1 問題提出

傳統(tǒng)觀念中，“批判”往往意味著“否定、找碴”，這種誤解容易影響師生對待批判性思維的認(rèn)知，其實(shí)，“批判的”（critical）源于希臘文kriticos（辨明或判斷的能力）和kriterion（標(biāo)準(zhǔn)）.從語源上說，該詞意味著發(fā)展“基于標(biāo)準(zhǔn)的有辨識力的判斷”[].廣義上的批判性思維（criticalthinking）是指有效識別、分析和評估觀點(diǎn)和事實(shí)，認(rèn)識和克服偏見及錯(cuò)誤成見，形成和闡述可支撐結(jié)論、令人信服的推理，在信念和行動(dòng)方面作出合理明智的決策所必需的一系列認(rèn)知技能、態(tài)度和思維素質(zhì)的總稱[2]8.批判性思維對形成人的理性思維、科學(xué)精神至關(guān)重要，哲學(xué)家卡爾·波普爾（KarlPopper）甚至“把理性的態(tài)度和批判的態(tài)度二者等同”[3]，認(rèn)為科學(xué)方法的本質(zhì)就是批判性思維.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在課程目標(biāo)中指出：“發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神.”在學(xué)業(yè)質(zhì)量描述中強(qiáng)調(diào)：“能夠在解決問題的過程中，學(xué)會(huì)獨(dú)立思考、合作探究，形成批判質(zhì)疑、克服困難、勇于擔(dān)當(dāng)?shù)目茖W(xué)精神，具備一定的創(chuàng)新意識.”可以說，發(fā)展學(xué)生的批判性思維已經(jīng)被確立為數(shù)學(xué)新課程改革的重要目標(biāo)之一，在考試評價(jià)中命制具有批判性思維立意的試題對指導(dǎo)教師的教和學(xué)生的學(xué)都具有積極意義.下面將從初中代數(shù)試題命制的角度探討這一話題，不當(dāng)之處敬請批判.

2命題路徑與方法

我們將批判性思維看作一種認(rèn)知技能與思維傾向的結(jié)合體，因此在進(jìn)行試題命制時(shí)應(yīng)當(dāng)兼顧兩個(gè)維度：一是技能習(xí)得，指為了作出有充分根據(jù)的判斷而進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S活動(dòng)，并運(yùn)用一定的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來確定思維材料的真實(shí)品質(zhì)、重要性或價(jià)值；二是心智養(yǎng)成，指以改進(jìn)為目的的系統(tǒng)思維監(jiān)控，對自身思維的清晰性、準(zhǔn)確性、邏輯性、充分性、一致性、完整性，以及深度、廣度等方面進(jìn)行把握[4].在試題命制時(shí)可以結(jié)合具體知識內(nèi)容以及學(xué)生的思維水平整體設(shè)計(jì).

2.1在基礎(chǔ)知識考查中培養(yǎng)批判性思維

初中代數(shù)領(lǐng)域以數(shù)與式、方程、不等式與函數(shù)為知識主線，批判性思維立意下的試題命制需要串聯(lián)其中兩到三個(gè)基礎(chǔ)知識，并滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想，如特殊與一般、方程思想等，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成大膽猜想、小心求證，以及小處著眼、整體把握的思維習(xí)慣.在2023年區(qū)縣級七年級上學(xué)期期末調(diào)研試題中，我們命制了以下試題：

試題1在正方體的八個(gè)頂點(diǎn)處各寫一個(gè)數(shù)，使每個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)等于與這個(gè)頂點(diǎn)連接的三條棱上另外三個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)之和.例如，圖1中，與點(diǎn) A 連接的三條棱上的另外三個(gè)頂點(diǎn)處，分別寫有1，2，3，那么點(diǎn) A 處的數(shù)等于 1+2+3=6

請根據(jù)這個(gè)規(guī)則，解答圖2中的問題：

（1） ① 若點(diǎn)"A，C，E"處分別寫2，-5，0，則點(diǎn) F 處的數(shù)等于 ；

② 若點(diǎn)"A，B，C"處分別寫3，4，7，則點(diǎn) D 處的數(shù)等于

（2）若點(diǎn) A，C，D 處分別寫2024，1，23，求 E 點(diǎn)處的數(shù)等于多少？

（3）頂點(diǎn) D，F(xiàn) 處的數(shù)之間具有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

設(shè)計(jì)說明本題以七年級學(xué)生熟悉的正方體為背景，融入有理數(shù)的運(yùn)算、等式性質(zhì)、方程思想等核心知識，考查學(xué)生在信息獲取與加工、數(shù)學(xué)抽象、空間想象、運(yùn)算求解、猜想與證明等方面的素養(yǎng).實(shí)際上，如果將八個(gè)頂點(diǎn)數(shù)字之和記作 s ，根據(jù)題干信息可以推出3S=S ，得 S=0. ，從對稱美的角度看，正方體的體對角線上兩個(gè)數(shù)字互為相反數(shù)合情合理.實(shí)測結(jié)果表明，大多數(shù)學(xué)生忽視了前后問聯(lián)系，受困于一連串的等式無法處理，在理解、分析、評估論證時(shí)缺少必要的技巧，因此難以解決.

2.2 在核心概念、法則的理解中發(fā)展批判性思維

初中代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)涉及到大量的重復(fù)性訓(xùn)練，這對發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力是必要的，但是也容易造成學(xué)生對各種代數(shù)核心概念、公式、法則、規(guī)則、規(guī)定的機(jī)械性理解，把原本“火熱的思考”變成“冰冷的美麗”.如何反其道而行之？在2025年區(qū)縣級八年級下學(xué)期期末調(diào)研考試中，我們命制了以下試題：

試題2數(shù)學(xué)課上，張老師在黑板上寫下這樣一 條等式“ （a+b）2=a2+b2， ’，引發(fā)了同學(xué)們的思考.

小明說：“這條等式是錯(cuò)誤的，假設(shè)取 a=1，b=1 ，就得到 4=2 ，顯然不成立！”

小慧說：“這條等式有可能是正確的，假設(shè)取 a=1 b=0 ，得到 1=1 ，此時(shí)等式成立！”

小亮說：“根據(jù)完全平方公式，可知 （a+b）2=a2+ 2ab+b2. 若 （a+b）2=a2+b2"成立，說明 a2+2ab+b2"ω=a2+b2"，得 ab=0 ，所以該等式成立的條件是 a=0 或b=0 ”

張老師贊許了三位同學(xué)的積極思考，并進(jìn)一步解釋道：“像完全平方公式、平方差公式這樣的等式，取任意的數(shù)值代替等式中的字母都成立，我們稱之為‘恒等式’，它們可以作為公式使用；像 （a+b）2=a2+b2"這樣的等式，只有取特定條件的數(shù)值才能成立，我們稱之為‘條件等式’，它們不具有普遍性，因此不能作為公式使用；而像""這樣的等式，無論字母取何值都不能成立，因此叫做矛盾等式.要說明一個(gè)等式是恒等式或者是矛盾等式，通常需要進(jìn)行證明；如果是條件等式，則應(yīng)求出使這條等式成立的條件.”

請你根據(jù)張老師的解釋，對下列等式進(jìn)行分析：

（1） （a+b）2=（a-b）2"（2）""，且 n 為正整數(shù)）；

設(shè)計(jì)說明 對等式的形式化操作是代數(shù)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)基本功，學(xué)生反復(fù)應(yīng)用各種公式解題，但是未必理解“等式”與“公式”之間的區(qū)別與聯(lián)系.本題模擬了一個(gè)教學(xué)場景，學(xué)生置身其中，在加深對代數(shù)知識理解的同時(shí)，從三個(gè)方面發(fā)展了批判性思維的技巧：第一，讀懂他人的論證和觀點(diǎn)，尋找辯論中的缺陷；第二，以一定的標(biāo)準(zhǔn)批判性地審視這些論證和觀點(diǎn)，包括理解“舉反例”“用數(shù)字驗(yàn)證”以及“一般化證明”的不同；第三，形成和闡述自己有理有據(jù)的論證和觀點(diǎn).學(xué)生在解題中逐步發(fā)展批判性思維的技巧，并形成批判性思維的認(rèn)知傾向.

2.3在問題解決的探究過程中提升批判性思維

對問題進(jìn)行定性分析與定量表達(dá)，常常需要借助代數(shù)工具.即便是考查同一個(gè)知識點(diǎn)，不同的設(shè)計(jì)對批判性思維的要求是不同的.我們來看這樣一個(gè)常規(guī)題目：

已知一個(gè)矩形的周長是14，面積是12，求這個(gè)矩形的長和寬.

這是一道列一元二次方程求解的應(yīng)用題，適合基礎(chǔ)學(xué)習(xí)階段使用.但是教師應(yīng)清楚，當(dāng)學(xué)生掌握了更多關(guān)于一元二次方程的知識之后，即便學(xué)生再做30道這樣的題目，他們對矩形的周長、面積之間的關(guān)系以及一元二次方程的求解問題不會(huì)有任何新的理解，批判性思維也很難從這樣的土壤中生長出來.我們可以進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：

試題3已知一個(gè)矩形的周長和面積，能否構(gòu)造一個(gè)新矩形，使其比原矩形的周長多一倍，面積少一半？如果是周長少一半，面積多一倍呢？

設(shè)計(jì)說明 本題從一道常規(guī)問題改編而來，新題在趣味性、開放性等品質(zhì)上更勝一籌.這樣的問題設(shè)計(jì)在培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維方面有三個(gè)優(yōu)勢：首先，讓學(xué)生理解一個(gè)好的論證需要精確的語言.如本題中，利用矩形的存在性與一元二次方程實(shí)數(shù)根的存在性形成的同構(gòu)關(guān)系，凸顯出代數(shù)語言精確、簡練的優(yōu)勢；其次，讓學(xué)生看到好的論證都必須滿足一些基本的標(biāo)準(zhǔn)，并能清楚地認(rèn)識自己是否達(dá)到這一標(biāo)準(zhǔn).如本題中，取特殊值就不能滿足本題的論證標(biāo)準(zhǔn)；第三，讓學(xué)生明白問題的解決只是階段性的，從一般化的角度看，還有許多值得繼續(xù)探究的內(nèi)容.例如，可以進(jìn)一步探究當(dāng)原矩形的長寬之比滿足什么條件時(shí)，能夠構(gòu)造出新矩形？實(shí)際上，如果矩形的一邊長為 x ，另一邊長為 y ，考查函數(shù)""與""的圖象變化與交點(diǎn)情況，可以獲得直觀性理解（如圖3）.

3 對教學(xué)的啟示

在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用批判性思維，對運(yùn)算規(guī)則的合理性、問題解決的簡捷性、數(shù)學(xué)模型的適切性、推理過程的可靠性，形成一定的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，例如清晰、精確、準(zhǔn)確、切題、前后一致、邏輯正確、完整和公正等[2]178-179．缺少批判的技能與態(tài)度就不能揭示矛盾，也就沒有智力的進(jìn)步.為了幫助學(xué)生形成“標(biāo)準(zhǔn)建立 $$ 批判實(shí)踐 $$ 本質(zhì)探索”的思維閉環(huán)，下列教學(xué)策略或許是重要的：

3.1 教會(huì)學(xué)生辨別一個(gè)論證的好壞

批判性思維總是圍繞論證展開的.對于一個(gè)演繹論證是否有效，一個(gè)歸納論證是否可信，初中生的辨別水平往往停留在主觀經(jīng)驗(yàn)上，尤其對前提與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系缺少評判的標(biāo)準(zhǔn).例如，一個(gè)最常見的找規(guī)律：2，4，6，8，10寫出這一列數(shù)字的第 n 項(xiàng).學(xué)生一般會(huì)填 2n ，而不會(huì)深入思考因果關(guān)系，其實(shí)這個(gè)題有無數(shù)個(gè)答案.像 （n-1）（n-2）（n-3）（n-4）（n-5）+ 2n 這樣的式子與 2n 相比的確不夠簡約，但不能說明前者就是錯(cuò)的.學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握辨別論證好壞的標(biāo)準(zhǔn)，這樣代數(shù)學(xué)習(xí)才會(huì)更加生動(dòng)、深刻

3.2 發(fā)揮“反題”的教學(xué)價(jià)值

批判性思維的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)辯證地看問題.辯證法告訴我們，一切發(fā)展過程都可以分為“正、反、合”這樣三個(gè)有機(jī)聯(lián)系的階段.不思考“反題”，就不能真正理解“正題”；沒有批判的態(tài)度，“反題”不會(huì)自然發(fā)生.因此在教學(xué)中，“反題”具有重要的教學(xué)價(jià)值.例如，在“同底數(shù)冪的除法法則”教學(xué)中，學(xué)生的認(rèn)識經(jīng)歷了以下過程（如圖4）：根據(jù)乘方的初始意義，冪的指數(shù)只能是正整數(shù).反過來思考，如果不取正整數(shù)意味著什么？隨著同底數(shù)冪除法范圍的擴(kuò)大以及零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的規(guī)定，正整數(shù)的限制取消，冪的運(yùn)算性質(zhì)獲得了更大的自由，這就形成了“合題”.下一個(gè)自然的想法，能不能繼續(xù)作出新的規(guī)定，例如取消 m，n 的整數(shù)限制？甚至是取消 a≠0 的限制？

實(shí)際上，隨著研究的進(jìn)一步深入，我們知道指數(shù)為整數(shù)的限制也會(huì)被取消，但是除數(shù)不為0的限制是最后的底線，當(dāng)然這又是另外一個(gè)“反題”了.批判性思維有助于學(xué)生更好地理解代數(shù)知識的結(jié)構(gòu)，感悟“建立在規(guī)則上的自由，才是真正的自由”.

3.3 鼓勵(lì)“第一性原理”式的思考

“第一性原理”是古希臘哲學(xué)家亞里士多德首先提出的概念，他認(rèn)為任何一個(gè)系統(tǒng)都存在自己的第一性原理，它是一個(gè)最基本的命題或假設(shè)，不能被省略或刪除，也不能被違反，例如著名的“第五公設(shè)”可以被認(rèn)為是歐氏幾何的“第一性原理”.在代數(shù)教學(xué)中同樣需要“第一性原理”式思考.

在一節(jié)“探究一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”課上，教師出示了 y=2x+1，y=3x-1，y=-x+1 等6個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式，學(xué)生通過畫圖觀察，發(fā)現(xiàn)有3條直線從左向右看是上升的，另外3條是下降的，從而順利獲得結(jié)論：如果 kgt;0 ，那么函數(shù)值 y 隨著自變量 x 增大而增大；如果 klt;0 ，那么函數(shù)值 y 隨著自變量 Ψx"增大而減小.教師肯定了學(xué)生的探究，教學(xué)很快進(jìn)人練習(xí)環(huán)節(jié).筆者以為，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏“第一性原理”式思考，因?yàn)闊o論畫多少條一次函數(shù)圖象，也還落在表面現(xiàn)象上，不如對一次函數(shù)自身的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析來得直接、根本.“第一性原理”從基本要素出發(fā)，不依賴于任何假設(shè)或經(jīng)驗(yàn)，通過邏輯推理一步步建立起理論或概念，這種思維方式對提升批判性思維尤其重要.

4 結(jié)束語

總之，批判性思維立意的初中代數(shù)試題更注重對學(xué)生思維過程和能力的評價(jià)，能夠從多個(gè)維度考查學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，包括分析問題、提出假設(shè)、驗(yàn)證結(jié)論等能力，為全面、客觀地評價(jià)學(xué)生提供了豐富的依據(jù).同時(shí)，批判性思維立意下的試題有利于引導(dǎo)教學(xué)方法的改革和創(chuàng)新，使新教學(xué)更加符合新時(shí)代人才培養(yǎng)的需求.

參考文獻(xiàn)

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[2]格雷戈里·巴沙姆等.批判性思維：原書第7版[M].舒靜，譯.北京：外語教學(xué)與研究出版社，2024.

[3]卡爾·波普爾.科學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯[M].查汝強(qiáng)，邱仁宗，萬木春，譯.杭州：中國美術(shù)學(xué)院出版社，2007：序言，12.

[4]呂小兵，葉琳.批判性思維立意下的初中幾何試題命制

[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2025（4）：51-53.

作者簡介呂小兵（1981—），男，江蘇南通人，中學(xué)高級教師，無錫市初中數(shù)學(xué)帶頭人，2012年獲全國中小學(xué)優(yōu)秀課展示一等獎(jiǎng)；主要從事初中數(shù)學(xué)教育研究工作.

葉琳（1982—），男，江蘇泰興人，中學(xué)正高級教師，江蘇省“333”高層次人才培養(yǎng)對象，“江蘇省五一勞動(dòng)獎(jiǎng)?wù)隆鲍@得者，2015年獲江蘇省高中數(shù)學(xué)評優(yōu)課一等獎(jiǎng)，2019年江蘇省中小學(xué)青年教師教學(xué)競賽特等獎(jiǎng);主要從事初中數(shù)學(xué)教育研究工作.