關(guān)鍵詞：離散點云；邊界點提取；最優(yōu)測地線路徑；徑向線；螺旋刀位軌跡 中圖分類號：V462；TH164 DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2025.04.006 開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

Spiral Machining Trajectory Planning Method Based on Discrete Point Cloud Construction of Radial Lines

WU Jiangsheng CHAI Xingliang*BO Qile LIU Haibo WANG Yongqing School of Mechanical Engineering，Dalian University of Technology，Dalian，Liaoning，116000

Abstract：Aiming at the problems that it was difficult to directly generate efcient and accurate continuous smooth tool path trajectories based on discrete point clouds，a method to directly construct radial lines on point cloud and generate spiral machining trajectories through radial line interpolation was proposed herein. For the construction of radial lines，a boundary recognition method was proposed based on feature descriptors to extract boundary points as two end points of the radial lines. Taking the optimal discrete geodesics between two end points on the point cloud as the radial point set，the curvature minimization problems of discrete geodesics were proposed and solved by Newton iteration method. The B-spline curves were used to fit and resampling according to the residual height based on the radial point sets. The radial line interpolation algorithm was proposed to generate the spiral machining trajectory with equal residual height. Finally，an example was given to demonstrate the spiral machining trajectories directly generated by the point cloud data，which fully verified the effectiveness of the proposed method.

Key words： discrete point cloud; boundary point extraction; optimal geodesic path; radial line; spiral machining trajectory

0 引言

復(fù)雜曲面類零件被廣泛應(yīng)用于航空、航天、船舶和汽車等領(lǐng)域，如火箭貯箱箱底、飛機壁板、艦船螺旋槳、汽車引擎蓋等。對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜、配合精度要求極高的曲面，通常采用測量設(shè)備獲得型面點云數(shù)據(jù)，再通過點云處理，生成刀位軌跡，從而進(jìn)行加工。

傳統(tǒng)從散亂點云生成加工軌跡的方法通常需要對散亂點云進(jìn)行曲面重構(gòu)，進(jìn)而進(jìn)行曲面加工軌跡規(guī)劃。然而，曲面重構(gòu)是一個復(fù)雜的、耗時的過程，對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的點云數(shù)據(jù)，例如存在孔洞、銳角等，很難得到滿意的重構(gòu)曲面[1]。此外，曲面重構(gòu)的效果依賴于具體的算法和參數(shù)的選擇以及技術(shù)人員熟練度，不具有通用性和魯棒性。從分散的點構(gòu)建網(wǎng)格會導(dǎo)致精度損失和拓?fù)鋯栴}[2-3]，為此，有學(xué)者提出了基于散亂點云直接生成加工軌跡的方法[4]。目前，基于散亂點云直接生成加工軌跡的方法主要分為直接規(guī)劃法和間接規(guī)劃法兩種[5]。

1）直接規(guī)劃法。該方法通常對點云數(shù)據(jù)直接進(jìn)行處理，利用曲線或曲面與點云相交或通過約束條件進(jìn)行迭代計算以獲取目標(biāo)點數(shù)據(jù)，并進(jìn)一步推導(dǎo)出刀具路徑，如截平面法、輪廓偏置法、等參數(shù)法等。PARK等[6直接從實測數(shù)據(jù)中計算了等平面精加工刀具路徑，但該方法僅適用于規(guī)律點云。ZHANG等解決了偏置點云面自相交問題，采用截平面法生成刀位軌跡；XIAO等[8]基于截面算法生成刀具軌跡，用于航空發(fā)動機葉片維修。該類方法均為截平面法，較為簡單高效，但會導(dǎo)致表面精度不一致，且存在路徑冗余。STAVROPOULOS等9通過特征值分析進(jìn)行邊緣提取，然后基于聚類算法對零件進(jìn)行分割，并使用alpha形狀對分割點云的外部和內(nèi)部部分進(jìn)行曲線擬合，進(jìn)而生成刀具路徑。聚類算法更容易分割具有明顯棱角的零件，但并不適用復(fù)雜的光滑曲面。

2）間接規(guī)劃法。該方法需先構(gòu)建簡單的輔助基面或參數(shù)域，并在輔助基面或參數(shù)域上規(guī)劃加工軌跡曲線或直接構(gòu)建輔助曲線，然后對曲線進(jìn)行離散化并利用投影技術(shù)將離散化的曲線點映射到點云上得到的目標(biāo)點，最后對目標(biāo)點進(jìn)一步處理，即可轉(zhuǎn)化為刀具軌跡，如最小二乘投影法。ZHANG等[10]提出了一種刀具路徑生成方法，即使用基于水平集的點投影技術(shù)將平面或圓柱面上的導(dǎo)向曲線投影到點云上。XU等提出了一種導(dǎo)線投影生成刀具路徑的方法，該方法詳細(xì)討論了投影方向的計算和權(quán)重函數(shù)的構(gòu)造，以盡可能地消除投影誤差，但一些復(fù)雜曲面存在遮擋區(qū)域無法采用柱面或簡單曲面規(guī)劃路徑并投影。LIU等[12]開發(fā)了一種基于移動最小二乘法（MLS）的曲面方法，將點沿切片窗格上一條線的投影計算為刀觸點，但該方法仍是采用等截面法生成路徑。此外，XU等[13]提出了一種集邊界提取、區(qū)域三角剖分、網(wǎng)格映射和點投影為一體的徑向曲線構(gòu)造方法，在徑向曲線的基礎(chǔ)上，對徑向曲線進(jìn)行插值，得到較好的螺旋刀具軌跡，但該方法只適用于三軸機床，且徑向線需要在參數(shù)域內(nèi)構(gòu)造。

光滑連續(xù)的螺旋刀位軌跡具有良好的運動學(xué)和動力學(xué)特性，目前，關(guān)于在點云上直接生成五軸螺旋加工軌跡的算法還鮮有報道，因此，本文以離散點云為研究對象，提出特征描述子邊界識別方法，提取邊界點并序列化；采用Dijkstra算法計算螺旋線中心點與邊界點間在點云上的最短測地線；提出測地線曲率最小化問題，并采用了牛頓迭代法求解；基于橢圓加布里埃爾圖（ellipticGabri-elgraph，EGG）鄰域的MLS點投影方法將優(yōu)化后的點投影至點云，經(jīng)Taubin平滑算法光順投影點后，將該點作為最優(yōu)離散測地線點集；以周向最短步長為約束，基于B樣條擬合方法構(gòu)造參數(shù)化徑向線；利用等殘留高度法確定螺旋軌跡間的行距，對參數(shù)化徑向線重采樣；通過線性插值計算得到離散螺旋軌跡點，得到光順的離散螺旋加工軌跡刀位點。

1點云上徑向線的構(gòu)造

本文提出采用特征描述子邊界識別方法提取邊界點并序列化，通過Dijkstra算法生成兩點間最短離散測地線路徑，通過牛頓迭代法和基于EGG鄰域的MLS點投影方法，確保離散測地線曲率最小化以及測地線位于點云面上，進(jìn)而精確計算出點對點之間的最優(yōu)測地線，具體流程如圖1所示。

1.1 邊界點提取及序列化

建立點與重心距離 d_io 差值的單調(diào)遞增指數(shù)函數(shù)，提出邊界特征識別描述子參數(shù)，表達(dá)式為

λ_i=d_io=

式中： λ_i 為點到鄰域重心距離差； μ_o 為比例因子；下標(biāo) i 表示點云序列數(shù)， Φ_o 表示點云重心序列數(shù)； ?_Pix 為 ?_Pi 點的 x 坐標(biāo)值； 為點云重心坐標(biāo)的 x 值坐標(biāo);其他類推。

邊界特征識別描述子參數(shù)識別原理如圖2所示，紅色點為當(dāng)前點，紫色圈為當(dāng)前點鄰域半徑，綠色點為當(dāng)前點鄰域點，紫色點為當(dāng)前點鄰域重心。從兩幅圖中可以很明顯看出，邊界點到鄰域重心的距離遠(yuǎn)大于內(nèi)部點到鄰域重心的距離。識別出邊界點之后，根據(jù)相鄰點連線向量之間夾角關(guān)系序列化邊界點，如圖3所示。主要流程如下：① 構(gòu)建八叉樹結(jié)構(gòu)； ② 設(shè)定初始點為 P_o ，下一點為 P₁，P₀ 指向 P₁ 的方向為初始方向 ，通過八叉樹尋找點 P₁ 的最近點，若 與 的夾角大于閾值 θ_th 則舍棄該點，尋找一下最近點；若小于 則將該點存人點序列集合 A_j 中； ③ 重復(fù)步驟② ，直至初始點與上一點連線滿足閾值條件。

1.2 牛頓迭代法優(yōu)化測地線路徑

點云上的測地線是連接點云面上給定的兩點之間的最短路徑。給定一個點云 ，1，…，n-1 和兩個點 p₁?p₂（p₁，p₂∈Q） ，目標(biāo)是找到連接兩點的最優(yōu)測地線路徑。本文采用Dijkstra算法計算點云上兩點之間的最短測地線，該算法是一個基于貪心、廣度優(yōu)先搜索，動態(tài)規(guī)劃求兩點之間最短路徑的算法。通過EGG鄰域?qū)崿F(xiàn)Dijkstra算法的初始路徑構(gòu)建，如圖4中紅色點所示（紫色點為給定的初始兩點），該路徑呈多段折線形式，而理想的測地線上每一點曲率都應(yīng)為零，因此，接下來介紹如何優(yōu)化離散測地線曲率。

設(shè) C（s） 為參數(shù)化曲面 s 上的光滑參數(shù)曲線，其中 s 為曲線的弧長參數(shù)， C（s₁）=r₁ 和 C（s₂）= r_m 為兩個端點，則 C（s） 的測地線曲率 k_g 可以表示為

式中： N 為曲線的切向法線； n 為給定點的曲面法線； c_ss

為 C（s） 對弧長的二階導(dǎo)數(shù)。

1.3 基于EGG鄰域的MLS投影及路徑平滑

采用牛頓迭代法優(yōu)化測地線路徑之后，生成的新的離散點可能會偏離點云。為了確保生成的測地線路徑位于點云上，由于點云沒有與曲面類似的曲面方程，故本文通過構(gòu)造MLS隱式曲面，

將點投影至點云上。

設(shè)離散測地線路徑上每一點 ?_Pi 在點云 Q 中的 EGG鄰域為 EGG_pi ，則點 ?_Pi 向點云 Q 的投影向量可以定義為

對投影之后的離散點采用Taubin平滑之后將其作為離散徑向線。生成的箱底點云上的離散徑向線如圖6所示，自由曲面上點云離散徑向線如圖7所示（圖6、圖7中線段為兩點間的直線連線，僅為展示離散徑向線路徑）。

2 螺旋線加工軌跡生成

采用與阿基米德螺旋線規(guī)律性穿過徑向線相似的原理，在第1節(jié)構(gòu)造徑向線之后，通過B樣條曲線擬合、插值，生成點云上的螺旋加工路徑。

2.1 阿基米德螺旋線

阿基米德螺線是一種數(shù)學(xué)曲線，其方程可以用極坐標(biāo)表示，其特點是在平面上繞著一個中心點旋轉(zhuǎn)，同時沿著徑向線向外擴(kuò)展。阿基米德螺線的方程為

r=A+Bθ

式中： r 為極坐標(biāo)中的半徑； θ 為角度； A，B 為常數(shù)。

2.2 加工步長與行距計算

軌跡步長生成算法一般有等參數(shù)法、等距法和等弦高誤差法等，本文采用等弦高誤差法。由于生成的徑向線越靠近中心越密集，所以，如果表面加工精度要求較高，可以將邊界相鄰點間距離作為最大步長，對生成的離散螺旋點云重采樣得到等步長的精加工軌跡。

對于貯箱箱底，其表面形狀可以近似為橢球形的一部分，將螺旋軌跡近似為等平面軌跡，進(jìn)而可以推導(dǎo)出所截圓的直徑為

其中， a 為長軸; b 為短軸（該橢圓為雙長軸）; z₀ 為當(dāng)前截圓的 z 坐標(biāo)。如圖8所示，弦高誤差Δh_R 的計算公式為

則離散步長 L_R 與弦高誤差 Δh_R 間的計算公式為

為了保證表面加工質(zhì)量，優(yōu)化加工軌跡，本文采用等殘留高度法，該方法可以使相鄰刀具路徑之間的加工殘留高度均為最大允許殘留高度值[14]

如圖9所示，對于大曲率曲面，曲率遠(yuǎn)大于殘留高度，其行距 L_s 與殘留高度 Δh_s 之間的公式為

式中， 為刀具半徑。

2.3 線性螺旋差值算法

對1.3節(jié)計算得到的點云上的最優(yōu)測地線進(jìn)行B樣條曲線擬合，將得到的曲線作為徑向線。根據(jù)2.2節(jié)依據(jù)等殘留高度計算出的行距，對徑向線重新采樣，采樣點為 q_i，j^r（i=1，2，…，n;j=1 2，…，m） ，并計算螺旋線圈數(shù)：

N_s=L_i^r/L_i，j^r

式中： N_s 為圈數(shù)； L_i^r 為每條徑向線弧長； 為第 i 條徑向線上相鄰圈的弧長。

則每一圈總弧長 。設(shè)第 i 條徑向曲線上圈數(shù)為 j 時的點為 q_i，j^s ，如圖10所示，則該點在徑向線上的弧長 ΔL_i，j^r 計算公式為

式中： δ_i，j 為比例系數(shù)；上標(biāo)s表示當(dāng)前點在螺旋曲線上， r 表示當(dāng)前點在徑向線上；下標(biāo) i 表示當(dāng)前徑向線數(shù)， j 表示當(dāng)前螺旋圈數(shù)（取在一條徑向線上兩點之間的曲線作為一圈，如圖10中的 q_i-1，j^r 和 之間曲線為一圈）; q_i，j^r 為螺旋線每一圈在徑向線上的起點； ΔL_i，j^r 為徑向線上插值點與徑向線初始點間弧長； q_i，j+1^r 為螺旋線每一圈在徑向線上的終點。

計算得到 q_i，j^s 點在徑向線上弧長 ΔL_i，j^r 之后，根據(jù)B樣條擬合得到徑向線，得到該點的坐標(biāo)。

3軌跡生成結(jié)果

本文提出的方法已采用 VS2022+PCL1.9.1+ CGAL環(huán)境，通過 C++ 語言編程，在具有12thGenIntel（R）Core（TM） i5-12400F2.50GHz 和16G物理內(nèi)存的PC中實現(xiàn)。下面通過實測箱底毛坯件點云數(shù)據(jù)以及自由曲面兩個案例生成螺旋軌跡，驗證所提方法針對單邊界、兩邊界兩類曲面生成螺旋加工軌跡的有效性。

案例1：箱底為直徑約 3300mm 、高度約860mm 的半橢球形，用線激光測量得到的點云數(shù)據(jù)約1200萬，經(jīng)過濾波、精簡得到點云數(shù)量約200萬，生成軌跡所需時間為4000s左右，箱底及生成的螺旋軌跡如圖11所示。

所生成的離散螺旋加工軌跡與原始點云面間偏差最大值為 0.046mm ，誤差云圖見圖12，經(jīng)VERICUT軟件模擬加工后，得到的加工表面與理論模型表面誤差最大值為 0.1215mm ，誤差云圖見圖13，滿足實際工程誤差需求。

經(jīng)主成分分析法計算得到每一點的法向量，將法線方向繞當(dāng)前局部軌跡前進(jìn)方向旋轉(zhuǎn) 15^° 作為刀軸方向[15]，可以將該軌跡作為五軸加工軌跡。

案例2：自由曲面包圍盒尺寸為 1000mm× 1000mm×450mm ，經(jīng)過濾波、精簡得到點云數(shù)量約8.6萬，軌跡生成所需時間約 150s ，生成的螺旋軌跡如圖14所示。經(jīng)主成分分析法計算得到每一點的法向量，將法線方向繞當(dāng)前局部軌跡前進(jìn)方向旋轉(zhuǎn) 15^° 作為刀軸方向，可以將軌跡作為五軸加工軌跡。

4結(jié)論

1）提出的特征描述子邊界識別及序列化方法簡單有效，為徑向線構(gòu)造奠定基礎(chǔ)。

2）提出的徑向線構(gòu)造方法可以直接在點云面上構(gòu)造，省去了向參數(shù)域內(nèi)映射的過程，提高了精度和效率。針對測地線曲率最小化問題，采用牛頓迭代法求解，得到了準(zhǔn)確、光順的離散測地線。

3）針對路徑冗余等問題，對離散徑向線采用B樣條曲線擬合并重采樣，滿足等殘留高度行距需求；通過最短步長計算徑向線個數(shù)；提出徑向線插值算法，生成了等殘留高度的離散螺旋加工軌跡，并通過案例展示了所提方法的有效性。

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（編輯袁興玲）

作者簡介：吳江盛，男，1998年生，碩士研究生。研究方向為復(fù)雜曲面測量加工一體化。E-mail：Wujiangsheng@mail，dlut.edu.cn.柴興亮\"（通信作者），男，1995年生，博士研究生。研究方向為測量加工一體化、薄壁件變形補償、低應(yīng)力制造、數(shù)字化加工。 E-mail：chaixingliang@mail.dlut.edu.cn.本文引用格式：

吳江盛，柴興亮，薄其樂，等，基于離散點云構(gòu)造徑向線的螺旋加工軌跡規(guī)劃方法[J].中國機械工程，2025，36（4）：697-702.

WU Jiangsheng，CHAI Xingliang，BO Qile， et al， Spiral Machi- ning Trajectory Planning Method Based on Discrete Point Cloud Construction of Radial Lines[J]. China Mechanical Engineering，2025，36（4）：697-702.