1 問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）明確提出：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化[1]2.但是，目前多數(shù)教師對數(shù)學(xué)文化的認識存在偏見，筆者對本市數(shù)學(xué)教師問卷調(diào)查顯示： 73% 的教師將數(shù)學(xué)文化等同于數(shù)學(xué)史，僅少數(shù)教師能準確列舉數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)美學(xué)價值等文化要素； 55% 的教師認為課堂融人數(shù)學(xué)文化會浪費教學(xué)時間.這些認知偏差導(dǎo)致數(shù)學(xué)文化教學(xué)停留于表面.現(xiàn)實教學(xué)中還普遍存在以下三種現(xiàn)象：重知識結(jié)論，輕思維過程；重解題訓(xùn)練，輕文化溯源；重應(yīng)試技巧，輕價值引領(lǐng).例如在無理數(shù)的教學(xué)中，多數(shù)教師只關(guān)注概念的機械記憶與運算訓(xùn)練，卻忽視第一次數(shù)學(xué)危機、數(shù)系的擴充等數(shù)學(xué)史的教學(xué)，尤其是漠視數(shù)學(xué)文化對學(xué)生情感熏陶、品德激勵等方面的作用.本文以“有理數(shù)到實數(shù)的擴充”（市級公開課）為例，通過重構(gòu)知識發(fā)生過程、創(chuàng)設(shè)跨學(xué)科問題情境、滲透數(shù)學(xué)家精神等策略，探討數(shù)學(xué)文化在初中課堂的浸潤路徑與實踐范式.

2 內(nèi)涵與價值

數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動.數(shù)學(xué)文化首先體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識的持續(xù)積累與代際傳承；其次，數(shù)學(xué)文化以公理化體系為根基，融合邏輯推理的嚴密性、抽象思維的穿透力與創(chuàng)新思維的突破性，在追求形式美的過程中形成獨特的數(shù)學(xué)美；再次，數(shù)學(xué)文化通過建模思想滲透于自然科學(xué)、社會科學(xué)乃至藝術(shù)領(lǐng)域，構(gòu)建起跨學(xué)科的認知橋梁.

數(shù)學(xué)文化的教育價值體現(xiàn)在：可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，形成積極的數(shù)學(xué)情感態(tài)度；可以加強愛國主義教育，增強民族自豪感，培養(yǎng)社會責(zé)任感；還可以讓學(xué)生汲取榜樣的力量，錘煉堅強的意志，養(yǎng)成良好的心理品質(zhì)；體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的普遍聯(lián)系，獲得良好的數(shù)學(xué)體驗，樹立正確的數(shù)學(xué)觀[3]24-25.因此，數(shù)學(xué)文化的教學(xué)不應(yīng)該局限于數(shù)學(xué)史料的補充，更應(yīng)該在知識建構(gòu)過程中揭示數(shù)學(xué)的人文性、思想性與發(fā)展性，使學(xué)生在掌握知識的同時，感悟數(shù)學(xué)理性精神對人類文明的塑造作用，理解數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.

3 內(nèi)容解讀和教學(xué)目標

3.1 內(nèi)容解讀

有理數(shù)到實數(shù)的擴充是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重要里程碑，也是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的關(guān)鍵內(nèi)容.本節(jié)課以《實數(shù)》一章為藍本，通過重構(gòu)數(shù)系擴充的認知過程，實現(xiàn)從知識傳授到文化浸潤的升華.其本質(zhì)源于第一次數(shù)學(xué)危機—古希臘學(xué)者因發(fā)現(xiàn)“√2”的“不可公度性”動搖了“萬物皆數(shù)（整數(shù)比）”的信仰，最終通過引入無理數(shù)而重構(gòu)數(shù)域體系，實現(xiàn)從離散的比值思維到連續(xù)的完備數(shù)系的跨越.教學(xué)中應(yīng)將數(shù)系擴充轉(zhuǎn)化為學(xué)生親歷的思維體驗，感悟有理數(shù)到實數(shù)的擴充過程及其必要性，從中對比東西方對數(shù)學(xué)真理探索的多元性；再引導(dǎo)學(xué)生深入探究“√2”的代數(shù)意義和幾何意義，進一步感悟數(shù)系擴充過程中的“變”與“不變”.

3.2 教學(xué)目標

通過對數(shù)系發(fā)展的探究，引導(dǎo)學(xué)生進一步認識有理數(shù)到實數(shù)擴充的必要性，明確有理數(shù)和無理數(shù)的意義，發(fā)展發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力；經(jīng)歷“√2”的再探究，深化對實數(shù)的意義、大?。ㄓ行蛐裕┑恼J識，進一步感悟?qū)崝?shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng)關(guān)系；體會有理數(shù)擴充到實數(shù)后運算法則和運算律的一致性，以及因擴充而引起的運算范圍和結(jié)果形式的變化，發(fā)展運算能力和推理能力.

4數(shù)學(xué)文化浸潤的路徑設(shè)計

本節(jié)課在“問題驅(qū)動—概念建構(gòu)一實踐探究—拓展延伸一課堂小結(jié)”五環(huán)節(jié)框架中，系統(tǒng)設(shè)計了數(shù)學(xué)文化浸潤路徑（圖1所示）：以方程的解在不同數(shù)系的演變?yōu)闅v史溯源，揭示數(shù)系發(fā)展的必然性；通過古希臘希帕索斯發(fā)現(xiàn)“""\"引發(fā)的第一次數(shù)學(xué)危機與中西方無理數(shù)命名的對比，解構(gòu)無理數(shù)的概念本質(zhì)與文化認知差異；進而借助折紙活動與跨學(xué)科融合，實現(xiàn)無理數(shù)概念的深度理解；在拓展延伸階段將數(shù)系擴充至復(fù)數(shù)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)新之美；最后總結(jié)數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折歷程，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家勇于探索和堅持不懈的精神，使數(shù)學(xué)文化浸潤貫穿概念生成、認知進階與精神傳承的全過程，

課堂教學(xué)環(huán)節(jié) 問題驅(qū)動 概念建構(gòu) 實踐探究 拓展延伸 課堂小結(jié)數(shù)學(xué)文化浸潤 不數(shù)系 動 從實數(shù)到復(fù) 數(shù)學(xué)發(fā)展程核心教育功能 激發(fā)興趣 助力認知 深度理解 拓展認知 精神升華

5 教學(xué)過程

5.1 問題驅(qū)動：數(shù)系擴充的必然性環(huán)節(jié)1 激趣質(zhì)疑.

教師：同學(xué)們，你能求出方程 x2+2=0 的解嗎？

學(xué)生：在自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)和實數(shù)范圍內(nèi)均無解.

教師：解下列方程，思考哪些方程在自然數(shù)范圍內(nèi)有解？哪些方程在整數(shù)范圍內(nèi)有解？哪些方程在有理數(shù)范圍內(nèi)有解？哪些方程在實數(shù)范圍內(nèi)有解？

①x+2=0 ； （2）3x+1=0 ； （3）x2-2=0

學(xué)生：上述方程在自然數(shù)范圍內(nèi)都無解，方程① 在整數(shù)范圍內(nèi)有解，方程 ①② 在有理數(shù)范圍內(nèi)有解，方程 ①②③ 在實數(shù)范圍內(nèi)有解.

由此，學(xué)生既可以深刻理解“方程有解無解與數(shù)系范圍的緊密關(guān)系”，也能具身體驗“問題解決是數(shù)系擴充的重要原因”.

教師追問：是否存在一種新數(shù)使方程 x2+2=0 有解呢？

學(xué)生猜想：可能需要引人平方為負數(shù)的數(shù)設(shè)計說明 通過不同數(shù)系內(nèi)求方程的解引發(fā)學(xué)生對數(shù)系局限性的思考，為后續(xù)復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)埋下伏筆，同時滲透數(shù)學(xué)史中“矛盾推動發(fā)展”的哲學(xué)之美.

5.2 概念建構(gòu)：中西數(shù)學(xué)史的雙重視角環(huán)節(jié)2 無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)

教師播放視頻，展示從西方第一次數(shù)學(xué)危機到中國古代劉徽算法的歷史脈絡(luò)，強調(diào)數(shù)系擴充的社會需求與數(shù)學(xué)應(yīng)然.

西方視角：畢達哥拉斯學(xué)派提出“萬物皆數(shù)”，認為一切數(shù)均可表示為整數(shù)比.發(fā)現(xiàn)\"√2”不可公度后，引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機，希帕索斯因堅持真理而被投人大海.

中國視角：劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“開方術(shù)”，指出“開之不盡”的數(shù)為“不可開”，以算法思想處理無理量，早于西方千年.

教師分析：劉徽的“開方術(shù)”與希臘幾何證明法的異同.

設(shè)計說明 數(shù)學(xué)史不僅是知識的歷史，更是人類智慧的編年史.以中西數(shù)學(xué)史的對比開拓學(xué)生國際視野，展現(xiàn)中國古代數(shù)學(xué)的實踐智慧，增強學(xué)生民族自信心.

環(huán)節(jié)3 無理數(shù)的命名

《幾何原本》傳人中國時，“可比數(shù)”（rationalnumber）被譯為“有理數(shù)”，其中“理”原指“比值”，因誤解“理”為“理性”，將“不可比數(shù)”（irrationalnumber）譯為“無理數(shù)”，導(dǎo)致概念名稱與本質(zhì)脫節(jié).

教師：為何“有理數(shù)”的名稱會引發(fā)誤解？若按原意翻譯為“可比數(shù)”和“不可比數(shù)”，是否更利于理解？

學(xué)生：翻譯成“可比數(shù)”和“不可比數(shù)”，名字和數(shù)學(xué)本質(zhì)能夠?qū)?yīng)，更利于理解；翻譯成“有理數(shù)”，雖然“有道理”不好理解，但能體現(xiàn)中國古人對“可比”概念的研究.

設(shè)計說明 通過詞源分析，糾正學(xué)生對“無理數(shù)”的刻板印象；通過中西對比，學(xué)生理解數(shù)學(xué)發(fā)展的普遍性與多樣性.體現(xiàn)了《標準》中“課程內(nèi)容需繼承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”[1]2.

5.3 實踐探究：從折紙活動到跨學(xué)科融合

環(huán)節(jié)4 折紙活動.

學(xué)生每人分發(fā)一張A4紙，教師引導(dǎo)學(xué)生通過折紙驗證A4紙中長與寬的比（圖2）.

步驟1：設(shè)A4紙寬為1，沿角平分線折疊，使寬與長重合，折痕長度為"

步驟2：再次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙的長完全重合，驗證長寬之比為"

環(huán)節(jié)5 跨學(xué)科融合.

教師視頻展示“白銀分割比”（""在現(xiàn)實中的應(yīng)用，并讓學(xué)生回答：“通過剛才的展示，你有什么感想？”

學(xué)生：中國古建筑的設(shè)計中多次用到了""，體現(xiàn)了“白銀分割比”在建筑學(xué)中的和諧美.

教師：所有A型紙的長寬之比均為""，這一比例也在生活中廣泛應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的普適性.

設(shè)計說明 折紙活動將抽象數(shù)學(xué)符號轉(zhuǎn)化為具身體驗，結(jié)合跨學(xué)科案例，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)不僅是解題工具，更是人類文明中追求和諧與美的通用語言，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化多元性.通過A4紙的長寬之比與建筑案例，使學(xué)生理解“√2”不僅是抽象符號，更是現(xiàn)實世界中普遍存在的設(shè)計法則，體現(xiàn)了《標準》中“體會數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系”目標要求[1]11.

5.4 深度理解：從數(shù)軸標繪到運算完備性

環(huán)節(jié)6 數(shù)軸標繪.

教師：請在數(shù)軸上標出表示""和""的點（圖3），它們在哪兩個整數(shù)之間？學(xué)生發(fā)現(xiàn)二者位于整數(shù)1和2之間，且"

教師依次追問： ① 數(shù)軸上表示1的點和表示2的點之間有多少個有理數(shù)？ ② 有理數(shù)能將數(shù)軸鋪滿嗎？ ③ 想鋪滿數(shù)軸還需要加上什么數(shù)？ ④ 化簡|""·

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：有理數(shù)具有稠密性，但無法鋪滿數(shù)軸，需要無理數(shù)填補空隙;通過化簡""，理解實數(shù)的有序性

設(shè)計說明 通過數(shù)軸標繪與邏輯追問，闡明實數(shù)與數(shù)軸的一一對應(yīng)性，揭示有理數(shù)與實數(shù)的有序性和稠密性，凸顯有理數(shù)與無理數(shù)的對立和統(tǒng)一，滲透“無限與連續(xù)”的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想，

環(huán)節(jié)7 感悟提煉.

師生共同完成以下問題并總結(jié)規(guī)律

1.計算：（1）"";

2.（1）在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解 a4- 4= ；（2）在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解 a4-4=

教師：數(shù)系從有理數(shù)擴充到實數(shù)后，從運算角度思考，哪些發(fā)生了變化？哪些未改變？

學(xué)生：不變的是運算律和運算順序；變化的是結(jié)果形式.

設(shè)計說明 運算任務(wù)的設(shè)置是為了體現(xiàn)有理數(shù)擴充到實數(shù)后，不變的是運算律和運算順序，變化的是結(jié)果形式.幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想的延續(xù)性，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的理性美

5.5 拓展延伸：實數(shù)到復(fù)數(shù)的擴充 環(huán)節(jié)8 虛數(shù)“以待”

教師：再次回顧方程 x2+2=0 解的問題，它在實數(shù)范圍內(nèi)無解，有可能是受限于我們的認知.請閱讀以下材料，嘗試解這個方程

在實數(shù)體系中，一個實數(shù)的平方不可能為負數(shù)，即 a2"?0 ，因此，數(shù)學(xué)家為了解決一元二次方程 x2=-1 在實數(shù)范圍內(nèi)無解的問題，引進虛數(shù)單位i.定義：如果一個數(shù)的平方等于-1，記為 i2=-?1 ，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位.虛數(shù)和實數(shù)統(tǒng)稱為復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的運算與整式的運算類似，任意兩個虛數(shù) a+bi，c+di （其中 ωa，b，c，d"為實數(shù)，且 b≠0，d≠ 0），有如下運算法則：

"（ （a+bi）?（c+di）=ac+adi+bci+bdi2=（ac-bd） （2號+κ（μadμ+bc）i. （204號

例如：

設(shè)計說明虛數(shù)材料的補充是為了讓學(xué)生進一步體驗“問題解決是數(shù)系擴充的重要原因”.此環(huán)節(jié)既鞏固了知識，又為高中復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)做了鋪墊，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的連貫性

5.6總結(jié)升華：數(shù)學(xué)家精神的時代傳承

環(huán)節(jié)9 精神升華.

教師：數(shù)系從自然數(shù)集到復(fù)數(shù)集的發(fā)展過程中，東西方數(shù)學(xué)家在不同歷史時期都做出了重要貢獻.請同學(xué)們結(jié)合數(shù)系擴充的數(shù)學(xué)本質(zhì)與文化脈絡(luò)，談?wù)勀銓?shù)學(xué)發(fā)展的理解.

學(xué)生分享：數(shù)系的擴充具有必然性，既有生活中的需求也有數(shù)學(xué)內(nèi)部自身的需求.數(shù)系擴充的過程是曲折艱辛的，是一部悲壯而又輝煌的史詩.我們除了認識數(shù)系擴充的過程和擴充前后的變與不變，更要學(xué)習(xí)的是數(shù)學(xué)家勇于探索且堅持不懈的精神.

6教學(xué)反思及教學(xué)建議

6.1數(shù)學(xué)文化的教育意義

本課例的實踐證明：數(shù)學(xué)文化的滲透能夠使數(shù)學(xué)教學(xué)突破知識傳授的局限，走向理性與人文的共融.數(shù)學(xué)文化可以很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生的學(xué)習(xí)從被動接受到主動探究.通過數(shù)學(xué)史敘事（如第一次數(shù)學(xué)危機）與實踐活動（如折紙活動），打破傳統(tǒng)課堂的抽象性，使數(shù)學(xué)概念具象化，符合《標準》中“提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心\"的理念[1].數(shù)學(xué)文化可以發(fā)展學(xué)生的理性思維，使學(xué)生的學(xué)習(xí)從知識記憶到思想領(lǐng)悟.通過數(shù)系擴充的邏輯鏈，學(xué)生理解數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在規(guī)律，掌握歸納、類比等思想方法.數(shù)學(xué)文化可以促進學(xué)生的文化認同，使學(xué)生從工具認識到價值共鳴.通過了解數(shù)學(xué)家探索的艱辛歷程與跨學(xué)科案例，學(xué)生感悟數(shù)學(xué)不僅是工具，更是人類文明的智慧結(jié)晶.實現(xiàn)從“數(shù)學(xué)教學(xué)”走向“數(shù)學(xué)教育”的躍遷

6.2 教學(xué)建議

6.2.1 以史為脈，重構(gòu)文化情境

數(shù)學(xué)史不應(yīng)正步于“附加式”故事講述，需與教學(xué)內(nèi)容深度融合；數(shù)學(xué)故事的功能不僅是激發(fā)興趣，更重要的是創(chuàng)造學(xué)生的學(xué)習(xí)動機、改善學(xué)生的數(shù)學(xué)觀[3]51.如在數(shù)系擴充的教學(xué)中，將數(shù)學(xué)史轉(zhuǎn)化為驅(qū)動認知發(fā)展的情境，融入第一次數(shù)學(xué)危機、虛數(shù)的命名等歷史事件，增強課堂的趣味性、邏輯性和敘事性

6.2.2 以用為橋，實現(xiàn)學(xué)科聯(lián)結(jié)

數(shù)學(xué)文化的生命力體現(xiàn)在學(xué)科滲透與問題解釋，教學(xué)中可以設(shè)計跨學(xué)科任務(wù)，加強數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、社會生活的聯(lián)系.如用平行線和對稱解釋物理學(xué)科中光的反射、折射等現(xiàn)象，用實數(shù)運算解析建筑中的白銀分割比，體會數(shù)學(xué)的普適價值.

6.2.3 以文為魂，傳承學(xué)科精神

數(shù)學(xué)文化的“靈魂”是數(shù)學(xué)學(xué)科精神的引領(lǐng)與傳承.教學(xué)中教師需深入挖掘數(shù)學(xué)文化中蘊含的理性思維、探索創(chuàng)新、求真務(wù)實等精神要素，通過歷史溯源、典型范例等教學(xué)策略，構(gòu)建知識傳授與精神傳承相融合的教學(xué)過程.使學(xué)生在掌握學(xué)科知識的同時，潛移默化地感悟數(shù)學(xué)學(xué)科特有的人文精神和價值追求.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準：2017年版[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]汪曉勤.HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M].北京：科學(xué)出版社，2017.

作者簡介張倩（1985—），女，山東濰坊人，高級教師；濰坊市初中數(shù)學(xué)教學(xué)能手、濰坊市青年教改先鋒、濰坊市第一屆學(xué)科領(lǐng)軍人才、濰坊市輕負優(yōu)質(zhì)教師;主持參與多項省、市級課題并結(jié)題.

梁全聲（1977—），男，山東濰坊人，正高級教師;全國義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材（青島版）核心作者，濰坊名師、山東省教學(xué)能手、齊魯名師，三次獲濰坊市教學(xué)成果獎.

張琪（1996—），女，江西南昌人，碩士，二級教師;高新區(qū)優(yōu)秀教師、高新區(qū)課改先進個人.