教育部2022年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）要求：理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，探索并證明垂徑定理；探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論，了解內(nèi)心與外心；掌握切線的概念[1-2]；等等.實際上，我們在課堂教學(xué)中接觸的與圓相關(guān)的數(shù)學(xué)問題是新課標(biāo)要求的載體，我們常見的習(xí)題、例題及質(zhì)量評估測試題是新課標(biāo)要求的具體化.中考模擬題及中考真題中與圓相關(guān)，并且需要添加輔助線后才能解決問題，一般都是壓軸題.由于輔助線添加方法的靈活性，導(dǎo)致學(xué)生對這類問題產(chǎn)生畏懼心理，甚至達(dá)到談題“色”變的程度，致使這種問題總被認(rèn)定為是難題，成為大家關(guān)注的熱點問題3.為解決大家心頭之憂，以下擬結(jié)合精選的典型例題分類分享針對此類問題輔助線添加的幾種方法，期盼能助你一臂之力.

1圓中遇弦，可添半徑

案例1如圖1，半徑為 R 的 ？ I 的弦 E F=D G ， 且 E F⊥ D G 于點 H ，連接 E D，D F ，若 ，則 半徑 R 的長為（ ）.

C.46 D.4√3

分析：如圖2所示，由已知中的等弦，可知 ；由互相垂直的弦，可知 ∠ E H D 是直角，所以 Δ E H D 是等腰直角三角形.于是可知 ，由圓周角定理知 ；由勾股定理即可求得半徑 I D 的長.

解：如圖2，連接 E G，I D，I F ，則 ∠ I D F=∠ I F D 因為 E F=D G ，所以 ∠ E D F=∠ D E G 又 ∠ D F E= ∠ D G E ，則 Δ E D F？Δ D E G ，所以 ，所以 ∠ D E F=∠ E D G .

因為 E F⊥ D G ，所以

于是 ，所以 ∠ D E F= .由圓周角定理，可得

在 RtΔ I D F 中，由勾股定理得 即 ，所以 .故選：B.

點撥：熟悉同圓中等弧、等弦及相等的圓心角、圓 周角之間的關(guān)系是求解的基礎(chǔ)；在圓中遇弦求半徑或 直徑，添加的輔助線首選添半徑.

2圓中遇直徑，構(gòu)造圓周角

案例2如圖3，在DEF中， E F=D F=4 ，以 E F 為直徑的 ？ I 分別交 D F 和 D E 于點 G，H ，且 D G=F G

（1）求證： D E=D F （2）求 H G 的長.

分析：如圖4，由 E F 是直徑可想到連接 E G 和F H 構(gòu)造直角，聯(lián)系 D G=F G 可證 Δ E G D 與 Δ E G F 全等，于是可證 E D=E F ，結(jié)合 E F=D F ，即可證E D=D F

（2）由（1）中 D E=D F 知 Δ D E F 是等邊三角形，因為 ，所以 F H 是 D E 邊上的中線，于是可知 H 為 D E 的中點，所以 H G 是 Δ D E F 的中位線，從而

（1）證明：連接 E G，F(xiàn) H ，則 在△EGD和 Δ E G F 中， ，所以Δ E G D？Δ E G F（SAS） ，則 E D=E F

又因為 E F=D F ，所以 D E=D F

（2）解：因為 D E=D F，E F=D F ，所以 Δ D E F 是等邊三角形.因為 ，所以 F H 是 Δ D E F 的邊 D E 上的中線，所以 H 是 D E 的中點.

因為 D G=F G ，所以 G 是 D F 的中點.所以 H G 是△DEF的中位線，則 ，即H G 的長為2.

點撥：等腰三角形三線合一的性質(zhì)、直徑所對的圓周角是直角、中位線的判定與中位線定理、全等三角形的判定定定理“SAS”是此題證明和解答的基礎(chǔ).在圓中遇到直徑，首先想到構(gòu)造直角是關(guān)鍵.

3遇到內(nèi)心，需要連頂點

案例3如圖 是XYZ的內(nèi)心， Y Z=8cm ，X Y=6cm，X Z=4cm ，將 ∠ Y X Z 平移，使其頂點與點o 重合，則圖中陰影部分的周長為（ ）.

$＼mathrm{A.2＼cm}$ C.6cm $＼mathrm{{D.8＼cm}}$

分析：（1）如圖6，由 o 是內(nèi)∴ ，可想到 O 是 Δ X Y Z 三個內(nèi)角平分線的交點，連接 O Y，O Z ，可知 ∠ O Y X=∠ O Y R ∠ O Z X=∠ O Z S ；由平移的意義知， O R//X Y，O S//X Z ；由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”和“等角對等邊”，可推知 Y R=O R ， Z S=O S. 于是，陰影部分的周長可求.

解：如圖6，連接 O Y，O Z ，則∠ O Y X=∠ O Y R ，且 ∠ O Z X=∠ O Z S 由平移的性質(zhì)知 O R//X Y ，所以 ∠ O Y X=∠ Y O R ，∠ O Z X=∠ Z O S

于是 ∠ O Y R=∠ Y O R，∠ O Z S=∠ Z O S.

所以 Y R=O R ， Z S=O S

故 即陰影部分的周長為 8cm. 故選答案：D.

點撥：此題求解的基礎(chǔ)是熟知內(nèi)心的定義、平移及平行線的性質(zhì)，等角對等邊和等量代換思想.關(guān)鍵是遇到內(nèi)心，首先想到連接三角形的頂點這種添加輔助線的方法.

4遇到切線，連接切點和圓心

案例4如圖7，在四邊形 H I E F 中， H F//I E ，E F⊥ I E ，以點 E 為圓心， E F 為半徑的弧剛好與 相切，切點為 G 如果 ，則 sinI的值為（ ）.

A

分析：如圖8，由題意易知 ∠ F E I 是直角；由 H I 與？ E 相切于點 G ，可想到連接 G E ，進(jìn)而可證 ∠ E G H= ∠ E F H，Δ E G HΔ E F H ；由 ∠ I H E=∠ I E H 可推出I E=I H ；如果設(shè) H F=n ，則 I H=I E=3n ；當(dāng)推出 I G= 2n 時，由勾股定理可得 于是 的值可求.

解：如圖8，連接 G E ，則 E G=E F

因為 H F//I E ，所以 ∠ F H E=∠ I E H 因為 H F//I E，E F⊥ I E ，所以

I 在 RtΔ E G H 和 RtΔ E F H 中 所以

所以 ∠ I H E=∠ F H E，H G=H F .

所以 ∠ I H E=∠ I E H ，所以 I E=I H

設(shè) H F=n ，因為 ，則 IH=IE = 3n，I G=I H-H G=3n-n=2n.

在 中，由勾股定理得 ，于是sin 故選答案：C.

點撥：此題求解的基礎(chǔ)是切線的性質(zhì)、平行線的 性質(zhì)、相等的傳遞性、等角對等邊、勾股定理等.關(guān)鍵是 遇到切線，要首先想到連接切點和圓心.

其實，在解和證與圓相關(guān)的問題時，除了上面分享的4種輔助線作法，還可以“遇弦添加弦心距”“遇內(nèi)心作三角形三邊的垂線”等.應(yīng)該明白，輔助線是連接題設(shè)和所求的紐帶和橋梁，恰當(dāng)?shù)妮o助線的添加和圖形構(gòu)造，依賴于對與圓相關(guān)的定義、定理、性質(zhì)的扎實掌握，依賴于對問題已知和求證的準(zhǔn)確理解.我們應(yīng)該把功夫下在獲得“四基”（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本活動經(jīng)驗和基本思想方法），發(fā)展“四能”（發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力），樹立正確的價值觀，勇于探索，敢于創(chuàng)新，立志作數(shù)學(xué)教育之達(dá)人[！

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]邵新虎.利用幾何畫板探究數(shù)學(xué)解題模型M.北京：北京師范大學(xué)出版社，2019.

[3]波利亞.怎樣解題（數(shù)學(xué)思維的新方法）[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2002.

[4]單博.解題漫談[M].上海：上海教育出版社，2016.