二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).一些習(xí)題常和等腰三角形知識(shí)結(jié)合起來(lái)設(shè)問(wèn)，難度較大，能很好地考查學(xué)生綜合分析、解決問(wèn)題的能力.在解題的過(guò)程中，應(yīng)注重聯(lián)系對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，畫出對(duì)應(yīng)的圖形，通過(guò)數(shù)形結(jié)合厘清線段、角度之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行計(jì)算求解，做出正確判斷.

1未指明腰和底

在該類問(wèn)題情境中，只給出三角形為等腰三角形，并未指明腰和底.在進(jìn)行判斷時(shí)，應(yīng)結(jié)合等腰三角形與二次函數(shù)圖象間的關(guān)系進(jìn)行分類討論.在討論的過(guò)程中，如沒(méi)有涉及角度，通常運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式構(gòu)建方程進(jìn)行求解.

例1如圖1，直線 y=x-3 與 x 軸、 y 軸分別交于點(diǎn) B，C ，經(jīng)過(guò) 兩點(diǎn)的拋物線 m x+n 與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A ，頂點(diǎn)為 P

（1）求 3m+n 的值.

（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn) Q ，使以C，P，Q 為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2指明腰或底

該類問(wèn)題情境指明等腰三角形的腰或底，但是一些習(xí)題并不會(huì)因此而變得簡(jiǎn)單，解題時(shí)仍需要認(rèn)真對(duì)待.首先，在審題的過(guò)程中，應(yīng)明確所給已知條件的目的，充分運(yùn)用已知條件建立線段之間的關(guān)系[.其次，解題時(shí)應(yīng)實(shí)事求是，針對(duì)各種可能的情況進(jìn)行分析、推理.

例2如圖3，拋物線與 x 軸交于 A，B 兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn) C（0，-2） ，點(diǎn)A 的坐標(biāo)是 （2，0），P 為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 P D⊥ x 軸于點(diǎn) D ，交直線 B C 于點(diǎn) E ，拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=-1 （1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）點(diǎn) P 在第二象限，且 ，若 M 為直線 B C 上一點(diǎn)且在 x 軸的上方，是否存在點(diǎn) M ，使Δ B D M 是以 B D 為腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3指明角度

該類問(wèn)題情境一般給出等腰三角形的某一角度，要求判斷對(duì)應(yīng)的等腰三角形是否存在.而所給的角度一般較特殊，方便運(yùn)用銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算3.解答該類問(wèn)題時(shí)，不僅需要靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)，還需要聯(lián)系、運(yùn)用對(duì)應(yīng)的解題經(jīng)驗(yàn)做出準(zhǔn)確的判斷.

綜上所述，通過(guò)討論二次函數(shù)背景下等腰三角形的存在性問(wèn)題不難看出，無(wú)論哪種問(wèn)題情境，均兼顧基礎(chǔ)知識(shí)及能力的考查，其中基礎(chǔ)知識(shí)包括二次函數(shù)表達(dá)式的求法、二次函數(shù)圖象的畫法及二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì).在能力層面，需要具備良好的畫圖能力、分類討論能力、計(jì)算能力等.

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