三角恒等變換是高中數(shù)學的核心內(nèi)容，也是連接幾何與代數(shù)的橋梁。UbD理論（UnderstandbyDesign）是基于理解的教學設計，是以始為終的逆向教學設計，有利于學生理解知識，促進深度學習。三角恒等變換符號抽象、公式多、邏輯關(guān)聯(lián)性強、應用場景復雜，而UbD理論強調(diào)結(jié)合實際場景設計教學，讓學生明白知識的價值，提升解決實際問題的能力，克服應用難題。下面探索UbD理論在數(shù)學公式教學中的應用路徑，在實踐層面為破解“高分低能”現(xiàn)象提供教學設計范式。

一、UbD理論核心三階段解析

（一）階段1：明確預期結(jié)果

UbD理論核心三階段的第一階段是明確預期結(jié)果，即目標導向。此階段要求教育者依據(jù)課程標準，結(jié)合學生的認知水平和學習需求，精準界定學生在學習結(jié)束后應掌握的知識、技能以及達成的理解深度。教學不是簡單提出要掌握的函數(shù)知識，而是細化為能運用特定函數(shù)模型解決實際問題。這一階段可以為后續(xù)教學活動設定清晰方向，確保教學內(nèi)容緊密圍繞目標展開，有助于教師合理選擇教學方法和評估方式，保障教學的有效性。[3]

（二）階段2：設計評估證據(jù)

UbD理論核心三階段的第二階段為設計評估證據(jù)，即證據(jù)驅(qū)動。此過程起始于對第一階段明確的預期結(jié)果的深度理解。教師依據(jù)既定目標，構(gòu)思能有效檢驗學生是否達成自標的評估方式。采用表現(xiàn)性任務，讓學生在實際情境中運用知識與技能解決問題，以此觀察其理解與應用的能力；也可設計書面測試，考查學生對關(guān)鍵概念的掌握程度。同時，要確保評估標準具體、可操作，從多個維度量化學生的表現(xiàn)，使評估結(jié)果真實反映學生的學習成果，為后續(xù)教學調(diào)整提供有力依據(jù)。

（三）階段3：規(guī)劃學習體驗

UbD理論核心三階段的第三階段是規(guī)劃學習體驗，即活動適配。這一過程要緊密圍繞前兩階段明確的預期結(jié)果和設計的評估證據(jù)展開。教師依據(jù)教學目標，選擇多樣且契合的教學方法，如用講授法傳遞關(guān)鍵知識，用探究法培養(yǎng)學生的自主思考能力。隨后，安排豐富的學習活動，如小組討論、項目實踐等，讓學生在實踐中深化理解、鍛煉技能。同時，充分考量學生的個體差異，確保活動難度適中、參與度高，促進每個學生在學習中都能有所收獲，最終達成預期的學習成果。

二、基于UbD理論的三角恒等變換教學設計

（一）階段1：確定預期結(jié)果—以終為始的目標統(tǒng)整

1.課程標準與大概念提取

根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》的要求，人教版必修一“三角恒等

變換\"章節(jié)的核心內(nèi)容為：

和（差）角公式：以余弦差角公式為基礎，推導正弦、正切公式；

倍角與半角公式：由和角公式變形得到，強調(diào)公式之間的內(nèi)在聯(lián)系；

簡單三角式化簡：利用公式進行求值、證明及簡單實際應用。

結(jié)合UbD理論，提煉出的本單元的大概念為：推導三角恒等變換相關(guān)公式并進行實際應用”。

2.核心問題設計

（1）如何從已有公式推導新公式？（如用差角公式推導正弦和角公式）（2）面對復雜三角式時，如何選擇最簡的變形路徑？（3）公式中的角度變量替換對變形結(jié)果有何影響？（如用代替生成倍角公式）

3.三層級教學目標的設定（見表1）

（二）階段2：設計評估證據(jù)一 —聚焦公式運用

1.表現(xiàn)性任務

音頻合成器的波形化簡：某電子音樂合成器同時生成兩種基礎波形：波形 A ：y₁=4cosθ 和波形 B：y₁=3cos（60^°-θ）， 。工程師需要將合成后的信號 y=y₁+y₂ 轉(zhuǎn)換為單一余弦函數(shù)的形式： y= Kcos（θ+φ） ，以便進行濾波處理。

2.表現(xiàn)性任務評估依據(jù)（1）公式應用準確性。

核心標準：正確展開余弦差角公式 cos（θ-β） 避免出現(xiàn)符號錯誤或角度拆分不當?shù)腻e誤。

典型證據(jù)：是否準確保留 與 sin60^° 的系數(shù)，在展開過程中是否會出現(xiàn)如 cos（60^°-θ）= cos60^°-cosθ 的機械拆分錯誤。

（2）代數(shù)變形邏輯性。

核心標準：合理合并同類項，保證變形過程的連貫性。

典型證據(jù)：合并含有 cosθ 的項時是否會遺漏系數(shù)，能否解釋從 acosθ+bsinθ 到 Kcos（θ+φ） 轉(zhuǎn)化的必要性。

（3）三角恒等式遷移能力。

核心標準：利用三角恒等式（如 cos²φ+sin²φ=1 ））構(gòu)造振幅與相位角關(guān)系。

典型證據(jù)：是否能通過平方相加消元法求振幅，能否從 cosφ 與 sinφ的比值推導相位角 φ 。

（三）階段3：規(guī)劃學習活動—分層遞進訓練

1.基礎訓練（公式推導與簡單應用）

活動1：公式生成及推導。

引導學生在平面直角坐標系中完成差角余弦公式 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ 的推導，之后完成以下推導：

令 β=-β ，導出余弦和角公式。

利用誘導公式 sinθ=cos（90^°-θ） 推導正弦和角公式。

利用聯(lián)立消元法推導正切和角公式。

典型成果：學生發(fā)現(xiàn)，將步驟2中的關(guān)鍵代換 展開，即可成功導出 sin（α+β）=sinαsinβ+cosαcosβ_c

活動2：速算競技場。

（1）計算： sin15^° （精確值）。（2）化簡： cos（α+45^°）+cos（α-45^°）+sin²α₀ （204號（3）證明：

策略分析：

第（1）題可以運用 sin15^°=sin（45^°-30^°） 展開。第（2）題可以運用 cos（A-B） ]展開。第（3）題可以通過將分子因式分解加以解決： 1+sin2α=（sinα+cosα）²Φ

2.綜合應用

活動3：三角謎題破解賽。

已知 ， ，求cos（α-β） 的值，猜測 α 與 β 的具體角度并驗證。

策略分析：平方相加，得 （sinα+sinβ）²+（cosα+ 。展開，得 2+2cos（α-β）=1 ，即 。結(jié)合常見角的余弦值，可推測α-β=120^° 。嘗試令 α=60^°，β=-60^° 代人檢驗。

（四）階段四：差異化支持策略

在階段四的差異化支持策略中，帶領學生總結(jié)本節(jié)課三角恒等變換的知識點，提出三角恒等變換流程表（見表2）和典型策略糾正卡（見表3）。

三角恒等變換流程表以直觀的圖表形式，梳理出從基礎公式運用到復雜變換的詳細步驟，涵蓋了三角函數(shù)的化簡、求值、證明等關(guān)鍵環(huán)節(jié)。它不僅可以幫助學生清晰把握解題思路，建立系統(tǒng)的知識框架，而且可以讓教師在教學中更加有條理地引導學生逐步攻克難題。

典型策略糾正卡，是針對學生在三角恒等變換學習中常見的錯誤，如公式混淆、符號錯誤等，給出了具體的錯誤分析與糾正策略。列舉典型錯題，配以詳細的解答過程和易錯點提示，可以幫助學生加深對知識點的理解，避免重復犯錯。這兩項成果相輔相成，為高中三角恒等變換教學提供了切實可行的操作指南，有效地提升了課堂教學的效果與學生學習的效率。對學生的典型錯誤進行糾正，之后再進行概括總結(jié)，形成典型錯誤糾正卡。

三、教學反思與建議

（一）教學反思

實踐發(fā)現(xiàn)，將UbD理論應用于高中三角恒等變換教學，能有效地指導教學設計，提高教學的針對性和有效性?；赨bD理論的教學設計在一定程度上可以激發(fā)學生學習的積極性，提高學生對三角恒等變換知識的掌握程度。通過真實情境創(chuàng)設和小組合作探究，學生的學習興趣明顯增強，課堂參與度明顯提高。

然而，教學過程中也暴露出一些問題。學生在公式的記憶、理解和應用方面還存在不足，尤其是在面對復雜問題時，知識遷移能力和綜合運用能力有待提高。這說明在基于UbD理論的教學實施過程中，雖然明確了教學目標和設計了相應的教學活動，但是在教學方法的選擇和教學細節(jié)的處理上，還需要進一步優(yōu)化和改進。

此外，在教學進度的安排上，可能過于注重知識的傳授速度而忽視了學生對知識的消化吸收過程。在練習環(huán)節(jié)，沒有給予學生足夠的時間去思考和討論，導致部分學生對一些解題方法和技巧沒有完全掌握。

（二）教學建議

在教學設計方面，要進一步強化UbD理論的“逆向設計\"理念。在確定教學目標時，要更加細化和具體，明確學生在公式理解和應用方面應達到的具體水平。例如，明確學生能夠準確區(qū)分不同公式的適用條件，能夠在給定的復雜情境中正確選擇并運用至少三種三角恒等變換公式解決問題等。

在教學方法上，要加強對公式的對比分析和總結(jié)歸納。在課堂教學中，可專門安排時間對相似的公式進行對比講解，如對比講解兩角和與差的正弦、余弦公式，讓學生清晰地理解它們之間的異同點。同時，引導學生對所學的三角恒等變換公式進行系統(tǒng)總結(jié)和歸納，幫助他們構(gòu)建完整的知識體系，如制作思維導圖，將各個公式之間的聯(lián)系清晰地呈現(xiàn)出來。

在練習環(huán)節(jié)，要注重知識的鞏固和拓展，增加一些具有挑戰(zhàn)性和開放性的題目，讓學生在解決問題的過程中，進一步深化對公式的理解和應用。同時，鼓勵學生自主探索，總結(jié)解題方法和技巧，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維能力和自主學習能力。

在評價和反饋環(huán)節(jié)，根據(jù)UbD理論中的“持續(xù)性評價”原則，不僅要關(guān)注學生的學習結(jié)果，更要注重學生在學習過程中的表現(xiàn)。通過課堂提問、小組討論、作業(yè)批改等方式，及時了解學生在公式學習中存在的問題，并給予針對性的反饋和指導。例如，對于公式記憶錯誤的學生，幫助他們找到有效的記憶方法；對于在解決綜合應用題時存在困難的學生，引導他們認真分析問題，逐步理清解題思路。

此外，教師自身也要不斷學習和提升，深入理解UbD理論的內(nèi)涵和應用方法，進一步探討UbD理論在高中數(shù)學其他章節(jié)教學中的應用以及如何更好地將該理論與現(xiàn)代教育技術(shù)相結(jié)合，結(jié)合實際教學情況靈活運用各種教學策略和方法，提高教學質(zhì)量，提升學生的數(shù)學學習效果，進而促進學生的全面發(fā)展。

參考文獻：

[1]楊旻旻.UbD理論下教育碩士教育理論課程群案例教學設計研究——基于教育碩士培養(yǎng)方案及學生需求的多維分析[J].集美大學學報（教育科學版），2024，25（01）：12-21.

[2]伍春蘭，許文軍.論學生思維參與的數(shù)學公式教學——以“三角恒等變換\"起始課為例[J].數(shù)學通報，2020，59（09）：38-42.

[3]王爽，于瑤.基于UbD理論的高中數(shù)學大單元教學設計探索［J]．大連教育學院學報，2023，39（04）：40-42.

[4]任漢飛，周學勇.基于UbD理論的《分式方程》教學設計探析[J].牡丹江教育學院學報，2021，（12）：65-67+122.