復(fù)習(xí)課是九年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，通過(guò)復(fù)習(xí)課教學(xué)可以有效回顧學(xué)過(guò)的知識(shí)，鞏固加深對(duì)舊知的理解，使零碎化、片面化的知識(shí)經(jīng)過(guò)整合之后系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化.

根據(jù)學(xué)習(xí)進(jìn)程，九年級(jí)的復(fù)習(xí)課有階段復(fù)習(xí)、學(xué)期復(fù)習(xí)和應(yīng)對(duì)中考的全面復(fù)習(xí).全面復(fù)習(xí)按階段目標(biāo)又可以分為基礎(chǔ)復(fù)習(xí)、專(zhuān)題復(fù)習(xí)、回扣復(fù)習(xí)三輪復(fù)習(xí).在第一輪基礎(chǔ)復(fù)習(xí)階段，需要對(duì)初中三年所學(xué)知識(shí)進(jìn)行全面系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，在這個(gè)階段常常會(huì)出現(xiàn)以下問(wèn)題：教師以講解為主，學(xué)生以記憶知識(shí)、機(jī)械練習(xí)為主，導(dǎo)致學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)興趣，潛能得不到有效挖掘.這個(gè)階段教師應(yīng)該結(jié)合學(xué)生發(fā)展需求，依據(jù)復(fù)習(xí)課的內(nèi)容精心備課，從知識(shí)梳理、例題講解、鞏固訓(xùn)練與反思總結(jié)等方面著力，促使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)，提高復(fù)習(xí)效率.第一，創(chuàng)新知識(shí)梳理的方式，讓學(xué)生主動(dòng)梳理.如學(xué)生課前自主復(fù)習(xí)，畫(huà)出知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖，完成知識(shí)梳理.又如教師在課上精心設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，在解決問(wèn)題的過(guò)程中帶出各個(gè)知識(shí)點(diǎn).以全等三角形的復(fù)習(xí)為例，可以給出一組三角形，讓學(xué)生找出其中全等的三角形并說(shuō)出判斷依據(jù).第二，精選典型例題包括但不限于中考真題，配備變式題進(jìn)行鞏固，從一題多解到一題多變，從常規(guī)題到創(chuàng)新型題目，教師采用啟發(fā)式、互動(dòng)式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生探究興趣，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行方法探索、方法總結(jié)，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.第三，發(fā)揮課堂小結(jié)的作用，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行自我監(jiān)控.一節(jié)課復(fù)習(xí)效果怎么樣，小結(jié)時(shí)可以讓學(xué)生對(duì)照知識(shí)梳理回顧重點(diǎn)知識(shí)、重點(diǎn)方法，整理重難點(diǎn)題目，將復(fù)習(xí)過(guò)的知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，進(jìn)而再次完善知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖，實(shí)現(xiàn)從知識(shí)層面到能力層面的提升，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，

筆者以九年級(jí)一輪復(fù)習(xí)階段復(fù)習(xí)課“直角三角形與勾股定理”為例，淺析如何根據(jù)復(fù)習(xí)課特點(diǎn)，利用好課堂主陣地，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，提高復(fù)習(xí)課的效率.

1復(fù)習(xí)引入，知識(shí)梳理

師：關(guān)于直角三角形與勾股定理，我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

生：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；直角三角形兩銳角互余，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方， 30^° 角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；滿(mǎn)足兩條邊的平方和等于第三條邊平方的三角形是直角三角形；兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

師：哪位同學(xué)展示一下你的知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖？

兩位學(xué)生利用希沃視頻展臺(tái)展示自己所畫(huà)的知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖并給出了簡(jiǎn)要說(shuō)明.

2題組練習(xí)，考向探究

題組一：勾股定理與拼圖.

師：你能用圖1和圖2中的這三個(gè)直角三角形拼出一個(gè)直角梯形嗎？

生：能.

學(xué)生畫(huà)圖自主嘗試.

師：圖1中的兩個(gè)直角三角形什么關(guān)系？判斷依據(jù)是什么？

生：全等，斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）.

師：展示一下你拼成的直角梯形并說(shuō)明理由.

一位學(xué)生上臺(tái)展示并說(shuō)明理由.

師：設(shè)圖1中的直角三角形的另外一條直角邊長(zhǎng)為 b ，觀察拼成的直角梯形，對(duì)于 a，b，c 的關(guān)系你有什么發(fā)現(xiàn)？

生： a²+b²=c² .如圖3，設(shè)梯形的面積為 s ，由梯形面積公式，可得 ： （a+b）（a+b） ，而梯形的面積又可以表示成三個(gè)直角三角形的面積之和，得 從而推出 a²+b²=c²

師：我們利用什么方法證明了勾股定理？

生：等積法.

師：剛才我們得到的這個(gè)拼圖在歷史上被稱(chēng)作詹姆斯·加菲爾德總統(tǒng)拼圖.想一想，你還知道其他證明勾股定理的方法嗎？

生：用趙爽弦圖、畢達(dá)哥拉斯拼圖也可以證明.

師：觀察下面兩組圖形（圖4、圖5），你有什么發(fā)現(xiàn)？同桌交流說(shuō)一說(shuō)你的結(jié)論.

題組二：直角三角形的性質(zhì).

師：利用直角三角形的性質(zhì)完成例1，請(qǐng)一名學(xué)生來(lái)板書(shū).

例1（2022·杭州改編）如圖6，在 RtΔACB 中， ∠ACB= 90^°，∠A=50^°，M 為 _AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 在線段 AM 上， EF⊥AC 于點(diǎn)F ，連接 CM，CE .已知 ∠ACE=30^° （1）求證： CE=CM ：

（2）若 AB=4 ，求線段 EF，F(xiàn)C 的長(zhǎng).

學(xué)生自主完成，教師巡視，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生幾何語(yǔ)言組織能力，并進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo).

師生共同對(duì)照學(xué)生的板書(shū)梳理解題思路，

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思考下面的練習(xí)1，然后邀請(qǐng)一 名同學(xué)當(dāng)小老師講講這道題.

練習(xí)1 （2021·新疆）如圖7所示，在 RtΔABC 中，∠ACB=90^° ， ∠A=30^° ，AB=4，CD⊥AB 于點(diǎn) D，E 是 AB 的中點(diǎn)，則 DE 的長(zhǎng)為（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

生：因?yàn)?∠ACB=90^°，E 是 _AB 的中點(diǎn)，所以 因?yàn)?∠ACB=90^° ∠A= 30^° ，所以 ∠B=60^° 所以 ΔBCE 為等邊三角形.又CD⊥AB 于點(diǎn) D ，所以 BE=1.故選：A.

師：講解準(zhǔn)確，邏輯清晰，很好的示范！

題組三：勾股定理及其逆定理的應(yīng)用.

師：利用勾股定理怎么求直角三角形的邊呢？請(qǐng)同學(xué)們完成例2.

例2如圖8，一棵高為 16m 的大樹(shù)被臺(tái)風(fēng)刮斷.若樹(shù)在離地面6m 處折斷，則樹(shù)頂端落在離樹(shù)底部多遠(yuǎn)處？

師：例2是個(gè)實(shí)際問(wèn)題，首先應(yīng)該怎么處理？

生：轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題.如圖9，在 RtΔABC 中， ∠ACB=90^° BC+AB=16，BC=6 ，求 AC 的長(zhǎng).

師：然后呢？

生： BC+AB=16，BC=6 ，則

AB=10 ，在 RtΔABC 中由勾股定理可以直接求出AC=8

師：同學(xué)們思路清晰，勾股定理運(yùn)用得很熟練.現(xiàn)在再來(lái)思考下面這個(gè)問(wèn)題.

練習(xí)2如圖10，小梅同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片，使點(diǎn) A 與點(diǎn) B 重合，折痕為 DE ，若 AB= 10cm BC=6cm ，你能求出 CE 的長(zhǎng)嗎？

學(xué)生自主完成，教師巡視指導(dǎo).

師：求 CE 的主打思路是什么？

生：如圖11，連接 BE ，在 RtΔBCE 中利用勾股定理來(lái)求解.

師：具體呢？

生：在 RtΔABC 中， ∠ACB= 90^°，AB=10cm，BC=6cm ，由勾股定理得 AC=8cm .設(shè) CE=x ，則 AE=8-x ，由題意 DE 是 AB 的垂直平分線，所以 BE=AE=

8-x ，在 RtΔBCE 中由勾股定理求出 cm.

師：比較例2和練習(xí)2，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：兩道題目涉及利用勾股定理求直角三角形的邊的兩種基本思路.第一種是直接求，當(dāng)知道直角三角形的兩邊，運(yùn)用勾股定理可直接求第三條邊；第二種是間接求，當(dāng)知道直角三角形的一邊以及另外兩邊的關(guān)系，可由勾股定理構(gòu)建方程來(lái)求未知的邊.

師：總結(jié)到位，給力！其實(shí)涉及高的問(wèn)題往往都可以借助于勾股定理這個(gè)強(qiáng)有力的工具解決，比如下面的例3.

例3如圖12所示，在 RtΔABC 中， ∠ACB= 90^°，AC=4，BC=3，CD⊥AB 于點(diǎn) D ，則這個(gè)直角三角形斜邊上的高CD長(zhǎng)為多少？

師：求CD有哪些方法？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成后小組內(nèi)進(jìn)行交流.

師：哪個(gè)小組分享一下你們的方法？

組1：利用等積法，根據(jù)三角形面積的不同表示方法建立方程求出 CD 的長(zhǎng)；也可以利用勾股定理，設(shè)AD 的長(zhǎng)為 x ，在 RtΔACD 和 RtΔCBD 中分別表示出高 CD 的平方，列出方程求出 x ，再求 CD 即可.

師：還有別的方法嗎？

組2：利用三角形相似建立方程，根據(jù) RtΔACD 或者 RtΔBCD 與 RtΔABC 相似，利用對(duì)應(yīng)邊的比相等可以求出 CD ：

師：答案是2.4，也可以寫(xiě)成 ，你們做對(duì)了嗎？不錯(cuò)，都做對(duì)了.下面我們挑戰(zhàn)本題的一道變式題，也是一道典型的易錯(cuò)題.

教師出示變式題，學(xué)生自主嘗試.

變式（2021·齊齊哈爾）直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為3和4，則這個(gè)直角三角形斜邊上的高為

師：本題和例題3有區(qū)別嗎？

生：條件不同，本題中并未指明3和4是直角三角形的什么邊，需要分類(lèi)討論，即分3和4為兩條直角邊，3為直角邊4為斜邊兩種情況.

師：說(shuō)出你們的答案. （204號(hào)

生：

師：關(guān)于三角形的問(wèn)題，有時(shí)候需要作出高構(gòu)造直角三角形來(lái)解決問(wèn)題.現(xiàn)在我們來(lái)探究這種情況.

課件展示練習(xí)3，給學(xué)生留足思考時(shí)間.一段時(shí)間后學(xué)生合作交流.

練習(xí)3如圖13，在 4×4 正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn).若 ΔABC 的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則 cos∠BAC 的值是

師；如何求 cos∠BAC 的值？

生：利用定義，需要構(gòu)造直角三角形.

師：如何構(gòu)造直角三角形呢？構(gòu)造出直角三角形之后具體如何求呢？

生：如圖14，作 CD⊥AB 于點(diǎn) D ，用等積法求出CD ，再利用勾股定理求出 AD ，進(jìn)而求出 cos∠BAC 師：求 CD 也可以用勾股定理，還有別的方法嗎？

生：如圖15，延長(zhǎng) AC 交 4×4 正方形網(wǎng)格于格點(diǎn)E ，連接 BE ，利用勾股定理逆定理可以證明三角形ABE 是直角三角形，進(jìn)而求出求 cos∠BAC

師：也可以由 ΔBEC 兩側(cè)的兩個(gè)直角三角形全等推出 ∠BEC=90^° ：

學(xué)生整理思路，求出正確答案

3系統(tǒng)總結(jié)，能力提升

師生共同回顧和總結(jié)本節(jié)課知識(shí)，畫(huà)出的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如圖16所示.

{定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形（1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余（2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 30^° ，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半性質(zhì)（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（4）勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為直角三角形 二 a_λ，b 邊為 c 90^° 三角形是直角三角形（2）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形判定（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng) _{a，b，c} 滿(mǎn)足 a²+b²=c² ，那么這個(gè)三角形是直角三角形面積：SR△ABC 2ch，其中a，b為兩條直角邊長(zhǎng)，c 為斜邊長(zhǎng)， ?h 為斜邊上的高.等積法：用于勾股定理的探索過(guò)程及解決與高相關(guān)的求思想 長(zhǎng)度問(wèn)題.方法 ①單勾股方程思想 ② 雙勾股：利用公共邊列方程③ 利用面積相等列方程

4教學(xué)思考

直角三角形是特殊的三角形，在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位.筆者這節(jié)課依據(jù)課標(biāo)要求，剖析教材內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生學(xué)情，創(chuàng)新教學(xué)方式方法，一方面注重基礎(chǔ)，系統(tǒng)復(fù)習(xí)了直角三角形的定義、性質(zhì)、判定和面積等知識(shí)，另一方面，滲透數(shù)學(xué)思想方法，注重學(xué)生的能力提升.整個(gè)教學(xué)實(shí)踐充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，學(xué)生獲得了“四基”，強(qiáng)化了“四能”，發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).