《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）指出：要強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，關(guān)注數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)背景，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu)[1]85．章建躍博士曾說(shuō)：“教數(shù)學(xué)根本上是教概念.”概念的理解是知識(shí)的支點(diǎn)、思維的基礎(chǔ)，概念教學(xué)如何適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知水平，如何強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解，如何培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，是概念課設(shè)計(jì)與實(shí)施過(guò)程中需要思考和關(guān)注的問(wèn)題．2024年11月，筆者參加了蘇州高新區(qū)初中數(shù)學(xué)教學(xué)研討活動(dòng)，觀摩了任琴執(zhí)教的“正切”章起始課，現(xiàn)結(jié)合這堂課的觀摩情形及章建躍博士的評(píng)課觀點(diǎn)與思考，闡釋這堂課的教學(xué)立意，以饗讀者．

內(nèi)容分析

1.教學(xué)內(nèi)容的界定

教學(xué)時(shí)是否要從函數(shù)視角出發(fā)去研究銳角三角函數(shù)，這是很多教師糾結(jié)的問(wèn)題．蘇科版九下教材中提到：“在 RtΔABC 中 1 和機(jī) 的值都隨 ∠A 的大小變化而變化，都隨A的大小確定而唯一確定.”“函數(shù)味”十足，同時(shí)蘇科版高中教材對(duì)“任意角的三角函數(shù)”的研究采用了函數(shù)研究的一般路徑，所以，基于初高中數(shù)學(xué)的整體性和一致性，本節(jié)課的“函數(shù)味”不可缺失.

2.教學(xué)目標(biāo)的定位

新課標(biāo)對(duì)課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求：“利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)．[1]69”以相似的直角三角形為基礎(chǔ)，研究直角三角形的邊角關(guān)系是本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”．鑒于新課標(biāo)對(duì)課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求是“探索并認(rèn)識(shí)”，經(jīng)筆者分析，新課標(biāo)對(duì)“探索”的描述為：“在特定的問(wèn)題情境下，獨(dú)立或合作參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，理解或提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，尋求解決問(wèn)題的思路，獲得確定結(jié)論．[1]181”

新課標(biāo)中“認(rèn)識(shí)”的同類詞是“理解”，而新課標(biāo)對(duì)“理解”的描述為：“描述對(duì)象的由來(lái)、內(nèi)涵和特征，闡述此對(duì)象與相關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別和聯(lián)系.”[1]181-182將兩者結(jié)合起來(lái)，不難發(fā)現(xiàn)新課標(biāo)對(duì)本節(jié)課的目標(biāo)定位更注重過(guò)程性，即教師在教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)真實(shí)問(wèn)題情境，給予學(xué)生充分的時(shí)間與空間，讓學(xué)生經(jīng)歷豐富的探索活動(dòng)，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在經(jīng)歷認(rèn)知、思考與獲得后，深化對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)過(guò)程

第一層活動(dòng)：經(jīng)歷直觀，“數(shù)眼”審視世界，發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象

教師通過(guò)微視頻介紹蘇州虎丘斜塔.虎丘斜塔是世界第二大斜塔，距今已有1000多年歷史，是一座八角形仿木結(jié)構(gòu)閣樓式磚身木檐塔，重達(dá)6000噸，七層八面，塔身高47.7米，最大傾斜角度為3度59分．

問(wèn)題1塔高47.7米，傾斜角度為3度59分，你想探究什么？

追問(wèn)：把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，如圖1，在 RtΔABC 中，∠A度數(shù)為3度59分，你能求出哪些量？能求出BC的長(zhǎng)嗎？

垂直中心線

設(shè)計(jì)說(shuō)明教師播放微視頻介紹虎丘斜塔，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)并提出欲探究的問(wèn)題，把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，在教師的追問(wèn)下喚醒學(xué)生對(duì)直角三角形邊角關(guān)系的認(rèn)識(shí)，面對(duì)新的問(wèn)題形成認(rèn)知沖突，幫助學(xué)生發(fā)散數(shù)學(xué)思維，激發(fā)探究欲望.

問(wèn)題2如圖2，若脫離實(shí)際問(wèn)題對(duì)A大小特殊化， ∠A 為多少度，可以求BC？

生1：若 ∠A 為 45^° ，直角三角形的三邊之比為 ，已知 AB 長(zhǎng)可求BC.

生2：若∠A為 30^° ，直角三角形的三邊之比為 ，已知AB 長(zhǎng)可求BC.

追問(wèn)1含 30^° 角的直角三角形中， 30^° 角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半．這個(gè)命題的條件是什么？結(jié)論是什么？你有什么發(fā)現(xiàn)？

追問(wèn)2在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角為 30^° 或 45^° 的特殊角時(shí)，三角形的三邊之比是確定的，你還想探究什么？

生3：在Rt△ABC中，若∠A為一般的度數(shù)，三角形的三邊之比是多少？

設(shè)計(jì)說(shuō)明基于學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，把/A特殊化后可知直角三角形三邊之比，進(jìn)而可求BC．引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注A取某個(gè)特定值時(shí)，直角三角形三邊之比是固定的，由特殊到一般，學(xué)生提出新的問(wèn)題并繼續(xù)展開探究.

第二層活動(dòng)：推理驗(yàn)證，自主操作探究，發(fā)現(xiàn)一般結(jié)論

問(wèn)題3在Rt△ABC中，當(dāng)∠A為 37^° ，三角形的三邊之比為多少？

操作探究：

（1）在練習(xí)本上畫出有一個(gè)角為 37^° 的 RtΔABC

（2）探究 ΔABC 三邊的比值.

追問(wèn)1回顧探究過(guò)程，你是怎么獲得結(jié)論的？

生4：先畫一個(gè)符合題意的RtΔABC ，然后測(cè)量三條邊長(zhǎng)分別為4cm， 5.4cm， 6.8cm ，最后計(jì)算它們的比值，約為 3：4：5 ：

生5：先畫一條直角邊為10cm ，然后畫出符合題意的直角三角形，測(cè)量另外兩邊分別為 7.4cm r12.5cm ，這樣相對(duì)好算些，算出的比值也約為 3：4：5 ：

追問(wèn)2生5先思后畫，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，非常棒！經(jīng)過(guò)剛才的操作探究，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生6：一個(gè)角為 37^° 的直角三角形，它的三邊之比約為 3：4：5

追問(wèn)3剛才我們經(jīng)歷了觀察、操作、運(yùn)算與猜想，得出的結(jié)論可靠嗎？為什么？

生7：不可靠，畫圖和測(cè)量可能有誤差.

追問(wèn)4為獲得一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，還需做什么？

生8：推理驗(yàn)證.

追問(wèn)5依據(jù)勾股定理，能否簡(jiǎn)化需要探究的問(wèn)題？只需探究幾條邊之比？可研究哪兩邊之比？

生9：兩邊之比.

生10：∠A的對(duì)邊與斜邊之比.

生11：直角三角形中，三邊分別是A的對(duì)邊、鄰邊與斜邊，兩兩之間的比有6種.

生12：若從 ∠B 的角度觀察，也有這樣的關(guān)系.

師：回答都非常棒！只需探究任意兩邊之比，我們不妨從中選一個(gè)，先探究A的對(duì)邊與鄰邊之比.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 學(xué)生經(jīng)歷畫圖、觀察、運(yùn)算、比較、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將零散、碎片化的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)化，為抽象數(shù)學(xué)概念作準(zhǔn)備．教師追問(wèn)：“可探索哪兩邊之比？”學(xué)生暢所欲言，發(fā)現(xiàn)A的對(duì)邊、鄰邊與斜邊，兩兩之間的比有6種，而且它們之間是并列關(guān)系，地位平等，本節(jié)課先研究A的對(duì)邊與鄰邊之比，為后續(xù)研究正弦、余弦作鋪墊，也為本章的學(xué)習(xí)構(gòu)建整體認(rèn)知.

問(wèn)題4自主畫圖探究，銳角A在不同的直角三角形中，A的對(duì)邊的值是否變化？你能說(shuō)∠A的鄰邊明理由嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明教師給予學(xué)生充分的時(shí)間與空間自主畫圖探究，畫出包含A在不同位置下的直角三角形，并運(yùn)用圖形變換、相似等知識(shí)進(jìn)行推理說(shuō)明.學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題，驗(yàn)證猜想，獲得學(xué)習(xí)體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信.

第三層活動(dòng)：內(nèi)化理解，發(fā)現(xiàn)對(duì)象特征，生成正切概念

問(wèn)題5通過(guò)對(duì)問(wèn)題4的研究，我們發(fā)現(xiàn)直角三角形中A的大小確定后， ∠A的對(duì)邊 的值也確定了，∠A的鄰邊當(dāng)A的大小改變， ∠A的對(duì)邊 的值∠A的鄰邊也隨之改變，這種關(guān)系與之前學(xué)習(xí)的哪個(gè)概念一致？你能嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述銳角∠A與4的對(duì)邊 的值∠A的鄰邊的關(guān)系嗎？

追問(wèn)1 函數(shù)的定義是什么？

追問(wèn)2這是一種什么函數(shù)？你能嘗試給這種函數(shù)取名嗎？

師：直角三角形中有兩個(gè)變量，分別是一個(gè)角的角度及這個(gè)角所對(duì)兩邊之比的比值.當(dāng)角度變化時(shí)兩邊的比值隨之發(fā)生變化；當(dāng)角度確定時(shí)，比值也有唯一確定的值與之相對(duì)應(yīng)，這就是銳角三角函數(shù)．如圖3，在 RtΔABC 中， ∠A 的對(duì)邊與鄰邊之比稱為 ∠A 的正切（tangent），記作 tanA ，即 tanA= A的對(duì)邊 ∠A的鄰邊 （20 ：

設(shè)計(jì)說(shuō)明從生活、數(shù)學(xué)的內(nèi)部情境中經(jīng)歷不同層級(jí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)的共性，體會(huì)A與A的對(duì)邊 的值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，∠A的鄰邊經(jīng)歷函數(shù)定義的回顧和取名等活動(dòng)后進(jìn)行抽象、概括，學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)，深刻理解了概念的內(nèi)涵.

第四層活動(dòng)：遷移應(yīng)用，利用正切概念，解決實(shí)際問(wèn)題

數(shù)學(xué)史：教師播放正切數(shù)學(xué)史微視頻，畫面定格在表1三角函數(shù)換算表．根據(jù)此表，每個(gè)銳角都有對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值.你能借助這個(gè)表求出圖1中虎丘斜塔偏離垂直中心線的水平距離BC嗎？

問(wèn)題6如圖4，借助刻度尺、測(cè)角儀等工具，你有哪些方法可以測(cè)出旗桿的高度？

生13：借助太陽(yáng)光，測(cè)出一根竹竿及其影長(zhǎng)，再測(cè)出旗桿的影長(zhǎng)，用相似原理便可求出旗桿的高度.

追問(wèn)：若測(cè)量時(shí)沒有太陽(yáng)光，影長(zhǎng)無(wú)法測(cè)量，還能想到其他辦法嗎？測(cè)角儀可測(cè)量角度，能否利用今天所學(xué)的知識(shí)嘗試解決？

設(shè)計(jì)說(shuō)明學(xué)以致用，通過(guò)播放數(shù)學(xué)史微視頻，讓學(xué)生了解正切概念的發(fā)展演變歷程，感知銳角三角函數(shù)的起源及廣泛應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀，實(shí)現(xiàn)前后呼應(yīng)作用.引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決本節(jié)課一開始提出的“虎丘斜塔偏離垂直中心線的水平距離”問(wèn)題.問(wèn)題6通過(guò)開放性設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察、用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題并給出旗桿測(cè)量方案，體會(huì)新知的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

第五層活動(dòng)：完善認(rèn)知，自主總結(jié)建構(gòu)，形成學(xué)習(xí)體系

問(wèn)題7

（1）通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些新的知識(shí)、思想和方法？（2）回顧今天的學(xué)習(xí)，你經(jīng)歷了怎樣的學(xué)習(xí)過(guò)程？（3）你還想繼續(xù)學(xué)習(xí)什么內(nèi)容？

設(shè)計(jì)說(shuō)明核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的課堂要求學(xué)生“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”，而“勤于反思”又是學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的重要路徑．通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的回憶、小結(jié)、反思，學(xué)生能夠簡(jiǎn)要地總結(jié)出本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)、經(jīng)歷的探究過(guò)程及學(xué)習(xí)的基本方法，暢談對(duì)銳角三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)與展望.教師則根據(jù)學(xué)生的思維走向，關(guān)注學(xué)生問(wèn)題的層次性和邏輯的連貫性，幫助學(xué)生對(duì)已學(xué)內(nèi)容形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知，進(jìn)一步完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

教學(xué)思考

1.創(chuàng)設(shè)層級(jí)活動(dòng)階梯，促進(jìn)概念生成

新課標(biāo)要求學(xué)生能夠從情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，積累從具體到抽象的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并運(yùn)用數(shù)學(xué)思維思考并解決問(wèn)題．在當(dāng)下的概念教學(xué)中，教師通常簡(jiǎn)化概念的生成及應(yīng)用，靠“熟”能生“巧”的題海訓(xùn)練來(lái)深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.這種教學(xué)方式缺乏對(duì)學(xué)生思維的激發(fā)，學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧靠大量做題是練不出來(lái)的．真正的概念教學(xué)要從現(xiàn)實(shí)背景出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中深度體驗(yàn)概念的生成．本節(jié)課中，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光從真實(shí)生活情境中發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題，并將其抽象為三角形邊角關(guān)系問(wèn)題.研究直角三角形的三邊之比時(shí)∠A 的取值從 30^° 、 45^° 到 37^° ，向?qū)W生滲透特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷了畫圖、運(yùn)算、猜想等探究活動(dòng).學(xué)生多感官參與，通過(guò)直觀體驗(yàn)和操作探究獲得了直覺思維.學(xué)生從圖形變換、相似等入手驗(yàn)證“直角三角形中當(dāng)A的大小確定時(shí)，A的對(duì)邊 的值也確定”，發(fā)現(xiàn)∠A的鄰邊共性建構(gòu)概念，并遷移應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題．上述探究中，學(xué)生經(jīng)歷了感知、推理、內(nèi)化、應(yīng)用、反思等層級(jí)活動(dòng)，揭示了數(shù)學(xué)概念的背景、內(nèi)涵及發(fā)生、發(fā)展、生成的動(dòng)態(tài)過(guò)程，完成了從直觀到抽象、由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的升華.

2.整體構(gòu)建知識(shí)內(nèi)容，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

評(píng)課時(shí)，章建躍博士指出：“概念教學(xué)時(shí)要把概念放在系統(tǒng)中，形成概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).”學(xué)生應(yīng)把將要學(xué)習(xí)的知識(shí)與原有知識(shí)建立關(guān)聯(lián)，為新知找到“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，并將新知納入已有知識(shí)體系中，形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知．本節(jié)課從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象出直角三角形后，喚醒學(xué)生回顧直角三角形邊與邊、角與角之間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生自然而然地從邊與角的角度提出新問(wèn)題.在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，師生經(jīng)過(guò)交流、歸納出概念課的研究路徑：概念建構(gòu)一概念理解一概念內(nèi)化一概念應(yīng)用.對(duì)學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行展望時(shí)，有學(xué)生提出想要繼續(xù)研究A的大小與 A的對(duì)邊A的鄰邊 的∠A的斜邊∠A的斜邊值的關(guān)系；也有學(xué)生提出想要學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)、應(yīng)用.教師追問(wèn)是怎么想到的？學(xué)生回答是依據(jù)之前學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，教師及時(shí)給予了肯定并解釋將在高中學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)繼續(xù)研究這些內(nèi)容.整節(jié)課上聯(lián)下延，學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容、思想方法、研究路徑等角度對(duì)概念教學(xué)形成了結(jié)構(gòu)化認(rèn)知，優(yōu)化了認(rèn)知結(jié)構(gòu).

3.重視數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn)，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升

新一輪課改以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，課程目標(biāo)也實(shí)現(xiàn)了從知識(shí)立意到能力立意、再到素養(yǎng)立意的提升[2]知識(shí)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的載體，活動(dòng)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的渠道[3].數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成不是“教”出來(lái)的，是學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、類比、歸納、抽象、概括等數(shù)學(xué)探究活動(dòng)逐漸積累、無(wú)痕生長(zhǎng)出來(lái)的，是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深度理解與把握．在本節(jié)課的第一層活動(dòng)中，學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)模式，經(jīng)歷抽象、建模、直觀想象等學(xué)習(xí)活動(dòng)，提升了幾何直觀素養(yǎng)；在第二層活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷了畫圖、運(yùn)算、猜想、驗(yàn)證等探究活動(dòng)，提升了運(yùn)算能力、推理能力；在第三層活動(dòng)中，學(xué)生自主完成了銳角三角函數(shù)概念的建構(gòu)，提升了抽象能力；在第四層活動(dòng)中，學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決了虎丘斜塔測(cè)量中的實(shí)際問(wèn)題并設(shè)計(jì)了測(cè)量旗桿高度等方案，提升了應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)；在第五層活動(dòng)中，學(xué)生通過(guò)回顧本節(jié)課內(nèi)容，對(duì)所學(xué)知識(shí)形成了結(jié)構(gòu)化認(rèn)知，提升了數(shù)學(xué)認(rèn)知水平和語(yǔ)言表達(dá)能力.

后記

以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以數(shù)學(xué)活動(dòng)為抓手，革新教與學(xué)的方式，教師要不惜時(shí)、不惜力，由淺入深地創(chuàng)設(shè)多層級(jí)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，只有讓學(xué)生的手、眼、耳、嘴、腦等感官全身心地投入學(xué)習(xí)中來(lái)，學(xué)生對(duì)概念的理解與建構(gòu)才更深刻，引發(fā)的思維活動(dòng)才更活躍，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的無(wú)痕生長(zhǎng).

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