幾何直觀是學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路，進行邏輯推理的基礎，其在小學數(shù)學教學中有著重要的作用。數(shù)的運算是小學數(shù)學教學的重要組成部分，也是發(fā)展學生數(shù)學運算能力的關鍵，還是提高學生數(shù)學理解能力的重要途徑。運算的含義、方法、規(guī)律等比較抽象，學生理解起來比較困難。因此，教學中教師要合理運用幾何直觀，這可以使相關內(nèi)容變得更加直觀、形象、簡明，這不僅便于學生理解和接受，而且可以激發(fā)學生數(shù)學學習興趣，提高學生直觀想象、推理意識等素養(yǎng)。下面，筆者結(jié)合教學實踐談談幾何直觀在理解運算含義、算理算法、運算規(guī)律等方面的應用。

一、理解運算含義

在小學數(shù)學教學中，受傳統(tǒng)講授式教學模式的影響，學生對知識的理解停留于淺層的識記和套用上，影響了學生的長遠發(fā)展。在運算教學中，為了讓學生理解運算含義，教師可以借助幾何直觀，讓學生通過觀察、操作等環(huán)節(jié)理解運算的含義，從而打破“死記硬背\"\"生搬硬套”等方式的束縛，使“淺層學習\"走向“深度學習”，培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

案例1：\"3的乘法口訣\"教學片段師：如圖1，小青蛙一次跳幾格？

生（齊聲答）：3格。

師：如果照這樣繼續(xù)跳，你們能想到什么？

教學中教師沒有直接讓學生給出答案，而是鼓勵學生動手畫一畫，通過操作和觀察認識到：跳1次是3格，連著跳幾次，就能跳出幾個3格。

師：結(jié)合小青蛙連跳的過程想一想，如果小青蛙從0開始，每次跳3格，那么連續(xù)跳2次后，它一共跳了幾格？

生1：一共跳了6格。

師：你是如何得到的？

生1：2個3相加就是6。

師：很好！在此基礎上，再連續(xù)跳3次，現(xiàn)在小青蛙一共跳了幾格？

（問題給出后，有的學生動手畫，有的學生動手算，課堂氛圍活躍）

生2：15格。

師：你是如何得到的呢？

生2：小青蛙開始連續(xù)跳了2次，就是2個3，2個3相加是6，接下小青蛙又連續(xù)跳了3次，也就是3個3，3個3相加等于 ^{9，6+9=15} 。

師：還可以怎么算？

生3：前面連續(xù)跳了2次，后面連續(xù)跳了3次，一共跳了5次，也就是5個3，5個3相加等于15。

師：如果小青蛙從0開始，向右跳了5次后，又向左跳了1次，此時小青蛙會在哪個格子上呢？

生4：在12那個格子上。小青蛙連續(xù)跳5次，就是5個3相加是15；往回跳1次，相當于減去1個3，也就是4個3，4個3相加是12。

教師引導學生經(jīng)過觀察、探究、交流等過程，有利于學生理解乘法的含義，通過經(jīng)歷3的乘法口訣的編制過程，為后續(xù)其他乘法口訣的學習奠定基礎。

在教學“乘法的認識\"時，如果教師簡單介紹乘法的含義后就給出乘法口訣讓學生熟背應用，這樣學生雖然能背會用，但難以真正理解乘法的意義，更不能將加法、減法運算聯(lián)系起來，這樣勢必會影響后續(xù)綜合應用的效果。在以上環(huán)節(jié)的探究中，教師充分利用數(shù)軸圖，讓學生通過直觀觀察經(jīng)歷乘法口訣的抽象過程，不僅讓學生理解乘法就是將幾個數(shù)加起來的簡便運算，而且借助幾何直觀讓學生清晰認識加法運算就是在數(shù)軸圖中從左向右數(shù);減法是在數(shù)軸圖中從右往左數(shù)，讓學生充分感悟不同運算之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而逐漸建立和完善個體知識體系，促進知識深化。此外，教師借助幾何直觀可以有效調(diào)動學生參與課堂的積極性，讓學生充分體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)的樂趣，獲得更長遠的發(fā)展。

二、理解算理算法

掌握算理、探究算法對提高學生數(shù)學應用能力，發(fā)展學生數(shù)學探究意識具有重要意義。在日常教學中，教師要加強算理教學，讓學生真正做到“知其然亦知其所以然”。教學中，如果想讓學生真正理解算理算法，單憑教師的講授還遠遠不夠，此時要借助幾何直觀，讓學生通過操作、觀察、聯(lián)想等活動來掌握算理、探究算法，提高學生的運算能力、解決問題能力和推理意識。

案例2：“小數(shù)乘小數(shù)\"教學片段

師：觀察圖2，誰來說說它是1個怎樣的圖形？

生1：它是長為3.8米、寬為3.2米的長方形。

師：很好，現(xiàn)在我們用圖2中的長方形拼1個大的長方形，如圖3，說說原來的長方形發(fā)生了怎樣的變化？

生2：圖3由10個長3.8米、寬為3.2米的長方形拼成，新長方形的寬不變，還是3.2米，而長是原來的10倍，即 3.8×10=38 （米）。

師：面積如何變化呢？生（齊聲答）：面積是原來的10倍。

師：如圖4，在圖3的基礎上繼續(xù)拼，此時得到的長方形又有哪些新變化？你們想到了什么呢？

生3：小長方形由10個變成了100個，長方形的長和寬都是原來小長方形的10倍，面積是原來的100倍。

師：非常好，圖4中長方形的寬如何用算式來表示呢？

生（齊聲答）： 3.2×10=32 （米）。

師：你們能用算式表示以上3個長方形的面積嗎？

生4：圖2長方形的面積為 3.2× 3.8；圖4長方形的面積為 3.2×38 ；圖4長方形的面積為 32×38 。

師：結(jié)合以上探究過程，請說說4 3.2×3.8 ”與 32×38 ”有什么關系？

生5：結(jié)合以上探究過程不難發(fā)現(xiàn)，圖4中有100個小長方形，所以大長方形的面積是小長方形面積的100倍，也就是說“ 32×38^′′ 是‘ 3.2× 3.8\"的100倍。

生6：還可以說 3.2×3.8 是 32× 38\"的百分之一。

師：以上兩個算式哪個是我們已經(jīng)學過的？

生（齊聲答）： 32×38 。

師：已知 32×38=1216 ，你知道3.2×3.8 等于多少嗎？

生（齊聲答）： 12.16_c 師：你們是如何計算的呢？

生7：就是先計算 32×38 的積，然后將計算結(jié)果除以100，就可以得到 3.2×3.8 的積。

以上教學環(huán)節(jié)中，教師從學生的已有知識和經(jīng)驗入手，借助長方形長和寬的變化讓學生體會小數(shù)乘小數(shù)與整數(shù)乘整數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學生更加形象、直觀地理解小數(shù)乘小數(shù)的算法和算理。

案例3：“有余數(shù)的除法\"教學片段

結(jié)合教學經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，部分學生在計算有余數(shù)的除法時，常常因為不明白“余數(shù)一定比除數(shù)小\"這一道理而出現(xiàn)計算錯誤?；诖耍瑸榱藥椭鷮W生消除誤區(qū)，讓學生明晰其中的道理，教師從幾何直觀入手，讓學生通過動手做自己歸納出“余數(shù)一定要比除數(shù)小\"的結(jié)論。

師：如果用11個同樣大小的小棒擺三角形，你們會嗎？

生（齊聲答）：會。

師：大家擺一擺，看看能擺幾個三角形？還剩幾根小棒？

學生積極操作，很快得到了結(jié)果。

生8：可以擺出3個三角形，還剩下2根小棒。

師：你們能用算式來表達這一實 驗結(jié)果嗎？

生 9：11÷3=3 （個）·2（根）。

師：這些小棒可以擺出幾個正方形？幾個五邊形？分別剩幾根小棒呢？

生10：可以擺2個正方形，剩3根，也就是 11÷4=2 （個）··3（根）；可以擺2個五邊形，剩1根，也就是 11÷ 5=2 （個）·1（根）。

師：很好，請同學們以小組為單位，分別用不同的小棒擺三角形、正方形、五邊形，并將實驗結(jié)果填寫到表1、表2和表3中，結(jié)合表格內(nèi)容，說說自己的發(fā)現(xiàn)。

教師預留充足的時間讓學生想一想、擺一擺、算一算、填一填。學生通過直觀操作易于發(fā)現(xiàn)，如果擺三角形，剩余小棒數(shù)一定小于3;如果擺正方形，剩余小棒數(shù)一定小于4;如果擺五邊形，剩余小棒數(shù)一定小于5。至此，學生可以自己總結(jié)歸納出“余數(shù)一定比除數(shù)小\"的結(jié)論。

在日常教學中，教師不要急于將結(jié)論告知學生，應該提供機會讓學生操作、探索、抽象，讓學生通過經(jīng)歷知識生成過程，從而深刻地理解知識，明晰蘊含其中的道理，提高自主探究能力。

三、探索運算規(guī)律

在小學數(shù)學教學中，教師引導學生理解并掌握運算規(guī)律，可以優(yōu)化運算過程，提高運算效率。小學生的思維正處于由具體運算向形式運算過渡的階段，在數(shù)學學習時離不開具體事物的支撐。在探索運算規(guī)律的過程中，教師可以借助幾何直觀開展教學，這樣不僅更易于學生理解和接受，而且可以調(diào)動學生參與課堂的積極性，有利于提高學生數(shù)學能力與數(shù)學素養(yǎng)。

案例4：“乘法分配律\"教學片段

師：請大家畫1個長為6cm、寬為 2cm 的長方形和1個長為 4cm 寬為 2cm 的長方形。如果要求這2個長方形的面積之和，可以怎么做？

生1：可以先分別計算2個長方形的面積，再相加，也就是 6×2+4×2= 20cm².

師：還有其他方法嗎？

生2：這里2個長方形的寬都是2cm ，可以將2個長方形拼在一起，得到1個長為 （6+4）cm ，寬為 2cm 的長方形，它的面積是： （6+4）×2=20（cm²） 。

師：根據(jù)以上結(jié)果，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生 3：6×2+4×2 和 （6+4）×2 的計算結(jié)果相等。

師：請借助圖5進一步說說自己的發(fā)現(xiàn)。

生4：從圖形中不難看出，左邊長方形的面積是6個2，右邊長方形的面積是4個2，2個長方形所拼出的大長方形的面積是10個2，所以6個2與4個2之和等于10個2，即 6×2+ 4×2 和 （6+4）×2 的計算結(jié)果相等。

教學中，教師引導學生通過構(gòu)造圖形探索蘊含其中的規(guī)律，讓學生充分感知幾何直觀的價值和意義，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合意識；同時，借助幾何直觀，使抽象的知識變得形象、生動，有效地提高了學生探究的積極性，加深了對相關數(shù)學知識的理解。

案例5：\"混合運算\"教學片段

在混合運算教學中，部分教師直接讓學生熟背“先乘除后加減\"這一運算法則，然后通過大量的練習進行鞏固和強化，這樣不僅難以讓學生明晰蘊含其中的道理，而且容易增加數(shù)學的枯燥感，影響學生學習興趣。基于此，教學中教師可以充分發(fā)揮直觀模型的助教作用，讓學生潛移默化地總結(jié)運算法則，加深知識理解。

教師用圖片出示商品單價：薯片4元/袋，面包5元/個，餅干7元/袋，然后提出問題：如果要買2袋薯片和1袋餅干，一共需要多少錢？

問題給出后，教師讓學生畫出簡圖，如用“ Δ ”表示薯片，用“ 0 ”表示餅干，然后讓學生在紙上畫出自己的思維路徑，并寫出算式。

師：誰來說說自己想怎么算？

生5：可以先算2袋薯片的總價，然后加上1袋餅干的價格，也就是 2×4=8 （元）， 8+7=15 （元）。

師：還可以怎么算呢？

生6：可以列綜合算式，也就是2×4+7=15 （元）。

師：你們是如何計算的呢？

生7：從左向右計算，先算乘再算加。

師：如果用餅干的總價加上薯片的總價，可以如何列綜合算式？又該如何計算呢？

教師預留時間讓學生思考、計算。受已有經(jīng)驗影響，部分學生選擇從左向右算，發(fā)現(xiàn)兩個算式的計算結(jié)果不一致，于是學生利用簡圖重新梳理計算路徑，順利解答。

師：如何求5袋薯片和8袋餅干的總價，你們會求嗎？

教師讓學生先動手畫一畫、擺一擺、圈一圈，以此突破混合運算中“自左向右\"計算的誤區(qū)，明晰“先乘后加\"的根本原理。

以上教學中，教師引導學生通過構(gòu)造圖形表示數(shù)量關系，借助已有生活經(jīng)驗進一步理解“先乘后加減\"這一運算法則，有效提高了學生分析和解決問題的能力。

總之，數(shù)的運算是小學數(shù)學教學的核心內(nèi)容，教學中教師要重視引導學生深挖相關內(nèi)容的幾何內(nèi)涵，借助圖形讓學生加深對相關知識的理解，充分感知數(shù)形結(jié)合的獨特魅力，提高學習數(shù)學的主動性和積極性，培養(yǎng)幾何直觀、符號意識、推理意識等素養(yǎng)。