《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）指出，數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用.數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)當(dāng)具備的基本素養(yǎng).模型觀念主要是指對運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題有清晰的認(rèn)識.能用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.模型觀念有助于開展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的普遍性.

應(yīng)用意識主要是指有意識地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實世界中的問題.能夠感悟現(xiàn)實生活中蘊含著大量的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，可以用數(shù)學(xué)的方法予以解決；初步了解數(shù)學(xué)作為一種通用的科學(xué)語言在其他學(xué)科中的應(yīng)用，通過跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)建立不同學(xué)科之間的聯(lián)系.

1學(xué)考一致背景下命題者與教學(xué)者的雙向轉(zhuǎn)化

當(dāng)前，對素養(yǎng)導(dǎo)向的考試評價改革備受關(guān)注.一套試題或者一道題目的命制會遵循如下的考查準(zhǔn)則：一是題目的考查內(nèi)容是關(guān)鍵能力 + 學(xué)科素養(yǎng)，從關(guān)鍵能力角度來說，包含邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力等.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)包含理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化等；二是考查要求著重于基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性；三是試題情景傾向于課程學(xué)習(xí)情景、探索創(chuàng)新情景等[2].而對試題研究包含以下三個維度：一是命題者的視角.考查了什么（知識、技能、方法、思想、素養(yǎng)），問題情景的設(shè)置與選擇，解題路徑的啟發(fā)與創(chuàng)設(shè)，思維表達(dá)的準(zhǔn)確性、完整度與合理性；二是教學(xué)者的視角.順利解題所需各要素的培養(yǎng)形成應(yīng)在哪個階段，哪個知識點，怎樣的教與學(xué)中用什么方式完成[3]；三是應(yīng)考者的視角.閱讀理解、分析聯(lián)系、關(guān)聯(lián)綜合、預(yù)設(shè)路徑、判斷選擇、反思調(diào)整、檢驗評價等.

命題者、教學(xué)者、應(yīng)考者三者之間的橋梁與紐帶就是教學(xué)者，教學(xué)者與應(yīng)考者關(guān)系緊密，是一個完整的教學(xué)體系的構(gòu)成者，但教學(xué)者與命題者之間有一定的脫節(jié)，這就無形中要求我們廣大的一線教學(xué)者要深度研究教材，研究試題的解法與構(gòu)造，從設(shè)計意圖、考查的知識點和能力等方面學(xué)習(xí)研究.

2 重溫經(jīng)典題型，明確解題思路

借助畫板的幾何直觀性，從構(gòu)圖的角度重新審視數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)新的探究.阿氏圓定理（全稱：阿波羅尼斯圓定理）可具體描述為一動點 P 到兩定點 ^A，B 的距離之比等于定比 m：n ，則 P 點的軌跡是以定比 m：n 內(nèi)分和外分定線段 AB 的兩個分點的連線為直徑的圓.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，阿氏圓定理會被用來解決一些幾何問題.比如找到滿足某種比例條件的點的位置，或者在幾何作圖中構(gòu)造類似圓；或題目可能給出兩個點，讓學(xué)生畫出所有到這兩個點距離比是2：1 的點，然后這個軌跡就是一個阿氏圓.這時，學(xué)生需要知道如何用圓規(guī)直尺來畫出此圓，或者根據(jù)給定的比例確定圓心和半徑.不過，初中階段可能更側(cè)重于基礎(chǔ)的幾何知識，比如圓的基本性質(zhì)、相似三角形、勾股定理等等，而阿氏圓可能會作為拓展內(nèi)容出現(xiàn)，或者作為競賽題的一部分.例如，可能有一些幾何題目需要利用阿氏圓來找到關(guān)鍵點的位置，進(jìn)

而解決面積、長度等問題

題目 如圖1，正方形ABCD的邊長為 4，?B 的半徑為 ^2，P 是 ?B 上的動點，連接 PD，PC ，則 的最小值是（ ）.

A.6 B.5

解析 解決此類問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化 ，變?yōu)檎劬€段之和的形式，也就是想辦法借助相似消系數(shù)，找到等于 的線段，同時要注意點 P 為動點，所以要構(gòu)造兩定點一動點的“折線段和”模型，由動點P 所在圓的圓心 B 相關(guān)的兩條已知線段 BP=2，BC= 4，正好滿足 關(guān)系 ，嘗試在 BC 上截取 BE ，連接 EP （圖2），因為 ∠PBC= A∠EBP ，證得 ΔPBC～ΔEBP ，從而得出 PE= 點 E 在射線 BC 上，且 BE?BR=r² .像這樣的兩個點，被稱為 ?B 的一對“反演點”.

這樣把 轉(zhuǎn)化為 PD+PE （圖3），轉(zhuǎn)化為“折線段和最小”問題，當(dāng) _{D，P，E} 三點共線時（圖4）， PD+PE =DE ，此時最小值為5.

此題是典型的阿氏圓問題，解題的關(guān)鍵是正確地把握此類題目的基本特征和解題策略，基本特征是兩定點一動點的旋轉(zhuǎn)運動，含有不是1的系數(shù)的折線段和的最值計算，解題的關(guān)鍵是將系數(shù)不是1的線段等值轉(zhuǎn)化為系數(shù)為1的線段，變成兩定點一動點的折線段和最小的模型，轉(zhuǎn)化的基本策略是先找到一個定點關(guān)于圓的反演點，進(jìn)而構(gòu)造共角型相似來解決問題.

在明確上面題目的解題思路和過程后，教師在日常教學(xué)中用幾何畫板構(gòu)造圖形時，常常會進(jìn)行質(zhì)疑式深度思考：

（1）題目是阿氏圓的典型問題，題目的條件雖然有一個 ?B ，但它就是阿氏圓嗎？（2）如果它就是阿氏圓，依據(jù)是什么？為什么沒有明確的兩個定點，確定的比值又對應(yīng)題目中哪一個條件？帶著這些疑問，可引導(dǎo)學(xué)生利用尺規(guī)作圖法進(jìn)一步自主探究，通過設(shè)置問題鏈讓學(xué)生進(jìn)行脈絡(luò)化的思考.阿氏圓的構(gòu)造方法有以下5個步驟：（1）確定定點和比例.給定兩定點 A 和 B ，以及比例常數(shù) k≠1 ，如圖5.

·A k=② B（2）作線段 AB （3）找內(nèi)分點 C

如圖6，在 AB 上找到點 c ，使得 尺規(guī)作圖法：從點 A 作射線，截取 k 個單位長度到點 E ，再延長1個單位到點 F. 連接 F 和 B ，過 E 作 FB 的平行線，交AB 于 c

（4）找外分點 D

如圖7，在 AB 的延長線上找到點 D ，使得 尺規(guī)作圖法：從點 A 作射線，截取 k 個單位長度到點 ，反向延長1個單位到點 H. 連接 H 和 B ，過 作 HB 的平行線，交 AB 的延長線于 D

（5）構(gòu)造阿氏圓.如圖8，以CD為直徑作圓，此圓即為阿氏圓，構(gòu)造圓上任一點 P ，連接 PA，PB ，度量比值恒等于 k

在幾何畫板進(jìn)行如下操作：新建參數(shù) t₁=2，t₂= ^3，A，B 兩個自由點，也就是要制作一動點 P 到兩定點 ^A，B 的距離之比等于定比 2：3. 先制作線段 _AB 之間的定比分點，以點 A 為縮放中心，計算 為縮放（204號比，將點 B 縮放得到點 c ;再以點 A 為縮放中心，計算 為縮放比，將點 B 縮放得到點 D ;連接線段 CD 并構(gòu)造中點 E ，點 E 即為阿氏圓圓心，構(gòu)造 ?E ，以及圓上任意點 F （圖9）.隱藏多余元素，只保留點 ^A，B 圓、兩參數(shù)（圖10），全選創(chuàng)建新工具“定比阿氏圓”，注意工具使用的前提條件是兩參數(shù)值和兩定點.

阿氏圓不僅僅是作為解題的依據(jù)和思路，更多的時候可以把阿氏圓作為工具，能夠快速精準(zhǔn)作圖，以下面兩個三角形中定比點為例.

在等腰直角三角形和等邊三角形中有兩個經(jīng)典的構(gòu)圖，一個是在等腰直角三角形內(nèi)部構(gòu)造一點，使其到三個頂點的距離之比為 1：2：3 元

如圖11，構(gòu)造基本圖形，新建三個參數(shù)t，t2，3，值分別為1，2，3.利用阿氏圓工具，依次選中參數(shù) t₁ t₂ ，點 c ，點 A ，生成阿氏圓，再依次選中參數(shù) t₂，t₃ ，點A ，點 B ，生成阿氏圓.選中兩個圓構(gòu)造交點 F，F(xiàn) 即為所求點，隱藏其余元素，只保留三角形和點 F ，連接AF，BF，CF ，度量比值，驗證作圖正確

利用阿氏圓精準(zhǔn)繪制圖形之后，很多隱含的定量關(guān)系與題目構(gòu)思也就明晰起來，可以較為輕松地進(jìn)行題目的命制與解析制作.比如在第一個等腰直角三角形中，猜想 ∠CFA 的度數(shù)，并加以證明;通過逆時針旋轉(zhuǎn) ΔACF90^° 后，如圖12，借助內(nèi)部線段比例關(guān)系就會證得 ΔBFF^′ 為直角三角形，從而證得結(jié)論，還可以進(jìn)一步探究與挖掘其它結(jié)論與命題.

同樣在第二個等邊三角形的作圖基礎(chǔ)上可以進(jìn)行問題的創(chuàng)作與解析：

（1）∠AFB的度數(shù)是多少？并加以證明.（2）求ΔABC 的面積.

解題思路還是借助旋轉(zhuǎn)，利用內(nèi)部三條線段的特殊比例關(guān)系，推導(dǎo)出特殊角來證明結(jié)論，求解答案.在借助畫板作圖（圖13）后，很容易對題目進(jìn)行深加工和延展

3注重應(yīng)用，深度解決問題

在幾何題中，可利用阿氏圓分析特定點的位置關(guān)系.例如，已知某點滿足到兩定點的距離比為

2：1 ，結(jié)合阿氏圓求解線段長度或角度

以三角形問題應(yīng)用為例，如圖14，直線 _AB 與 x 軸交于點 ^{A（4，0）} ，與 y 軸交于點 B（0，3） ，在 x 軸上有一點 E（2，0） ，將線段 OE 繞點 o 逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE^′ ，旋轉(zhuǎn)角為 α（0^°lt;αlt;90^°） ，連接 E^′A，E^′B ，求 的最小值.

思考通過前面的解析，我們雖然知道點A（4，0），點 B（0，3），OA=4，OB=3 ，這兩條線段的比值不等于問題中的非1系數(shù)，因為在 x 軸上有一點 E（2 0）， OE=2 ，所以 恰好等于問題中的 E^′B 的系數(shù).這是阿氏圓問題，因為點 E^′ 繞點 o 旋轉(zhuǎn)，點 E^′ 的軌跡為圓，即為阿氏圓.但現(xiàn)在缺少的是第一個定點，也就是需要輔助添加的點.如圖15，在長線段 OB 上截取 ，使得 為后續(xù)構(gòu)造相似做好鋪墊.在圓上構(gòu)造任意一點 P ，點 P 到 ^{B，F(xiàn)} 的距離之比始終等于 2：3. 根據(jù)條件證得 ΔBOE^′ 相似于 ΔE^′OF ，這樣就將 轉(zhuǎn)化成 FE^′ ，當(dāng) F，E^′ A 三點共線時出現(xiàn)最小值 AF

4命題分析策略

對于具體題目的解析需要從多方面來進(jìn)行，比如分題型講解，每種題型的命題特點、解題思路和例題.同時，需要注重學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，比如邏輯推理、幾何直觀、運算能力等，命題可能會圍繞這些方面展開.還要考慮深層需求，比如如何應(yīng)對考試中的重難點題，幫助學(xué)生系統(tǒng)梳理數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系.

因此，在分析命題時，除了相關(guān)知識要點，還要重點剖析解題策略，比如數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想等[4].另外，在幾何命題分析中借助幾何畫板等工具可以使分析更加直觀詳細(xì)，比如經(jīng)歷幾何命題發(fā)現(xiàn)和證明的過程，感悟歸納推理過程和演繹推理過程的傳遞性，增強(qiáng)推理能力；引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷針對圖形性質(zhì)、關(guān)系、變化確立幾何命題的過程，體會數(shù)學(xué)命題中條件和結(jié)論的表述，感悟數(shù)學(xué)表達(dá)的準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性，會借助圖形分析問題，形成解決問題的思路，發(fā)展模型觀念[5].初中數(shù)學(xué)解題命題分析主要圍繞知識點的綜合運用、思維能力的考查以及實際問題的數(shù)學(xué)化展開.因此，無論是教學(xué)研究人員還是一線教師，都要不遺余力深入研究，總結(jié)反思，提升解題、析題、作圖、命題能力[

參考文獻(xiàn)

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[2]張麗.數(shù)學(xué)教師關(guān)鍵能力評估與發(fā)展研究[M].北京：中國社會科學(xué)出版社，2023.

[3]張麗，楊鈺辰.突出素養(yǎng)培育，讓思維可視：2024年中考“統(tǒng)計與概率”專題命題分析[J].中國數(shù)學(xué)教育，2024（21） ：45-54.

[4]張麗，傅海倫.“雙減”背景下教師教育生態(tài)系統(tǒng)模型構(gòu)建[J].現(xiàn)代基礎(chǔ)教育研究，2022（3）：58-66.

[5]傅海倫，張麗.城鄉(xiāng)教師工作現(xiàn)狀差異分析及測評模型構(gòu)建：以山東省域數(shù)據(jù)調(diào)查為例[J].教育導(dǎo)刊，2021（10）：38-47.

[6]姜興國.初中數(shù)學(xué)模型求解策略指導(dǎo)[M].北京：現(xiàn)代教育出版社，2019.

作者簡介張麗（1986—），女，山東聊城人，博士，助理研究員，山東省中學(xué)數(shù)學(xué)教研員，中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會理事，大中小數(shù)學(xué)國家教材建設(shè)重點研究基地兼職研究員；主要從事數(shù)學(xué)課程教學(xué)論與中考命題研究；主持完成山東省科技廳軟科學(xué)、省教育廳高校人文社科項目、市級社科重點項目、省教育科學(xué)規(guī)劃重點，教育教學(xué)研究項目等8項、參與國家級課題多項；獲國家級獎勵2項、省級獎勵2項、市級社科優(yōu)秀成果獎4項；獲市社會科學(xué)“學(xué)科新秀”稱號；獲得全國執(zhí)教微課大賽二等獎；發(fā)表論文30余篇，多篇被人大復(fù)印資料全文轉(zhuǎn)載，獲年度自然科學(xué)“中國最具影響百篇國內(nèi)學(xué)術(shù)論文”.

李慶賓（1984—），男，山東聊城人，中學(xué)一級教師；主要從事教學(xué)與中考命題研究.