在教學(xué)中，常常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：教師認(rèn)為自己講得很透徹，學(xué)生感覺(jué)自己聽(tīng)得很明白，但是課后獨(dú)立解題時(shí)卻常感束手無(wú)策.之所以出現(xiàn)這種現(xiàn)象，一個(gè)重要原因在于學(xué)生在課堂上僅僅是被動(dòng)地接受了教師的思路，卻未經(jīng)歷獨(dú)立思考的過(guò)程，只知道“是什么”，卻不知道“為什么”“怎么樣”，更不會(huì)思考是否還有其他方法.學(xué)生的思維被禁錮，不僅影響學(xué)生解題能力的提升，還影響學(xué)生思維能力的發(fā)展[1].事實(shí)上，初中幾何證明教學(xué)能有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，但是幾何知識(shí)比較抽象，學(xué)生不容易理解和把握，也是公認(rèn)的教學(xué)難點(diǎn)[2.在解答幾何證明題時(shí)，不僅需要學(xué)生熟練地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還需要學(xué)生懂得如何分析、如何聯(lián)想、如何轉(zhuǎn)化，若想突破這一難點(diǎn)，僅憑教師的講授是難以達(dá)成的，因此教師還應(yīng)創(chuàng)設(shè)空間讓學(xué)生去分析、變換、證明、歸納，積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.下面，筆者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)剬?duì)幾何證明教學(xué)的認(rèn)識(shí).

重視幾何基本圖形的教學(xué)

學(xué)生在解答幾何證明題時(shí)常感無(wú)法入手，一個(gè)重要原因就是自身的讀圖、識(shí)圖、用圖能力較弱，不能將復(fù)雜的圖形拆分成基本圖形，在解題過(guò)程中容易受到其他因素的干擾，難以找到合適的切入點(diǎn)，從而陷入茫然無(wú)措之境.眾所周知，復(fù)雜圖形往往是由基本圖形構(gòu)成的，只要將基本圖形分離出來(lái)，并厘清它們之間的關(guān)系，就可以將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，證明起來(lái)自然得心應(yīng)手.

基本圖形按照來(lái)源一般分為兩類(lèi)：一是教材中的定義、定理等；二是學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的真題.教師作為學(xué)生求學(xué)路上的領(lǐng)路人，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、積累、應(yīng)用.

例如，學(xué)習(xí)了“角平分線性質(zhì)定理及其逆定理”后，教師設(shè)計(jì)了如下開(kāi)放性問(wèn)題：

如圖1，已知 OC 是 ∠AOB 的平分線，點(diǎn) P 在 OC 上， PE⊥OA 于點(diǎn)E ， PF⊥OB 于點(diǎn) F. 結(jié)合以上信息，說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn).

問(wèn)題給出后，教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生觀察、分析，然后與學(xué)生互動(dòng)交流.

生1結(jié)合已知條件，易證：ΔOEP?ΔOFP ，由此可得 PE=PF ，∠EPO=∠FPO ， OE=OF 業(yè).

師很好.生1在只考慮 ΔOEP 和 ΔOFP 全等的前提下，得到了諸多圖形特征.哪位同學(xué)還有其他發(fā)現(xiàn)？

生2這里將 EF 考慮進(jìn)去，還可以得到 EF⊥OP ， ED=FD 等幾何性質(zhì).

師現(xiàn)在我們將已知條件換一換，如圖1，已知 ΔOEP?ΔOFP 由此你能得到什么結(jié)論？

教學(xué)中，在學(xué)習(xí)了相關(guān)性質(zhì)和定理后，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1，并提煉圖形特征，以此加深學(xué)生對(duì)角平分線性質(zhì)定理及其逆定理理解的同時(shí)，提煉基本幾何圖形.

又如，在幾何證明教學(xué)過(guò)程中，有一道經(jīng)典幾何證明題：如圖2，已知CA=CB，CE=CD，CACB=∠DCE= 90^° ，求證： ΔBEC?ΔADC

該題難度不大，教師讓學(xué)生獨(dú)立完成.學(xué)生獨(dú)立完成證明后，教師繼續(xù)提問(wèn)：如圖3，將 ΔECD 繞點(diǎn) c 旋轉(zhuǎn)，此時(shí) ΔBEC?ΔADC 這一結(jié)論是否依然成立？學(xué)生積極思考、交流，發(fā)現(xiàn)只要 B ， c ， E 三點(diǎn)不共線，兩個(gè)三角形依然全等.在此基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)追問(wèn)：如圖4，已知 ΔABC 和△EDC均是等邊三角形， ΔBEC? ΔADC 是否依然成立？學(xué)生結(jié)合已有知識(shí)和已有經(jīng)驗(yàn)，順利地證明這一結(jié)論成立.證明完成后，教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生觀察、歸納，從而得到它們之間的共性特征，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型.

基本圖形是在日常學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸積累的，教師作為課堂教學(xué)的組織者，要善于通過(guò)合理變式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探索、提煉、積累、應(yīng)用，讓基本圖形成為學(xué)生解答幾何證明題的利刃.

重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂和精髓，是成功運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心所在.在教學(xué)中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想方法，鼓勵(lì)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，從更高層次理解知識(shí)，提高運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.對(duì)于一些簡(jiǎn)單的幾何證明題，一般采用綜合法，即從已知條件出發(fā)，通過(guò)正向思考證明結(jié)論；對(duì)于一些復(fù)雜的幾何證明題，常常采用分析法，即從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因，逐漸向已知條件靠攏.當(dāng)然，應(yīng)用哪種方法要根據(jù)實(shí)際情況靈活選擇，更多的是需要兩種證明方法相結(jié)合.

例如圖5，在 ΔABC 中，已知∠C=90^° ， AO=BO ，求證： CO=

問(wèn)題給出后，學(xué)生獨(dú)立思考，然后互動(dòng)交流.

師從已知條件出發(fā)，你能得到什么？從結(jié)論出發(fā)，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

教師適時(shí)啟發(fā)學(xué)生從不同角度出發(fā)，并運(yùn)用分析法和綜合法相結(jié)合的方式解決問(wèn)題.

生1已知 AO=BO ，由此可知點(diǎn) o 是斜邊 AB 的中點(diǎn)，如圖6，延長(zhǎng)CO ，在延長(zhǎng)線上截取一點(diǎn) E ，使OE=OC ，連接 BE ，由此構(gòu)造出“倍長(zhǎng)中線”這一輔助線，易證 CO= 而結(jié)論要求證明 ，為此若能證明 CE=AB ，則問(wèn)題得以解決.首先可以通過(guò)證明 ΔBOE?ΔAOC 得到 ，所以 ∠BCA=∠CBE= 90^° ，又 BC=BC ，所以 ΔBCE? ΔCBA ，所以 CE=AB

師很好.通過(guò)“兩頭湊”將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問(wèn)題，從而得到 ，是可行的.

當(dāng)然，教學(xué)中僅講數(shù)學(xué)思想方法還不夠，還應(yīng)進(jìn)行適度訓(xùn)練，通過(guò)實(shí)訓(xùn)幫助學(xué)生搭建證明方法系統(tǒng).另外，幾何證明題的證明方法一般不唯一，教師應(yīng)留足時(shí)間讓學(xué)生思考，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用不同的方法解決同一問(wèn)題.

例如圖7，已知 AB=AC ， DB= DC，求證： ∠B=∠C

該題非常簡(jiǎn)單，教師設(shè)計(jì)的目的并非單純證明兩角相等，而是鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用不同的方法進(jìn)行證明，并引導(dǎo)學(xué)生歸納證明“兩角相等”的方法，以便學(xué)生今后證明“兩角相等”的問(wèn)題時(shí)，能夠快速地找到解題的突破口.對(duì)于此題，若從已知條件出發(fā)，學(xué)生很容易想到連接BC，從而構(gòu)造出兩個(gè)等腰三角形，而 ∠B 和 ∠C 為兩個(gè)相同角之和，于是問(wèn)題得到解決；若從結(jié)論出發(fā)，要證明 ∠B=∠C ，學(xué)生很容易想到通過(guò)證明三角形全等的思路來(lái)證明兩個(gè)角相等，連接 _AD 可以構(gòu)造出ΔABD 和 ΔACD ，根據(jù)“SSS”定理，可以證明兩個(gè)三角形全等，從而完成證明.學(xué)生給出證明過(guò)程后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)證明“兩角相等”的方法.當(dāng)然，證明“兩角相等”的方法不限于以上兩種，教師還可以利用其他題目引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索、歸納.在教學(xué)中，教師不應(yīng)僅滿(mǎn)足于問(wèn)題的解決，而應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的積累，有效拓寬學(xué)生的視野.

總之，在幾何證明教學(xué)中，教師應(yīng)改變傳統(tǒng)教學(xué)模式，預(yù)留足夠的時(shí)間和空間讓學(xué)生操作、思考、聯(lián)想、證明，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1］王興斌.核心素養(yǎng)理念下的初中數(shù)學(xué)基本圖形教學(xué)—以“相似”為例[J].數(shù)學(xué)之友，2023（22）：42-43.

[2]黎麗芬.初中幾何證明題教學(xué)探究[J].基礎(chǔ)教育研究，2018（4）：37-38，40.