中圖分類號：TH112.1 DOI： 10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.007

0 引言

折展機(jī)構(gòu)是一種能夠從折疊收攏狀態(tài)展開到預(yù)定工作狀態(tài)的機(jī)構(gòu)，一般有完全折疊和完全展開兩種穩(wěn)定的工作構(gòu)型。完全折疊時，體積較小，利于儲存和運(yùn)輸；完全展開時，包絡(luò)體積較大，可以實現(xiàn)設(shè)計目標(biāo)，完成對應(yīng)任務(wù)。折展機(jī)構(gòu)由于能夠改變形狀和尺寸以適應(yīng)各種環(huán)境，具有極大的研究價值，不僅被廣泛應(yīng)用于建筑領(lǐng)域，如應(yīng)急建筑、橋梁2；也被廣泛應(yīng)用于航空航天工程，如伸展臂[3]、太陽翼[4、天線等[5-。此外，折展機(jī)構(gòu)還可以作為機(jī)械手進(jìn)行抓?。辉谖?chuàng)手術(shù)中用作支承結(jié)構(gòu)植入人體8。隨著空間科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，需要更多符合輕量化、高收納率、高精度、高展開可靠度和剛度等特點的折展機(jī)構(gòu)來完成愈加復(fù)雜的任務(wù)。因此，對設(shè)計具有優(yōu)良性能的新型空間折展機(jī)構(gòu)的需求尤為迫切[]。

研究人員對折展機(jī)構(gòu)進(jìn)行了深入探索并取得非常多的設(shè)計成果。ST-ONGE等[提出一種新型單自由度折展機(jī)構(gòu)，由三角形平臺通過皮帶驅(qū)動的連桿連接，形成平行四邊形結(jié)構(gòu)，從而完成擴(kuò)展，在保持幾何形狀的同時可達(dá)到高膨脹比。CHENG等通過識別幾何約束方程，提出一種新的多層多環(huán)可展開連桿自由度分析方法，并基于此構(gòu)建了大量新型傘狀展開機(jī)構(gòu)。SUN等2使用4R接頭連接4個反平行四邊形單元，首次設(shè)計了一種具有5種模態(tài)的機(jī)構(gòu)。ZHANG等3提出一個基于張拉整體的變形模塊，可進(jìn)行一系列對稱與非對稱配置。WANG等[4基于三浦折紙?zhí)岢鲆环N平面圓形折展機(jī)構(gòu)（DeployableCir-cularStructure，DCS），并給出一種基于平行投影原理的曲面DCS設(shè)計方法，能夠應(yīng)用于高折展比的空間可展開天線的設(shè)計。LIAO等[15提出一種新的組裝方法來開發(fā)可展開三腳剪式單元（Tripod-ScissorUnit，TSU），所得結(jié)構(gòu)具有更優(yōu)良的性能，可應(yīng)用于支承結(jié)構(gòu)。李端玲等對魔術(shù)花球進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，得到了空間并聯(lián)4分支及3分支機(jī)構(gòu)等基本運(yùn)動鏈，并提出一種從折紙到多個球形集成的機(jī)構(gòu)構(gòu)造方法[7]。

許多研究者從自然界生物的形態(tài)學(xué)變化上獲得靈感來設(shè)計機(jī)構(gòu)。WANG等8應(yīng)用仿生學(xué)原理，基于花開過程提出一種空間折展機(jī)構(gòu)。NADAN等[受鳥類解剖結(jié)構(gòu)的啟發(fā)，設(shè)計了一種多模塊組成的無人機(jī)起落架，可以通過折展形式實現(xiàn)對物體的抓取。TANG等2基于單環(huán)空間折展機(jī)構(gòu)設(shè)計了一種新型多仿生變胞機(jī)器人Origaker，其能夠在不同工作模式下進(jìn)行轉(zhuǎn)換。XU等2受蜘蛛捕食的啟發(fā)，設(shè)計了一種新型可展開空間碎片清除裝置。

本文提出一種以等腰梯形為基本模塊的單自由度螺旋形空間折展機(jī)構(gòu)[22，從基座到末端模塊等比例縮小，完全收攏時呈螺旋形狀。該機(jī)構(gòu)通過伸縮桿帶動連桿的方式改變模塊間夾角?；诎⑻K爾桿組法重新設(shè)計了模塊間的連接方式，并針對運(yùn)動傳遞需求對基本模塊結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn)；分析并探討了完成螺旋形折展機(jī)構(gòu)功能所需的配置條件，分析了機(jī)構(gòu)自由度，建立了該機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)模型并給出了展開空間分析方法。該折展機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，驅(qū)動簡單，具有較高的收納率、廣泛的應(yīng)用場景。

1折展機(jī)構(gòu)設(shè)計

1.1模塊間連接方式設(shè)計

圖1為連接機(jī)構(gòu)簡圖。將象鼻褶皺凸起結(jié)構(gòu)抽象為由兩桿組成的類三角連接相鄰模塊，并以連接在滑塊上的導(dǎo)桿驅(qū)動，由RRR桿組和RPR桿組組成[圖1（a）]；進(jìn)一步，將其改進(jìn)為伸縮桿驅(qū)動方式，帶動連桿運(yùn)動[圖1（b）]。由象鼻抽象化后的基本模塊可知，其下底邊具有較長行程，易聯(lián)想到通過滑塊方式驅(qū)動改變相鄰模塊夾角的方式，由此得到由RRP桿組和單桿組成的圖1（c），由PRP桿組和RRR桿組組成的圖1（d），由PRP桿組和RRP桿組組成的圖1（e），以及最終由圖1（e）改進(jìn)為伸縮桿形式的圖1（f）。

圖1（b）和圖1（f）所示機(jī)構(gòu)為升級后的伸縮桿形式，與滑塊一導(dǎo)桿形式相比，其結(jié)構(gòu)簡潔，有效避免了桿長冗余對機(jī)構(gòu)運(yùn)動的不利影響，從而節(jié)省了折展機(jī)構(gòu)的占用空間。由圖1（b）可知，當(dāng)伸縮桿伸長時，桿長增加，影響折展機(jī)構(gòu)收攏空間，且該機(jī)構(gòu)運(yùn)動規(guī)律無法傳遞到相鄰模塊，需要考慮額外輔助驅(qū)動方式，或考慮每個伸縮桿單獨驅(qū)動，其過程過于復(fù)雜。圖1（c）、圖1（d）、圖1（f）所示機(jī)構(gòu)通過滑塊再額外添加一根桿就能將運(yùn)動規(guī)律傳遞到下一個模塊。圖1（d）、圖1（f）比圖1（c）多了用于固定連接桿的機(jī)架，多組模塊串聯(lián)組成折展機(jī)構(gòu)后，會具有更強(qiáng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。相較于圖1（d），當(dāng)滑塊行程相同時，圖1（f）的從動件具有更大的轉(zhuǎn)動角度，且結(jié)構(gòu)更穩(wěn)定。綜上所述，選擇圖1（f所示機(jī)構(gòu)作為相鄰模塊間連接機(jī)構(gòu)。

1.2 折展機(jī)構(gòu)設(shè)計

圖2所示為螺旋形空間折展機(jī)構(gòu)的三維模型。為保證其能夠以螺旋形收攏，相鄰模塊之間大小成比例。結(jié)合圖3所示機(jī)構(gòu)簡圖分析其運(yùn)動過程?；灸K A_iB_iC_iO_i 作為機(jī)架固定，伸縮桿 D_iB_i+1 的旋轉(zhuǎn)點 E_i 固定在基本模塊 A_iB_iC_iO_i 中桿 C_iO_i 上，滑塊 D_i 固定在基本模塊 A_iB_iC_iO_i 中桿 A_iO_i 上并能沿著 A_iO_i 運(yùn)動，伸縮桿 D_iB_i+1 （包含3桿，伸長桿 D_iF_i? 固定桿 F_iG_i 、伸長桿 G_iB_i+1） 、滑塊 D_i 與滑塊 D_i+1 通過連桿相連。當(dāng)滑塊 D_i 沿 A_iO_i 向右運(yùn)動時，滑塊 D_i 帶動伸縮桿D_iB_i+1 繞點 E_i 做逆時針旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，且伸縮桿 D_iB_i+1 兩端長度發(fā)生變化；伸縮桿另一端 B_i+1 帶動模塊O_iB_i+1C_i+1O_i+1 繞 O_i 點逆時針旋轉(zhuǎn)運(yùn)動；同時，在連桿 D_iD_i+1 的帶動下，滑塊 D_i+1 也開始向右運(yùn)動，直到滑塊 D_i 達(dá)到右極限位置，與 O_i 點重合。

此時，伸縮桿 D_iB_i+1 與 O_iB_i+1 桿完全重合，連桿 D_iD_i+1 與 O_iO_i+1 桿完全重合。同時，滑塊 D_i+1 也到達(dá)極限位置，與 O_i+1 點重合，伸縮桿 D_i+1B_i+2 C_i+1O_i+1 桿與 O_i+1B_i+2 桿也完全重合，該折展機(jī)構(gòu)成為完全收攏狀態(tài)，如圖3（a）所示。圖3（b）所示為機(jī)構(gòu)中間運(yùn)動狀態(tài)。圖3（c）所示為3模塊機(jī)構(gòu)完全展開狀態(tài)。當(dāng)折展機(jī)構(gòu)處于完全展開狀態(tài)時，各模塊底邊共線，此刻滑塊 D_i 處于左極限位置。

若使該折展機(jī)構(gòu)能達(dá)到上述兩種狀態(tài)，在運(yùn)動過程中不發(fā)生干涉，桿件需滿足一定尺度關(guān)系，即

如圖3（b）所示，3模塊折展機(jī)構(gòu)由11個活動構(gòu)件、10個轉(zhuǎn)動副以及6個移動副組成。根據(jù)平面連桿機(jī)構(gòu)自由度公式，有

M=3n_f-2p_l-p_h

式中， M 為機(jī)構(gòu)的自由度； n_f 為機(jī)構(gòu)的活動構(gòu)件數(shù)；p₁ 為機(jī)構(gòu)的低副數(shù)； p_h 為機(jī)構(gòu)的高副數(shù)。每個活動構(gòu)件具有3個自由度，每個低副引進(jìn)兩個約束，高副引進(jìn)一個約束。將 代入式（2），得3模塊機(jī)構(gòu)自由度 M=1 。每額外串聯(lián)一組模塊，折展機(jī)構(gòu)將增加6個活動構(gòu)件、6個轉(zhuǎn)動副以及3個移動副，自由度恒為1。

2折展機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)分析

圖4所示為基本模塊幾何關(guān)系。為便于分析，添加虛線后所得的模塊 A_iB_iC_i^′O_i 為等腰梯形，相鄰模塊成比例，其比例系數(shù)為 α_a 。以 O_i 為原點建立直角坐標(biāo)系， A_iO_i 為 x 軸正方向。圖中藍(lán)色符號表示折展單元運(yùn)動過程中的變量。假設(shè)已知 l₁₁ 一 l₁₂ 、 l₁₃ 參數(shù)，根據(jù)圖4所示幾何關(guān)系，有

l_ij=a^i-1l_1j（j=1，2，3，4，10）

式中， i 表示第 i 個模塊； j 表示第 j 個桿件。

圖5所示為折展機(jī)構(gòu)完全展開情況。 l_is 表示滑塊D_i 與點 O_i 的距離，根據(jù)式（1），給定此時參數(shù) l₁₅= l₂₅=…=l_i5=l₅ 。首先，確定伸縮桿 E_i 點的位置，即先確定 l_i6 ，有

由完全展開狀態(tài)開始，滑塊 D₁ 向右移動 d₁ ， d₁ 為輸入?yún)?shù)，該折展機(jī)構(gòu)如圖6所示，圖7、圖8為圖6的局部示意圖。建立機(jī)構(gòu)整體坐標(biāo)系 O₁-xy ，對該折展機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置正解分析，即已知輸入?yún)?shù) d₁ 分析 l_i7 與 l_i8 長度變化關(guān)系；得 α_i1 、 α_i2 小 α_i3 角度變化關(guān)系，再得出 θ_i 、 α_i4 、 α_i5 角度變化關(guān)系；最后通過l_（i+1）9 求出下一滑塊移動距離 d_i+1 。依次得到折展單元運(yùn)動傳遞關(guān)系，從而得到最終模塊末端點位置。

Fig.5Schematic diagram of the deployable-foldable unit mechanism （fully expanded）

在圖7和圖8中，有

θ_i=πrad-2φ_i-α_i3=α_i1+α_i2-φ_i

式中， α_i1 為變量，當(dāng)其處于圖5狀態(tài)時，則為 β_i ；當(dāng)折展機(jī)構(gòu)完全收攏時， θ₁=…=θ_i=θ 。

在圖8中， sin（π-θ_i）=sinθ_i ，有

α_i5=θ_i-α_i4

當(dāng)滑塊 D_i 移動的距離為 d_i 時，滑塊 D_i+1 相對于下一模塊底邊移動的距離 d_i+1 可以表示為

d_i+1=l_（i+1）9-[l_（i+1）1-l₅]

根據(jù)三角形性質(zhì)可得， l_i5+l_（i+1）9gt;l_（i+1）1 。其中，由于 l_（i+1）9+l_（i+1）5=l_（i+1）1 ，有 l_i5gt;l_（i+1）5 。又由式（8）可得 d_i=l_s-l_i5 。因此，在折展機(jī)構(gòu)完全展開到收攏過程中，前一滑塊移動行程總是小于后一滑塊。

當(dāng)滑塊移動到右極限時， D_i 與 O_i 點重合，此時圖7中 ΔE_iD_iO_i 與 ΔE_iB_i+1O_i 不存在，圖8中ΔD_iD_i+1O_i 不存在，故 α_i1 、 α_i2 、 α_i3 、 α_i4 與 α_i5 都不存在。這種情況下，可得

θ_i=πrad-2φ_i

l_（i+1）9=l_（i+1）1

d_i+1=d_i

根據(jù)機(jī)器人末端的位姿 ， n 表示模塊數(shù)量，將模塊末端點表示為

式中， 。當(dāng) n=1 時， O₁=（0， 0， 0） 0

3折展機(jī)構(gòu)展開空間分析

空間折展機(jī)構(gòu)在完全收攏與完全展開之間轉(zhuǎn)換時會產(chǎn)生較大的形態(tài)變化，需確保其轉(zhuǎn)換姿態(tài)過程中不與外部發(fā)生干涉碰撞，故研究其展開空間具有十分重要的意義。

該螺旋形空間折展機(jī)構(gòu)模塊數(shù)量較多，分析計算較為復(fù)雜，不適合應(yīng)用幾何法以及解析法求解工作空間。因此，本文根據(jù)圖6所示整體坐標(biāo)系，采取數(shù)值法來求解工作空間。

首先，根據(jù)第2節(jié)中運(yùn)動學(xué)分析設(shè)置機(jī)構(gòu)基本參數(shù)，使各桿長、角度等配置符合該機(jī)構(gòu)條件。以起始滑塊移動距離設(shè)置劃分步距值，循環(huán)迭代計算各桿長、角度隨步距值改變而得到的結(jié)果。根據(jù)折展機(jī)構(gòu)位置分析所得的式（22）求得各模塊端點位置正解，并繪制出所有模塊末端點軌跡圖；基于此全局搜索邊界坐標(biāo)點，獲取最外側(cè)輪廓圖，此為折展機(jī)構(gòu)工作空間輪廓。根據(jù)外輪廓圖劃分區(qū)間，在每個區(qū)間上都使用三次樣條插值法計算，從而得到邊界曲線。通過計算機(jī)模擬，產(chǎn)生隨機(jī)點落入矩形區(qū)域內(nèi)，并判斷該點是否落入邊界曲線內(nèi)。若是，則記錄落入邊界曲線內(nèi)的點數(shù) m ，并進(jìn)行 N 次試驗，通過公式計算出工作空間面積。

由于該折展機(jī)構(gòu)為螺旋形，在運(yùn)動過程中，最外側(cè)輪廓可能是中間某模塊端點，如圖9所示。不同顏色線條表示不同模塊端點軌跡，而全局搜索邊界坐標(biāo)點則是依據(jù) x 軸上[ x_min ， x_max ]范圍內(nèi)對應(yīng)任意 y 坐標(biāo)值并進(jìn)行排序，取其中最大值。

依據(jù)搜索的邊界坐標(biāo)點得到外輪廓圖，假設(shè)從最左邊點到最右邊點， x∈[x_min ， x_max] ，劃分 ?[x_min ， x_max. 為k 個區(qū)間 ， ，…， ，共有k+1 個點，其中兩個端點 x₀=x_min ， x_k=x_max 。對每個小區(qū)間 [x_k-1 ， ∣x_k∣ 進(jìn)行三次樣條插值得到邊界曲線。這些區(qū)間將整個工作空間分為 k 小塊，設(shè)每一塊均為X型區(qū)域，即作垂直于 x 軸的直線穿過該區(qū)域，直線與邊界曲線最多只有兩個交點。

再通過蒙特卡洛方法求出工作空間面積。蒙特卡洛方法的基本思想是通過某種試驗的方法，用隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率估計這一隨機(jī)事件的概率。求解螺旋形空間折展機(jī)構(gòu)工作空間面積時，產(chǎn)生的隨機(jī)點落入矩形區(qū)域中，矩形區(qū)域面積 s 為

s=（x_max-x_min）（y_max-y_min）

式中， x_max，x_min 分別為外輪廓 x 軸方向最大值、最小值； 分別為外輪廓 y 軸方向最大值、最小值。

進(jìn)行 N 次試驗，落入邊界曲線范圍內(nèi)的有 m 個點，則落入概率 P 為

故將對該螺旋形空間折展機(jī)構(gòu)工作空間面積求解轉(zhuǎn)化為概率問題。該螺旋形空間折展機(jī)構(gòu)工作空間面積 S 約為

N 值越大， s 值越接近真實值。通過多次求解面積并取其平均值這種方式，也能使最終計算結(jié)果更接近真實值。

4算例

4.1 折展機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)仿真

在空間折展機(jī)構(gòu)從線形展開到螺旋形收攏過程中，由于模塊數(shù)量較多，且各模塊同時進(jìn)行運(yùn)動，因而有必要通過運(yùn)動學(xué)仿真分析來驗證其折展過程中模塊與模塊間是否發(fā)生運(yùn)動干涉。

為評估折展機(jī)構(gòu)運(yùn)動過程中是否會發(fā)生干涉，了解模塊間夾角 θ_i 的變化尤為重要，與 θ_i+1 有關(guān)聯(lián)的變量較多，難以通過解析解得出其關(guān)系，故通過數(shù)值分析其變化規(guī)律。

螺旋形空間折展機(jī)構(gòu)基本參數(shù)如表1所示。

取初始滑塊速度為 5mm/s 。在模塊數(shù)量為30的情況下，得到折展機(jī)構(gòu)運(yùn)動圖（圖10），圖10中忽略了固定的基座模塊。在模塊數(shù)量分別為10和30的情況下，得到各滑塊行程隨時間變化圖（圖11）及各模塊夾角隨時間變化圖（圖12）。由圖11可知，隨著時間變化，下一滑塊移動行程始終大于上一滑塊，驗證了前面得到的結(jié)論。由圖12可知，在運(yùn)動前期，存在θ_i+1?θ_i 的情況，而到某一界限后則符合 θ_i+1gt;θ_i 這一規(guī)律。結(jié)合圖10可知，末端模塊率先完成收攏，該螺旋形折展機(jī)構(gòu)運(yùn)動過程中不會發(fā)生干涉。

4.2折展機(jī)構(gòu)展開空間算例

使用表1所示折展機(jī)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行展開空間分析。取起始滑塊步距值為 1mm ，分不同模塊數(shù)量 n 討論各模塊端點運(yùn)動軌跡，運(yùn)動中各項參數(shù)依據(jù)運(yùn)動學(xué)分析所得進(jìn)行計算，得到圖13所示的運(yùn)動軌跡圖及圖14所示的機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動軌跡。

取 n=30 情況下各模塊端點運(yùn)動軌跡圖做進(jìn)一步分析，提取出圖15所示的展開空間外輪廓。其中，y_max=9687mm ， y_min=0 ， x_max=14690mm ， x_min= -1242mm 。由蒙特卡洛方法求10次展開空間面積，得到表2并取平均值，得展開空間面積 S≈1.1788× 10⁸mm²c 2

5 結(jié)論

1）提出一種單自由度螺旋形空間折展機(jī)構(gòu)，其相鄰模塊間成比例，完全展開呈線形，完全收攏呈螺旋形。該機(jī)構(gòu)完全收攏時模塊角度相同，需滿足一定桿件尺度關(guān)系才能完成折展運(yùn)動。

2）對折展機(jī)構(gòu)建立運(yùn)動學(xué)模型，得到滑塊位移以及模塊夾角函數(shù)表達(dá)式，隨后得到模塊末端點位置。提出一種針對該機(jī)構(gòu)的展開空間分析方法，基于全局搜索邊界，得到折展機(jī)構(gòu)展開空間外輪廓。

3）以具體算例進(jìn)行運(yùn)動學(xué)仿真分析。仿真結(jié)果驗證說明，其折展過程中模塊與模塊間不會發(fā)生運(yùn)動干涉。給出各模塊中滑塊行程與模塊夾角隨時間變化的關(guān)系，以及模塊末端點軌跡圖。基于三次樣條插值以及蒙特卡洛方法，計算得到展開空間面積。

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Design and analysis of a spiral space deployable-foldable mechanism with singledegree of freedom

WANGRuguiLIShuxian JINCongYUYiyin （School ofMechanical Engineering，Guangxi University，Nanning 53ooo4，China）

Abstract：[Objective]Aiming tomeettherequirementsof high-performance deployable-foldable structures inaerospace andrelatedfields，asingledegre-of-freedomspiraldeployable-foldablemechanismwasdevelopedtoachievestructural stabilityhighstowageeficiencyandeaseofcontrol.Methods]Inspiredbythecurlingandextendingbehaviourofthe elephants’trunk，amechanism wasdesignedtofoldintoaspiralshapeandunfoldintoalinearconfiguration，anddrivenby telescopicrods.Thepositionsofthemoduleendpointswereanalysed，andakinematicmodelwas establishedtoderivethe relationbetweenthedisplacementandtherotationangles.Thetrajectoriesof moduleendpoints werecomputed numericallto extractthe boundaryofthedeployable space.Thedeployablearea was estimated usingthecubic spline interpolation and the MonteCarlo method.Motion simulations wereconducted to evaluate potential interference between modules.[Results] Simulationresultsshow thatno interference occurs between modulesduring deployment，and the mechanism maintains the stableoperation.Theboundaryofthedeployablespaceisclearlydefined，andthestructureexhibitshighstorageeffcency， satisfyingspatialperformancerequirements.Theproposed mechanismdemonstratesexcelentdeployabilityanddeployment stability，and mayserveasvaluable reference forthedesignandoptimisationofspiraldeployable-foldable structures.

Key words： Spiral; Deployable-foldable mechanism; Kinematics analysis; Deployable space; Bionic design