中圖分類號：TH112 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.010

0 引言

對于動平臺具有移動輸出特性的三平移（3T）空間并聯(lián)機構(gòu)而言，由于其具有工作空間大、所需驅(qū)動元件少、易于加工制造等優(yōu)點，在水果采集與分揀系統(tǒng)中具有廣泛的理論研究和實際應用價值。

當前，國內(nèi)外學者針對三平移并聯(lián)機構(gòu)的研究已取得一定成果。CLAVEL發(fā)明了著名的Delta并聯(lián)機構(gòu)，該機構(gòu)在工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛的應用。楊廷力等[2]I51-162基于單開鏈單元得到了多種新型3T機構(gòu)。TSAI等3對3-UPU并聯(lián)機構(gòu)進行了運動學分析及結(jié)構(gòu)優(yōu)化。李菊等基于方位特征集理論，設(shè)計了一種新型的3T并聯(lián)機構(gòu)，對其進行了動力學分析及性能優(yōu)化。ZHU等設(shè)計了一種新型三平移柔性機構(gòu)。MACHO等設(shè)計了一種無浮動移動關(guān)節(jié)、無冗余約束的新型三平移機構(gòu)。ZENG等7-8設(shè)計了一種直線型驅(qū)動的三平移機構(gòu)，并對此類機構(gòu)進行了衍生拓展。PRAUSE等針對多種直線驅(qū)動三平移空間機構(gòu)，采用數(shù)據(jù)綜合、邊界狀況等方法進行分析比較，并且挑選出性能較好的機構(gòu)。沈惠平等設(shè)計了兩個部分運動解耦的新型三平移并聯(lián)機構(gòu)，并對其進行了剛度及工作空間分析。李菊等綜合考慮子工作空間，運用疊加原理，提出一種包含運動位置正解的3T并聯(lián)機構(gòu)。沈惠平等2基于方位特征的并聯(lián)機構(gòu)設(shè)計方法，設(shè)計了一種低耦合度半對稱三平移并聯(lián)機構(gòu)。PAN等[3設(shè)計了一種具有三平移特性的柔順并聯(lián)機構(gòu)，并通過分析給出所設(shè)計機構(gòu)的位姿精度及空間平移特性。MENG等[14-15]對Delta-CU并聯(lián)機構(gòu)進行優(yōu)化，并對所設(shè)計機構(gòu)的靈敏度進行了分析。

通過分析上述文獻中空間并聯(lián)機構(gòu)的運動特性可以發(fā)現(xiàn)，上述文獻中涉及的三平移并聯(lián)機構(gòu)在平面上進行平移時，平移的形式均為平直移動；在需要沿著曲線方向平移（彎曲平移）時，需要不同維度的平直運動進行繁雜的線性擬合。在完成曲線擬合時，各個驅(qū)動副需要完成復雜的控制算法。

本文綜合運用方位特征（PositionandOrientationCharacteristics，POC）集理論，提出了一種包含平直運動與彎曲平移兩種運動特性的3自由度并聯(lián)機構(gòu)。該機構(gòu)未來能夠應用于工業(yè)領(lǐng)域中的貨物自動分揀、快速避障、農(nóng)業(yè)機械化智能采摘；與只存在平直運動的并聯(lián)機構(gòu)相比，該機構(gòu)的研發(fā)能夠降低機構(gòu)的復雜程度，簡化驅(qū)動副控制的算法。

1并聯(lián)機構(gòu)設(shè)計及其拓撲特性分析

1.1并聯(lián)機構(gòu)的特征描述

本文基于方位特征集理論，提出的三平移空間并聯(lián)機構(gòu)簡圖如圖1所示。

該并聯(lián)機構(gòu)由4部分組成：動平臺1、靜平臺0、支鏈I、混合支鏈 I 。支鏈I與混合支鏈Ⅱ?qū)C構(gòu)的靜平臺與動平臺連接起來。支鏈I由 P₁₁ 副、 R₁₂ 副、 R₁₃ 副、 R₁₄ 副組成，且 P₁₁ 副、 R₁₂ 副、 R₁₃ 副、R₁₄ 副的軸線保持相互平行。混合支鏈Ⅱ由 P₂₁ 副、P₂₂ 副、 P₃₁ 副、平行四邊形機構(gòu) P_al 、平行四邊形機構(gòu)P_a2 組成， P₂₁ 副、 P₃₁ 副軸線保持共線關(guān)系，平行四邊形機構(gòu) P_al 與 P₂₁ 副保持共面的關(guān)系，且兩者為剛性連接；同理，平行四邊形機構(gòu) P_a2 與 P₃₁ 副保持共面的關(guān)系，且兩者為剛性連接； P₂₂ 副與 P_al 、 P_a2 保持垂直關(guān)系，且與 P_al 、 P_a2 均為剛性連接。 P₁₁ 副、 P₂₁ 副以及P₃₁ 副始終與靜平臺0相連，且 P₁₁ 副與 P₂₁ 副、 P₃₁ 副保持垂直關(guān)系。 R₁₄ 副、 P₂₂ 副兩個運動副保持共線的關(guān)系。動平臺1與靜平臺0保持平行的關(guān)系。

1.2并聯(lián)機構(gòu)拓撲特性分析

1.2.1 求解機構(gòu)動平臺POC集

易知，空間并聯(lián)機構(gòu)的POC集方程233-55為

M_pa=?_u=1ⁿM_bu

式中， M_bu 表示第 u 條支鏈的POC集； m_u 為第 u 條支鏈的運動副數(shù)； M_Ji 表示第 i 個運動副的POC集； M_pa 表示動平臺的POC集； n 為支鏈數(shù)。

本文中，“I”表示運動副之間保持平行關(guān)系；“”表示運動副之間保持共面關(guān)系；“ ⊥ ”表示運動副之間保持垂直關(guān)系；“-”表示運動副之間是連接關(guān)系。

1）求解支鏈I末端構(gòu)件的POC集

在支鏈Ⅰ中，4個運動副之間的拓撲結(jié)構(gòu)關(guān)系是： {τ-P₁₁||R₁₂||R₁₃||R₁₄-σ} 。根據(jù)機構(gòu)的POC集方程，支鏈I末端構(gòu)件的POC集為

2）求解支鏈 I 末端構(gòu)件的POC集

在支鏈 I 中，同理，根據(jù)式（1）得到，支鏈Ⅱ末端構(gòu)件的POC集為

M_b2=[t³]

3）動平臺POC集的求解

由式（2）易得

M_pa=?_u=1²M_bu=[t³]

式（3）表明，該機構(gòu)的動平臺1具有三平移運動特性的輸出特點。

1.2.2求解自由度

1）空間并聯(lián)機構(gòu)自由度（DegreeOfFreedom，DOF）的計算式為

式中， F 為機構(gòu)的DOF； ξ_Lj 為第 j 個獨立回路的獨立位移方程數(shù)； v 為獨立回路數(shù)； f_i 為第 i 個運動副的自由度； ： { M }為方位特征集的維數(shù)。

2）機構(gòu)自由度求解

該機構(gòu)包含兩個回路，具體為：

① 混合支鏈 I 中的 P₂₁ 副、 P₃₁ 副、平行四邊形機構(gòu) P_al 、 P_a2 組成第1個獨立回路，即 LOOP₁ 。

顯然，第1個獨立回路的獨立位移方程數(shù) ξ_L1=2 。

②P₂₂ 副、支鏈I與上述的第1個獨立回路組成第2個獨立回路，即 LOOP₂ 。

由式（4）可得

由式（4）計算出，機構(gòu)的自由度 F 為

可知，該空間并聯(lián)機構(gòu)DOF為3。如果將 P₁₁ 副、P₂₁ 副以及 P₃₁ 副作為驅(qū)動副，則該并聯(lián)機構(gòu)動平臺1可以完成三平移的運動輸出。

1.2.3 機構(gòu)耦合度 κ 的求解

1）并聯(lián)機構(gòu)約束度與耦合度的計算方法

基于序單開鏈（SingleOpenChain，SOC）機構(gòu)組成理論可知，第 j 個SOC的約束度 計算式為

式中， I_j 為第 j 個SOC的驅(qū)動副數(shù)； m_j 為第 j 個SOC的運動副數(shù)。

SOC能夠完成多個子運動鏈（SubKinematicChain，SKC）劃分。因此，每個SKC中耦合度 κ 的計算式為

式中， 表示基本運動鏈由 k 個 組合而成，在進行多種組合方案選擇時，通常選擇 的數(shù)值為最小的方案。

耦合度在并聯(lián)機構(gòu)學中存在的物理意義如下： κ 表示SKC內(nèi)各個回路中不同變量之間的關(guān)聯(lián)程度，其中， κ 值與機構(gòu)各個參數(shù)求解的復雜程度成正比；對于 κ=0 的SKC，每個回路的變量可以在本身獨立回路中求出；對于 κgt;0 的SKC，回路中的變量則需要聯(lián)合多個回路方程方可求出。

2）確定機構(gòu)的耦合度在第1.2.2節(jié)中已經(jīng)得到了 ξ_L1=2，ξ_L2=4_C

因此，兩個回路的約束度 Δ_j 可以由式（5）分別計算得到，即

所以，根據(jù)式（6）可求得，機構(gòu)耦合度為

該并聯(lián)機構(gòu)的耦合度 κ=1 。因此，在該并聯(lián)機構(gòu)的求解過程中，通過兩個獨立回路聯(lián)立方程即可。在進行該機構(gòu)的正解求解時，可在約束度為 +1 的獨立回路中假設(shè)1個虛擬變量；在約束度為-1的回路中再創(chuàng)建包含前面虛擬變量的約束方程，最終可以求得機構(gòu)的位置正解表達式。

2并聯(lián)機構(gòu)的位置分析

2.1建立并聯(lián)機構(gòu)坐標系并且標注參數(shù)

為了便于表述及計算， P₁₁ 副用 A₁ 表示， R₁₂ 副用A₂ 表示， R₁₃ 副用 A₃ 表示， R₁₄ 副用 A₄ 表示， P₂₁ 副用B₁ 表示， P₂₂ 副用 B₅ 表示， P₃₁ 副用 C₁ 表示；平行四邊形機構(gòu) P_al 、 P_a2 的尺寸關(guān)系保持不變并將其各自連接點標注出來。并聯(lián)機構(gòu)的具體運動學模型圖如圖2所示。

在圖2中，靜平臺0是邊長為 2l₀ 的正方形；動平臺1的桿長為 2l₁ 。在靜、動平臺上分別建立笛卡兒靜坐標系 O-xyz 、笛卡兒動坐標系 O^′-x^′y^′z^′ 。其中，靜坐標系的原點 o 位于正方形幾何中心點上； x 軸平行于 B₁C₁ ，且 x 軸正方向指向 A₁ 點所在邊； y 軸垂直于 B₁C₁ ，且其正方向指向 B₁C₁ ： z 軸的正方向由右手法則確定。動坐標系 O^′ 點處于動平臺上的幾何中心點上， y^′ 軸在 A₄B₅ 連線上且指向 B₅ ： x^′ 軸垂直A₄B₅ ： z^′ 軸正方向滿足右手法則。

A₁ 、 B₁ 、 C₁ 位于靜平臺上， A₄ 、 B₅ 位于動平臺上。

設(shè)機構(gòu)的尺寸參數(shù)為：A，A=AA=AA=l， l_c4B5=l₆₀

2.2機構(gòu)位置正解公式推導

易知靜平臺0上的點 A_1? C₁ 的坐標分別為 ，求動平臺1上O^′ 的位置 。

2.2.1在第1個獨立回路 L00P₁ ）上求解

由機構(gòu)的幾何關(guān)系可知

x_B1-x_C1=2l₆+l₄cosα-l₄cosβ

l₄sinα=l₄sinβ

由結(jié)構(gòu)關(guān)系，易知 0?α?180^° 、 0?β?180^° O由式（8）可得， α=β 或 α=180^°-β 。

1）當 α=β 時，由式（7）可得

x_B1-x_C1=2l₆

2）當 α=180^°-β 時，由式（7）可得

易知 B₃ 的坐標為

B₃=（x_B1+l₄cosβ，l₀，l₃+l₄sinβ）

2.2.2 在第2個獨立回路 （LOOP₂ ）上求解

通過支鏈I顯然可以得知

y=y_A1+l₁

1）當 α=β 時，由式（9）、式（12）易知

y=y_A1+l₁

而 x，z 不能確定。

2）當 α=180^°-β 時，由式（10）＼～式（12）可得

當輸入值 x_B1，x_C1 滿足條件 x_B1-x_C1=2l₆ 時，動平臺存在無數(shù)組解，即動平臺的位置不確定，為機構(gòu)的奇異位置；當輸入值 x_B1，x_C1 不滿足條件 x_B1- x_c1=2l₆ 時，動平臺有唯一確定的位置。因此，為了使動平臺的位置確定，需要使驅(qū)動副輸入值 x_B1 、 x_c1 不滿足條件 x_B1-x_C1=2l₆

由式（10）、式（12）、式（14）知

由式（15）知，動平臺 點 中的 x= 、 ，說明動平臺 只與驅(qū)動副 P₂₁ 、 P₃₁ 副的輸入運動有關(guān)； O^′ 點 （2中的 y=f_f2（y_A1） ，說明驅(qū)動副 P₁₁ 的運動輸人和動平臺的 y 具有相關(guān)性。因此，該機構(gòu)具有部分運動輸入輸出解耦性。機構(gòu)部分運動解耦的特性對機構(gòu)的運動學分析與動力學分析是十分有利的，同時可以降低機構(gòu)的控制難度。

2.3機構(gòu)位置逆解公式推導

并聯(lián)機構(gòu)位置逆解為：在動平臺1上，已知 O^′點的位置坐標 ，求解靜平臺0上3個驅(qū)動副的具體移動位置yA、xB、χ。

2.3.1求靜平臺上 A₁ 的移動位置 y_A1

由式（12）可以直接求得

y_A1=y-l₁

2.3.2求靜平臺上B、C，的移動位置p、χc，

1）當 x_B1，x_C1 滿足條件 x_B1-x_C1=2l₆ 時，進行求 解。由式（14）易得

再根據(jù)式（14）可得

x_B1=x+l₆-l₄cosβ

x_B1，x_C1 滿足條件 x_B1-x_C1=2l₆ ，易得

x_C1=x-l₆-l₄cosβ

2）當 x_B1，x_C1 不滿足條件 x_B1-x_C1=2l₆ ，即 α= 180^°-β 時，進行求解。

由式（7）可得

x_B1-x_C1=2l₆-2l₄cosβ

將式（14）中 x 的表達式與式（17）聯(lián)立，可得

x_B1=f_f4（x，z）

聯(lián)立式（17）、式（20）、式（21）可得

x_C1=f_f5（x，z）

在逆解公式求解中，無論 x_B1，x_C1 輸入值是否滿足關(guān)系式 x_B1-x_C1=2l₆ ，都可以求解出驅(qū)動副的具體位置，并且有具體的表達式。

2.4機構(gòu)正/逆解方程實例驗算

2.4.1 正解方程實例驗算

取該機構(gòu)的具體結(jié)構(gòu)參數(shù)為： 2l₀=300mm 2l₁=100mm，l₂=80mm，l₃=70mm，l₄=100mm l₅=40mm，l₆=140mm 。圖3所示為該機構(gòu)三維模型。

取靜平臺0上3個點 A₁ 、 B₁ 、 C₁ 的位置分別為y_A1=33mm，x_B1=83mm，x_C1=-58mm ，由Matlab軟件根據(jù)該并聯(lián)機構(gòu)位置正解方程，得到位置正解值，如表1所示。

2.4.2 逆解驗證

將表1中正解數(shù)值代入式（16）、式（18）、式（19）式（21）、式（22），可以得到4組位置逆解值，如表2所示。

由表2可見，序號3的逆解數(shù)值與正解求解時3個驅(qū)動副的輸入值是相同的，從而證明機構(gòu)的正/逆解方程是正確的。

3平移運動特性分析

3.1 剛體運動的基本形式

機構(gòu)末端構(gòu)件的運動屬于剛體運動。眾所周知，剛體運動具有平移和旋轉(zhuǎn)[圖4（a）]兩種運動形式，平移運動又可劃分為平直運動[圖4（b）]與彎曲平移[圖4（c）]兩種運動形式。

如圖4（c）所示，剛體在實現(xiàn)彎曲平移時，其位置在笛卡兒坐標系中存在不同方向的平移組合。由笛卡兒坐標系可知，圖4（c）中剛體從 E₁ 點移動到E₂ 點，存在 x 軸與 y 軸兩個方向的平移組合。

3.2驗證并聯(lián)機構(gòu)平移特性

使用SolidWorks軟件、Matlab軟件驗證該并聯(lián)機構(gòu)存在的平移特性。

3.2.1 驅(qū)動副 P₂₁ 副、 P₃₁ 副速度相同時

設(shè)靜平臺上3個驅(qū)動副 P₂₁ 副、 P₃₁ 副、 P₁₁ 副驅(qū)動軌跡在時間 t₁∈[0 ，4]s的運動軌跡為

將式（16）、式（21）、式（22）按照式（23）驅(qū)動形式導入Matlab軟件，對動平臺 O^′ 點理論值的位置變化進行計算分析，得到動平臺 O^′ 點位置變化；此外，將本文機構(gòu)導入SolidWorks平臺進行分析，時間步長設(shè)置為0.1s。將所求得的41個時間點與3個方向的位置變化數(shù)據(jù)導入Matlab軟件，得到位置變化，如圖5所示。

由圖5可知，理論推導后的計算式再經(jīng)過Matlab軟件編程求得的每個時間點的位置，與使用Solid-Works軟件進行仿真得到的數(shù)據(jù)是一致的，從而證明該機構(gòu)的位置計算式推理正確。

由于 P₁₁ 副的位置保持不變，而 P₁₁ 副的位置決定了動平臺 O^′ 點 y 軸方向的數(shù)值，所以，只需要考慮由另外兩個驅(qū)動副運動形式產(chǎn)生的動平臺 O^′ 點在xOz 平面內(nèi)的軌跡變化。將 P₃₁ 副、 P₂₁ 副驅(qū)動軌跡按照式（16）、式（21）、式（22）導入Matlab軟件編程，計算動平臺 O^′ 點的位置變化，得到動平臺在 xOz 平面內(nèi)的運動軌跡，如圖6所示。

由圖6可知，在驅(qū)動副 P₂₁ 副、 P₃₁ 副速度相同、P₁₁ 副驅(qū)動軌跡不變時，該動平臺能夠?qū)崿F(xiàn)平直運動。

3.2.2 驅(qū)動副 P₂₁ 副、 P₃₁ 副速度不相同時

設(shè)靜平臺上3個驅(qū)動副 P₂₁ 副、 P₃₁ 副、 P₁₁ 副驅(qū)動軌跡在時間 t₂∈[0， 4] s的運動軌跡為

同理，使用Matlab軟件編程計算動平臺理論位置變化，使用SolidWorks軟件仿真得到動平臺位置變化，如圖7所示。

由于 P₁₁ 副位置保持不變，將 P₃₁ 副、 P₂₁ 副驅(qū)動軌跡按照式（16）、式（21）、式（22）導入Matlab軟件編程計算動平臺 O^′ 點的位置變化，得到動平臺 O^′ 點在 xOz 平面內(nèi)的運動軌跡，如圖8所示。

由圖8可知，驅(qū)動副 P₂₁ 副、 P₃₁ 副速度不相同、P₁₁ 副位置保持不變時，機構(gòu)的動平臺在 x 方向、 z 方向的位置同時發(fā)生改變。在第1.2.1節(jié)中已經(jīng)得知，該機構(gòu)只存在平移、不存在轉(zhuǎn)動，所以，該動平臺能夠?qū)崿F(xiàn)彎曲平移。

綜上可知，當驅(qū)動副 P₂₁ 副、 P₃₁ 副速度相同時，動平臺在 xOz 平面內(nèi)存在平直移動；當驅(qū)動副 P₂₁ 副、P₃₁ 副速度不相同時，動平臺在 xOz 平面內(nèi)存在彎曲平移運動形式。

4機構(gòu)控制優(yōu)勢分析

記圖1中動平臺1的初始位置與靜平臺平行。由于整個動平臺只存在平移移動，因此，機構(gòu)動平臺運動過程始終與靜平臺保持平行關(guān)系。

以最簡單的兩個運動副組合的串聯(lián)機構(gòu)為例來實現(xiàn)圖8所示的運動軌跡，兩個運動副需要 x 方向、z方向兩個方向上的獨立移動副，如圖9所示。

在圖9中， P₄₁ 副只能在 x 方向產(chǎn)生位移， P₅₁ 副只能產(chǎn)生 z 方向的位移。為實現(xiàn)圖9中動平臺1從 D_i 點到 D₂ 點的彎曲平移，需要 P₄₁ 副從 D₃ 點移動到 D₅ 點， P₅₁ 副從 D₄ 點移動到 D₆ 點；且在運動過程中，P₄₁ 副、 P₅₁ 副根據(jù)不同的運動速度組合使動平臺1產(chǎn)生不同的折線，再將各個折線擬合成從 D₁ 點到 D₂ 點的曲線。折線的數(shù)量越多， D_?1 點到 D₂ 點的曲線的擬合程度才能越高。圖9中的兩個移動副為實現(xiàn)滿足擬合程度高的曲線，就需要通過控制算法對 P₄₁ 副、 P₅₁ 副的每個運動步長進行控制，并且需要保證P₄₁ 副、 P₅₁ 副運動步長較小。

本文提出的并聯(lián)機構(gòu)只需要通過控制驅(qū)動副按照第3.2.2節(jié)中的運動速度保持不變（ P₂₁ 副運動速度保持 -5mm/s 、 P₃₁ 副運動保持 -40mm/s 、 P₁₁ 副不運動）進行運動，動平臺即可實現(xiàn)彎曲平移。所以，該機構(gòu)能夠降低控制的難度。

5結(jié)論

1）綜合運用POC集的并聯(lián)機構(gòu)拓撲設(shè)計方法，提出了一種新型的3T并聯(lián)機構(gòu)，并對該機構(gòu)各個運動參數(shù)開展拓撲特性分析，計算出：該并聯(lián)機構(gòu)的耦合度為1、自由度為3。設(shè)計的機構(gòu)具有如下優(yōu)點：機構(gòu)僅由簡單的移動副和轉(zhuǎn)動副組成，便于加工；機構(gòu)具有部分運動解耦性，這對機構(gòu)的運動控制非常有利；機構(gòu)的驅(qū)動副全由移動副組成，具有較大的操作空間，能夠適用于較大范圍的貨物搬運并在一定高度方向上完成避障。

2）對所提機構(gòu)進行運動學分析，并對所建立的正/逆解方程進行了數(shù)值驗證。結(jié)果顯示，該機構(gòu)的正/逆解方程是正確的。但正解中存在動平臺無數(shù)解的情況，在實際應用可以避免這種情況發(fā)生。

3）使用Matlab及SolidWorks軟件仿真證明，該機構(gòu)的動平臺同時具有彎曲平移與平直運動的移動特性。相對于平直運動的運動副組合，用該機構(gòu)來實現(xiàn)彎曲平移運動的控制更加簡單。

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Design and analysis of a three-translational parallel mechanism with two translationalcharacteristics

CAIXiang1 QIUBing2 GAO BoSHI Zhixin4 （1.SchoolofMechanical andElectrical Engineering，Hubei Polytechnic Institute，Xiaogan 432oo0，China） （2.Zhuhai Gree Intelligent Equipment Co.，Ltd.， Zhuhai 519oo0，China） （3.DepartmentofMechanicalandElectricalEngineering，Xinxing VocationalandTechncalCollege，Xinxing839oo，China） （4.SchoolofAdvanced Manufacturing，Nanchang University，Nanchang33oo31，China）

Abstract：[Objective]Tosolvetheproblemofthecomplex controlalgorithmof theprevious thre-translation（3T）parallel mechanism inachievingcurve trajectory translation，anewtypeof mechanismthatcanachievecurve trajectorybasedonthe characteristicsof the mechanismitself wasproposed.[Methods]Basedonthedesigntheoryof theparallel mechanismderived fromthepositionandorientationcharacteristics （POC）setequations，thetopologicalpropertiesofthemechanismwereanalyzed intermsofthePOCset，degreesoffredomandcouplingdegres;basedonthe kinematic modelingprincipleofthetopological structure，theanalyticalpositiveandanalyticalinversepositionequationsofthemechanismwerebtaned，andthecoecess ofthe positiveand inverse solution equations was verified.SolidWorks softwareand Matlab software wereusedto verifythat themechanismhaddiferentmovingmotioncharacteristicsunderdierentdriveforms.[Results]Fortraditional3Tparallel mechanisms that only enablestraight-line motions，achieving curved translations intwodirections necesitatescomplex algorithmstofitcurvesthrough multiplestraight-linemovements.Incontrast，theproposedmechanismcanachievecurved translations simply by altering the motion velocities of the driving joints.

KeyWords：Parallel mechanism;Topological design;Bending translation;Analyticalsolution; Coupling degree