為進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的科學(xué)探索精神，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，推動(dòng)初中數(shù)學(xué)深度教學(xué)課堂的構(gòu)建，促進(jìn)課堂教學(xué)模式的創(chuàng)新與變革，并輻射帶動(dòng)周邊學(xué)校的發(fā)展，作者與6位教師共同組建了“名師課題研究團(tuán)隊(duì)”，在4所學(xué)校開(kāi)展了系統(tǒng)的課例教學(xué)實(shí)踐研究，取得了顯著的教學(xué)成效與學(xué)習(xí)成果.現(xiàn)將其中關(guān)于米勒張角的探究案例整理成文，與廣大數(shù)學(xué)教師及數(shù)學(xué)愛(ài)好者分享，以期為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的深化與創(chuàng)新提供參考.

1背景問(wèn)題

在一場(chǎng)足球比賽中，甲乙兩隊(duì)始終處于焦灼狀態(tài)，比賽進(jìn)入最后十分鐘，雙方依舊無(wú)法打破對(duì)方的球門(mén).在需要球星挺身而出時(shí)，甲隊(duì)一名具有遠(yuǎn)射能力的邊鋒球星，帶球沿邊路前進(jìn)，在邊線某處完成突破后突然起腳爆射，一記驚天遠(yuǎn)射進(jìn)球打破了場(chǎng)上僵局，幫助球隊(duì)取得了領(lǐng)先優(yōu)勢(shì)，請(qǐng)你用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一下他選擇起腳射門(mén)位置的科學(xué)性，

為了從數(shù)學(xué)的角度搞清楚這個(gè)問(wèn)題，探究小組設(shè)計(jì)了如下探究過(guò)程：第一步搜集有關(guān)球場(chǎng)的相關(guān)數(shù)據(jù)，第二步從這個(gè)具體問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，第三步提出假設(shè)并驗(yàn)證，第四步邏輯推理，第五步從數(shù)學(xué)的角度找到依據(jù)，闡釋球星的作用，第六步研究一般情況并總結(jié)相關(guān)結(jié)論，第七步應(yīng)用探究成果解決問(wèn)題，第八步查閱資料了解相關(guān)數(shù)學(xué)文化知識(shí)

2 探究過(guò)程

2.1 搜集數(shù)據(jù)

經(jīng)過(guò)調(diào)查，本場(chǎng)比賽足球場(chǎng)地尺寸是世界杯決賽階段足球場(chǎng)尺寸.如圖1，球場(chǎng)長(zhǎng)105米、寬68米，球門(mén)長(zhǎng)7.32米、高2.44米，該球星打進(jìn)這粒進(jìn)球時(shí)的起腳位置是位于左邊線距離對(duì)方球門(mén)底線34米處

2.2 抽象問(wèn)題

如圖2，已知矩形 ABCD，AB=105 米， BC=68 米，邊 AD 正中間有定長(zhǎng)線段 EF=7.32 米，邊 AB 上有一動(dòng)點(diǎn) P ，請(qǐng)問(wèn)動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 移動(dòng)到點(diǎn) A 的過(guò)程中， ∠FPE 是否存在最大值，如果存在請(qǐng)確定此時(shí)點(diǎn)P 的位置.

2.3 驗(yàn)證假設(shè)

根據(jù)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探究小組認(rèn)為動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 移動(dòng)到點(diǎn) A 的過(guò)程中， ∠FPE 是存在最大值的.為了驗(yàn)證假設(shè)，如圖3，探究小組利用幾何畫(huà)板進(jìn)行了驗(yàn)證，并應(yīng)用“制表”功能記錄了動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 移動(dòng)到點(diǎn)A的過(guò)程中 ∠FPE 部分過(guò)程性數(shù)據(jù)，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 移動(dòng)到點(diǎn) A 的過(guò)程中 ∠FPE 先變大后變小，所以可以確認(rèn)假設(shè)是正確的.

2.4 邏輯推理

如圖4（魯教版五四制九年級(jí)下冊(cè)第五章第 4節(jié)），根據(jù)學(xué)習(xí)圓周角積累的經(jīng)驗(yàn).如圖5，探究小組作出過(guò)點(diǎn) P，E，F(xiàn) 的"?o"，根據(jù)垂徑定理可知圓心 o 始終在線段 EF 的垂直平分線上.當(dāng) OP⊥AB 時(shí)半徑OP 最小，此時(shí) ∠FPE 最大.作直徑 PM ，連接 EM ，所以 ∠MEP=∠APM=90°"，所以 ∠EMP=∠APE ，因?yàn)?∠EMP=∠AFP ，所以 ∠APE=∠AFP ，又因?yàn)椤螦=∠A ，所以 ΔPAE～ΔFAP ，所以有nbsp;"即AP2=AE?AF. 根據(jù)球場(chǎng)相關(guān)數(shù)據(jù)可以求出 AE =48.84 米 ∠AF=56.16 米，所以易求 AP≈33.8 米.

圓周角和圓心角的關(guān)系

在射門(mén)游戲中，球員射中球門(mén)的難易與他所處的位置對(duì)球門(mén)的張角（如圖5-21中的∠ABC）有關(guān)。就角度大小而言，球員在B，D，E中的哪一個(gè)點(diǎn)處射門(mén)更容易些？還是都一樣？

在圖5-22中，點(diǎn)A，B，D，E， c 在同一個(gè)圓上。當(dāng)球員分別在B，D，E 處射門(mén)時(shí)，他所處的位置對(duì)球門(mén)"AC"分別形成三個(gè)張角∠ABC，∠ADC，ZAEC。觀察可以發(fā)現(xiàn)，這三個(gè)角的頂點(diǎn)在圓上，它們的兩邊在圓內(nèi)的部分分別是圓的弦。像這樣的角，叫做圓周角（angleinacircularsegment）。

2.5 解釋問(wèn)題

拋開(kāi)防守球員位置、對(duì)方門(mén)將位置、本方進(jìn)攻球員位置等其他因素，單純從數(shù)學(xué)角度來(lái)看該球星在邊線處的起腳射門(mén)的位置非常接近理論最佳位置

根據(jù)上述的探究過(guò)程，探究小組得到了初步結(jié)論.

初步結(jié)論：如圖6，線段AB是直角 ∠MON 一邊OM上一定長(zhǎng)線段， P 為另一邊 ON 上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)""時(shí)∠APB 最大（或當(dāng) ΔABP 的外接圓與邊ON相切于點(diǎn) P 時(shí)，∠APB 最大）.

2. 6 拓展探究

探究小組根據(jù)上面的探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，猜測(cè)當(dāng)∠MON 為任意角度時(shí)， ∠APB 仍然存在最大值.

，幾何畫(huà)板-[未命名1]

（1）驗(yàn)證猜測(cè)

如圖7，探究小組采取了相同的探究過(guò)程，繼續(xù)對(duì)銳角、鈍角兩種情況進(jìn)行了分類驗(yàn)證，并應(yīng)用“制表”功能記錄了動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中角度的變化情況，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn) P 移動(dòng)過(guò)程中 ∠APB 先變大后變小，所以可以確認(rèn)假設(shè)是正確的.

（2）歸納結(jié)論

一般性結(jié)論：如圖8，線段 AB 是任意角 ∠MON 一邊OM上一定長(zhǎng)線段， P 為另一邊ON上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ΔABP 的外接圓與邊ON相切于點(diǎn) P 時(shí)， ∠APB 最大（或當(dāng) OP2=OA?OB 時(shí) ∠APB 最大）.

（3）邏輯證明① 證明存在性

證明：如圖9，設(shè) P′"是邊""上不同于點(diǎn) P 的任意一點(diǎn)，連結(jié) AP′，BP′，AP′"與圓交于點(diǎn) c ，連接 CB 根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可知""，根據(jù)圓周角定理可知， ∠APB=∠ACB ，因此 ∠APBgt; ∠AP′B ，也就是當(dāng)且僅當(dāng) ΔABP 的外接圓與邊 ON 相切于點(diǎn) P 時(shí)， ∠APB 最大.

② 等價(jià)條件證明證明：如圖9，作直徑 PD ，連接 AD 因?yàn)?OP2=OA?OB ，所以有""又因?yàn)?∠O=∠O ，所以 ΔOPA～ΔOBP 所以 ∠OPA=∠ABP. 因?yàn)?∠ADP=∠ABP

所以 ∠OPA=∠ADP ，所以 ∠OPA+∠APD= ∠ADP+∠APD=90°"，即 ∠OPD=90°

所以 ΔABP 的外接圓與邊""相切于點(diǎn) P ，即OP2=OA?OB 與 ΔABP 的外接圓與邊""相切于點(diǎn)P 是等價(jià)條件.

3 結(jié)論應(yīng)用

例（2023年宜賓）如圖10，拋物線 y=ax2+bx+ c 與 x 軸交于點(diǎn) A（-4，0） ，B（2，0） ，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) C（-2，6）

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在 x 軸上方的拋物 線上任取一點(diǎn) N ，射線 AN BN 分別與拋物線的對(duì)稱軸 交于點(diǎn) P，Q ，點(diǎn) Q 關(guān)于 x 軸 的對(duì)稱點(diǎn)為 Q′"，求 ΔAPQ′"的面積;

（3）點(diǎn) M 是 y 軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠AMC最大時(shí)，求M 的坐標(biāo).

本文關(guān)注的是彌勒張角的問(wèn)題，所以本題中的第（1）（2）兩問(wèn)的答案直接給出，此處就不呈現(xiàn)（1）（2）兩問(wèn)具體的求解過(guò)程了.

解析 （1）拋物線的表達(dá)式為""（2） ΔAPQ′"的面積為"

（3）如圖10，作射線 AC 交 y 軸于點(diǎn) N. 因?yàn)?A（-4 0）， C（-2，6） ，所以易求直線 AC 的解析式及點(diǎn) D 的坐標(biāo)分別為： y=3x+12，D（0，12） ，進(jìn)而可求得 DC=""經(jīng)分析可知，線段 AC 為 ∠ADO 一邊 CN 上一定長(zhǎng)線段，點(diǎn) M 為 ∠ADO 另一邊 CN 上一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)探究結(jié)論可知，當(dāng) DM2=DC?DA 時(shí)∠AMC 最大，所以易求""，所以 M 的坐標(biāo)（0，"》

4文化浸潤(rùn)

教師帶領(lǐng)探究小組共同查閱米勒問(wèn)題的相關(guān)歷史故事（1471年，德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德?tīng)柦淌谔岢鲆粋€(gè)問(wèn)題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)，即視角最大，視角是指由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角.最大視角問(wèn)題是數(shù)學(xué)史上100個(gè)著名極值問(wèn)題中的第一個(gè)極值問(wèn)題而引人注目，因數(shù)學(xué)家米勒提出該問(wèn)題，所以該問(wèn)題又稱米勒問(wèn)題1），并了解米勒問(wèn)題在其他方面和領(lǐng)域的應(yīng)用.

本案例的實(shí)踐不僅是一次教學(xué)模式的創(chuàng)新嘗試，更是對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的深刻反思與變革.它強(qiáng)調(diào)教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，注重知識(shí)生成的過(guò)程性，讓學(xué)生在探究中建構(gòu)知識(shí)、積累經(jīng)驗(yàn)、體驗(yàn)成功.這種以學(xué)生為中心的教學(xué)理念，不僅回歸了學(xué)習(xí)的本質(zhì)，也真正實(shí)現(xiàn)了“以學(xué)育人”的教育目標(biāo)，為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革提供了有益的借鑒與啟示.

參考文獻(xiàn)

[1]崔濤.波利亞解題理論解決中考米勒問(wèn)題的探究及反思：以2019年煙臺(tái)中考25題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2020（6） ：58-60.

作者簡(jiǎn)介李強(qiáng)（1981—），男，山東淄博人；中學(xué)一級(jí)教師，淄博市教學(xué)能手，淄博市名師，淄博市初中數(shù)學(xué)學(xué)科建設(shè)基地主持人，淄博市教育科學(xué)規(guī)劃課題“教育數(shù)字化背景下的初中數(shù)學(xué)深度教學(xué)實(shí)踐研究\"（2024ZJY064）主持人.

肖暉（1980一），女，山東淄博人；中學(xué)一級(jí)教師.