⑹龆啵髮W(xué)生具備較強(qiáng)的閱讀理解能力和數(shù)學(xué)建模能力。此外，許多最值問題以實(shí)際生活中的問題為背景，如建筑費(fèi)用、運(yùn)輸成本、生產(chǎn)效率等，要求學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問題。

（二）綜合性強(qiáng)

最值問題涉及導(dǎo)數(shù)、不等式、三角函數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，要求學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解。多數(shù)題目描述相對(duì)簡單，但解題過程復(fù)雜，隱含信息多，需要學(xué)生深入挖掘和整合。最值問題常常將不同知識(shí)點(diǎn)融合在一起，形成跨模塊、跨章節(jié)的綜合性題目，注重考查學(xué)生對(duì)單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，更考查其整合已知信息來選擇合適的解題方法。

（三）考查頻率高

在高考數(shù)學(xué)中，最值問題是許多學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，分值占比較高。由于這類問題綜合性強(qiáng)，能夠全面考查學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，因此往往成為高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)題型，考查頻率極高。如2024年新高考ⅡI卷單選第8題，命題者將共零點(diǎn)與雙變量最值問題結(jié)合在一起，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)技能及創(chuàng)新意識(shí)；2023年新高考Ⅰ卷第22題是一道綜合考查解析幾何和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的最值問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯思維能力和問題解決能力；2022年新高考Ⅰ卷的第18題，考查學(xué)生的倍角公式、三角形定理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、分析聯(lián)想等能力；2021年新高考全國I卷第19題是一道解三角形最值問題，主要考查學(xué)生的三角函數(shù)知識(shí)、計(jì)算分析能力等。

二、新高考背景下最值問題的教學(xué)策略

由上述可知，新高考背景下，最值問題的考查頻率較高、分值也大，需要教師在日常教學(xué)中加以重視。同時(shí)最值問題的內(nèi)容形式多變，且一道題包含多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，因此需要教師教授學(xué)生正確的解題策略，如平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)加強(qiáng)思維訓(xùn)練和實(shí)踐鍛煉，并注重解題思路、解題步驟的總結(jié)。

（一）思維訓(xùn)練

新高考背景下，最值問題涉及對(duì)學(xué)生邏輯思維的考查，需要學(xué)生根據(jù)題目進(jìn)行條件判斷等。同時(shí)也考查學(xué)生對(duì)一些抽象概念和理論的應(yīng)用，以及在多種解題方法中選擇合適的方法。因此，教學(xué)期間，教師應(yīng)注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練。

為應(yīng)對(duì)復(fù)雜的邏輯關(guān)系和條件判斷，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從題目條件出發(fā)，逐步推理，直至得出結(jié)論。通過邏輯推理的訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生更好地理解題目，避免盲目猜測(cè)或遺漏重要信息。在解決最值問題時(shí)，需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)和證明。教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)每一步推導(dǎo)的合理性，讓學(xué)生明白每一步都是基于數(shù)學(xué)原理或已知條件進(jìn)行的，不能憑空臆斷。

在帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)和應(yīng)用抽象概念和理論（如函數(shù)的極值、最值定理）時(shí)，教師應(yīng)通過生動(dòng)的例子和形象的比喻，幫助學(xué)生理解這些抽象概念，并引導(dǎo)他們運(yùn)用這些概念去分析和解決問題。在解決最值問題的過程中，學(xué)生需要能夠從具體的問題中提煉出一般性的規(guī)律和方法。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生多進(jìn)行總結(jié)和歸納，將零散的知識(shí)點(diǎn)整合成一個(gè)完整的知識(shí)體系。

最值問題的解決方法不是唯一的，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同的方法和思路，勇于提出新的見解和想法。通過創(chuàng)新思維的訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力和解決問題的能力。

（二）實(shí)踐鍛煉

在新高考背景下，最值問題作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，不僅要求學(xué)生掌握理論知識(shí)，更需要學(xué)生具備解決實(shí)際問題的能力。因此，實(shí)踐鍛煉成為提高學(xué)生解題能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，設(shè)計(jì)具有趣味性和挑戰(zhàn)性的最值問題。例如，可以設(shè)計(jì)關(guān)于優(yōu)化資源配置、最大化利潤或最小化成本等實(shí)際問題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。這樣的問題能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使他們主動(dòng)探索解決問題的方法。也可以讓學(xué)生相互討論、分享思路，共同解決問題。教師將學(xué)生分成若干小組，每個(gè)小組分配一個(gè)最值問題，要求他們合作完成解題過程。在小組合作中，學(xué)生可以相互學(xué)習(xí)、取長補(bǔ)短，提高解題能力。同時(shí)，小組合作還能培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和溝通能力。

教師可以組織制作、觀察、實(shí)驗(yàn)以及調(diào)查類實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)際操作中感受最值問題的求解過程。例如，在進(jìn)行函數(shù)最值的教學(xué)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)來觀察函數(shù)圖像的變化，理解最值的求解方法。

此外，教師可以利用信息技術(shù)手段，如數(shù)學(xué)軟件、在線教學(xué)資源等，來輔助教學(xué)。通過數(shù)學(xué)軟件，學(xué)生可以直觀地觀察函數(shù)圖像的變化，理解最值的求解過程。同時(shí)，教師還可以利用在線教學(xué)資源，為學(xué)生提供更多的最值問題案例和解題方法，拓寬學(xué)生的視野。

（三）注重總結(jié)

在新高考背景下，為了幫助學(xué)生更好地掌握最值問題的解題策略，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)。

1．系統(tǒng)講解

教師應(yīng)系統(tǒng)講解解決最值問題的各種方法，

如配方法、不等式法、導(dǎo)數(shù)法等，確保學(xué)生了解每種方法的基本原理和適用場景。

2.步驟總結(jié)

教師將最值問題按照題型進(jìn)行分類，如函數(shù)最值、數(shù)列最值、幾何最值等，幫助學(xué)生建立清晰的題型框架。針對(duì)每種題型，總結(jié)常用的解題方法和技巧。教師可以通過制作思維導(dǎo)圖或筆記的形式，幫助學(xué)生整理和記憶。此外，也可以通過典型例題來演示每種方法的應(yīng)用，讓學(xué)生直觀感受解題步驟和技巧。例題的選擇應(yīng)具有代表性，能夠覆蓋不同的題型和難度。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)，理解在何種情況下選擇何種方法更為合適。這有助于學(xué)生形成靈活的解題思路。

第一，理解與建模。在新高考背景下，最值問題的解題中，“理解與建?！笔墙忸}的關(guān)鍵步驟[1]。這要求學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解題目的要求和背景，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，并通過建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。

以2021年新高考全國Ⅰ卷第19題為例：記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊為a、b、c，已知 b²=ac ，點(diǎn)D在邊AC上，且 。

1.證明 |BD|=b ：

2.若 AD|=2|DC| ，求 cos∠ABC 。

針對(duì)條件1，學(xué)生需要準(zhǔn)確理解題目的要求和背景，明確題目給出的所有條件，包括 b²=ac ， ，以及 ∣AD∣=2∣DC∣ 。題目要求證明 |BD|=b ，并求 cos∠ABC 。這涉及三角形的性質(zhì)和幾何關(guān)系的應(yīng)用。結(jié)合以上學(xué)生需要將三角形的性質(zhì)和給定的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式和等式。例如，利用正弦定理 bsin∠B=csin∠C 可以將 ∣BD∣sin∠ABC=asin∠C 轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系式。在理解題目的基礎(chǔ)上，需要建立一個(gè)能夠描述題目要求的數(shù)學(xué)模型。在這個(gè)例子中，可以使用正弦定理、余弦定理以及三角形的基本性質(zhì)來建立模型。如由 ∣BD∣sin∠B=asin∠C ，可得|BD|=(asin∠C)/(sin∠B) 。在建模過程中，需要靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)工具，如代數(shù)運(yùn)算、三角函數(shù)等。在建立模型后，需要通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)來得出結(jié)論。這個(gè)過程涉及復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算和幾何關(guān)系的應(yīng)用。如將模型代入正弦定理，得 |BD|=(asin∠C)/(sin∠B)= (casin∠C)/(bsin∠B)=c/b 。由于 b²=ac ，所以c/b=b ，即 |BD|=b 。

第二，解題方法回憶。在新高考背景下，學(xué)生針對(duì)最值問題進(jìn)行解題，需要掌握多種解題方法，以在考試當(dāng)中靈活應(yīng)對(duì)各種題型。首先，學(xué)生應(yīng)當(dāng)針對(duì)各部分的數(shù)學(xué)概念、公式和定理進(jìn)行回憶，同時(shí)明確其推導(dǎo)過程和應(yīng)用條件[2]。其次，學(xué)生需要回憶最值解題方法，具體包括以下方法。 ① 導(dǎo)數(shù)法，借助導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)等內(nèi)容來求解一元函數(shù)或多元函數(shù)的最值問題[3]。 ② 配方法，通過配方將二次函數(shù)或二次項(xiàng)轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，更容易地找到函數(shù)的最值，主要用于二次函數(shù)的求最值。將二次函數(shù)配方后，可以直接讀出頂點(diǎn)坐標(biāo)，確定最值。③ 消元法，通過代數(shù)運(yùn)算消去一個(gè)或多個(gè)變量，將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)，再求最值。主要用于處理含有多個(gè)變量的函數(shù)求最值問題。通過消元，可以簡化問題，使其更易于求解。 ④ 換元法，學(xué)生需要通過將原來的問題進(jìn)行新變量的引入而轉(zhuǎn)化為更易于求解的形式，解答形式復(fù)雜或難以直接求解的最值問題。 ⑤ 均值不等式法，利用均值不等式求解最值。主要用于處理涉及正數(shù)的和或積的最值問題。通過合理地應(yīng)用均值不等式，可以得到函數(shù)的最值。此外還有柯西不等式法、向量法、參數(shù)法、特殊值法等。學(xué)生在解題過程中，應(yīng)當(dāng)針對(duì)這些方法進(jìn)行總結(jié)和歸納，以便于在考試中進(jìn)行調(diào)取和應(yīng)用[4]。最后，學(xué)生回憶閱讀教材或相關(guān)參考資料中同一道題如何使用不同的解題方法，積極從不同的角度和思路出發(fā)來鍛煉自己的思維和解題能力。

第三，選用合適的方法求解。在新高考背景下，最值問題的解題需要學(xué)生選用合適的方法進(jìn)行求解，在掌握多種解題方法的基礎(chǔ)上，根據(jù)題目的內(nèi)容和要求來調(diào)動(dòng)自身的知識(shí)，選擇最適合的解題方法。

以2022年新高考Ⅰ卷的第18題為例：記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知 cosA/(1+sinA)=sin2B/1+cos2B ：

1.若 C=2π/3 ，求B。

2.求 (a²+b²)/c² 的最小值。

學(xué)生在針對(duì)第二問進(jìn)行最小值的求解時(shí)，需要利用正弦定理將邊長問題轉(zhuǎn)化為角度問題，由第一問已知B和C的關(guān)系，以及 A=π-B-C ，可以利用正弦定理將邊長a，b，c轉(zhuǎn)化為角度A，B，C的正弦值。將 (a²+b²)/c² 的表達(dá)式進(jìn)行化簡，化簡后得到與sinB和cosB相關(guān)的表達(dá)式。利用均值不等式，求出表達(dá)式的最小值。當(dāng)且僅當(dāng)?shù)仁街械哪硞€(gè)條件成立時(shí)等號(hào)成立，得到最小值。

再以2024年新高考 II 卷單選第8題為例：設(shè)函數(shù) ，若 f(x) （20 M

0，則 a²+b² 的最小值為

選項(xiàng)： A.1/8 . 8.1/4 . C.1/2 D. 1

對(duì)于這道例題，學(xué)生應(yīng)選擇導(dǎo)數(shù)法求解。先確定函數(shù)的定義域，再分析不等式條件，利用導(dǎo)數(shù)法求解。函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)?(-∞) ．因?yàn)閒(1-b)=0 且 f(x)?0 恒成立，所以 f(1-b) 為函數(shù) f(x) 的最小值，必有 f^′(1-b)=0 ，又 f^′(x)= ，因此 f^′(1-b)=0+1-b+a=Ω 0，因此， b_α=1+ a．之后，通過雙變量之間的關(guān)系進(jìn)行消元而后使用配方法取得最值．如a²+b²=a²+(1+a)²=2(a+1/2)²+1/2?1/1 當(dāng)且僅當(dāng) a=-1/2 ， b=1/2 時(shí)取等號(hào)。

3.引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程

每次解題后，引導(dǎo)學(xué)生回顧解題過程，思考是否有更優(yōu)的解法或更簡潔的步驟。這有助于培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和優(yōu)化意識(shí)。鼓勵(lì)學(xué)生向自己提問，如“我選擇這種方法的直接原因是什么？”“這種方法是否能夠解決所有的最值問題？”等。通過自我提問，學(xué)生可以更深入地理解解題方法和思路。組織學(xué)生進(jìn)行小組討論或班級(jí)分享，讓他們交流自己的解題方法和心得，促進(jìn)知識(shí)的共享和互補(bǔ)。

結(jié)束語

在新高考背景下，最值問題呈現(xiàn)出內(nèi)容形式多變、綜合性強(qiáng)、考查頻率高等特點(diǎn)。與此同時(shí)，對(duì)學(xué)生的考查方向也發(fā)生較大的變化，學(xué)生除了要對(duì)基本的概念知識(shí)進(jìn)行掌握之外，還需要學(xué)會(huì)靈活地運(yùn)用各種知識(shí)來解決實(shí)際問題。因此，在新高考背景下，教師既要教授學(xué)生解題方法，還要在日常教學(xué)中強(qiáng)化對(duì)學(xué)生的思維訓(xùn)練、實(shí)踐鍛煉，提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確性、合理性和規(guī)范性，在高考中獲得更佳的數(shù)學(xué)成績。

參考文獻(xiàn)

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[2]袁小強(qiáng)，蔣愛國.注重四基四能提升核心素養(yǎng)：新高考解三角形備考策略].教學(xué)考試，2023(11):4-9.

[3]陳偉.思維進(jìn)階視角下高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略研究：以“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”為例凹]數(shù)理天地（高中版)，2025(5):17-18.

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