《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中強(qiáng)調(diào)了信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的融合，利用信息化技術(shù)設(shè)計教育教學(xué)已成為教育研究的熱點.特別是在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域中，目前國內(nèi)常用的計算機(jī)軟件有幾何畫板[2]，GeoGebra，Desmos，Matlab等，而GeoGebra是一款具有繪制幾何圖形、解方程、繪制函數(shù)圖象、進(jìn)行數(shù)據(jù)分析等功能強(qiáng)大的可動態(tài)演示和交互操作的數(shù)學(xué)軟件，廣泛應(yīng)用于初高中數(shù)學(xué)教學(xué)中3.它可以幫助學(xué)生更直觀地理解抽象的數(shù)學(xué)概念，為學(xué)生通過自主探索和實踐操作來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和定理提供了豐富的探索性工具，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)興趣.本研究引導(dǎo)學(xué)生主動利用GeoGebra軟件探索二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，將自我探究與小組合作討論相結(jié)合，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生體會發(fā)現(xiàn)知識的樂趣，加深對知識的理解和記憶，培養(yǎng)其創(chuàng)造力和思考力.

初中階段的學(xué)生，正處于由具體思維向抽象思維過渡的關(guān)鍵階段.引入GeoGebra等動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，可以有效地輔助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，在函數(shù)學(xué)習(xí)中，通過GeoGebra準(zhǔn)確作圖，引導(dǎo)學(xué)生直觀地觀察函數(shù)的變化，加深對函數(shù)性質(zhì)的理解.

1探究二次函數(shù) 的圖象和性質(zhì)

在八年級下冊的數(shù)學(xué)課程中，學(xué)生已經(jīng)對一次函數(shù)有了基本的了解.通過GeoGebra軟件的輔助，學(xué)生可以在實際操作中掌握二次函數(shù)圖象的特征，加深對二次函數(shù)性質(zhì)的理解.這不僅有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)更高層次的數(shù)學(xué)知識打下堅實的基礎(chǔ).通過這種傳統(tǒng)教學(xué)與現(xiàn)代信息技術(shù)教學(xué)方式的結(jié)合，我們期待能夠更好地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.1探究二次函數(shù) 的圖象及畫法

通過對一次函數(shù)圖象上有限個點的觀察，學(xué)生初步形成了“一次函數(shù)圖象上的點都位于同一條直線上”的認(rèn)知.為了進(jìn)一步拓展學(xué)生對二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的理解，利用GeoGebra軟件的動態(tài)演示功能，學(xué)生能夠從有限個點的觀察，逐步過渡到無限個點的極限思維，深入理解二次函數(shù)圖象曲線形態(tài)的連續(xù)性和光滑性，以及隨著參數(shù)變化而發(fā)生的圖象變化.這種從具體到抽象的認(rèn)知過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力，提高他們對數(shù)學(xué)概念的理解和應(yīng)用能力.

一次函數(shù)的研究方法是先研究特殊的一次函數(shù)——正比函數(shù) y=k x（k≠0） 的圖象和性質(zhì)，再研究一般的一次函數(shù) y=k x+b（k≠0） 的圖象和性質(zhì)，最后通過描點法畫出一次函數(shù)的圖象.研究流程如圖1所示.

雖然二次函數(shù)和一次函數(shù)研究對象有差異，函數(shù)也從一次變成二次更加復(fù)雜，但是研究的方法都是從特殊到一般，類比一次函數(shù)的研究方法.當(dāng) a=1 時，利用GeoGebra畫出最簡單的二次函數(shù) 的圖象，并探究函數(shù)的性質(zhì).

為了培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和探究能力，可以通過探究任務(wù)的形式開展教學(xué)，課程內(nèi)容需要利用計算機(jī)，所以建議在學(xué)校機(jī)房或計算機(jī)教室上課.為確保課程的有序進(jìn)行，教師首先要確認(rèn)學(xué)生用的每個計算機(jī)都已安裝GeoGebra軟件，并檢查是否順暢運行，再對GeoGebra界面的工具進(jìn)行簡單的介紹.

函數(shù) 的探究任務(wù)需要有層次.先探究 y= 的圖象.根據(jù)列表法，可以簡單地取自變量在一 3？ x？3 內(nèi)函數(shù) 的幾組對應(yīng)點列表，表中 x，y 的數(shù)值在GeoGebra界面的坐標(biāo)平面中描點 （x，y） ，并用直線連接坐標(biāo)系中相鄰的點，得圖2.

提出問題：觀察圖2，坐標(biāo)系中各點是否同一次函數(shù)一樣用直線連接？如果所取的點不在一條直線上，那么怎么得到較為準(zhǔn)確的圖象？

學(xué)生根據(jù)親自在GeoGebra軟件上的操作，可以看到以上5個點不在一條直線上，為了得到更加準(zhǔn)確的圖象，利用GeoGebra視圖中的表格功能，取更多的點使得圖象逐漸清晰，學(xué)生能夠看得出圖象的趨勢，并用GeoGebra動態(tài)功能，用平滑的曲線緩慢順次連接各點，就得到了 y= 的圖象（動態(tài)過程可掃碼查看）.

為了得到函數(shù) 的性質(zhì)，再探究 的圖象.進(jìn)一步用GeoGebra在同一個坐標(biāo)系中畫出 x2，y=2x2的圖象，并與 y=x2圖象相比較，圖象如圖3所示.

1.2探究系數(shù)對二次函數(shù) 的影響

討論 的正負(fù)是否影響圖象，上面已經(jīng)研究了agt;0 的情況，現(xiàn)在研究當(dāng) alt;0 時的圖象性質(zhì).首先，讓學(xué)生自己在同一個坐標(biāo)系中畫出函數(shù) 與 y= 的圖象.然后，引領(lǐng)學(xué)生通過GeoGebra拖動滑塊觀察 的圖象隨 的變化情況（掃碼看具體過程）.最后邀請小組歸納總結(jié)函數(shù)圖象性質(zhì).得到如下結(jié)論：（1）二次函數(shù)圖象是拋物線.（2）函數(shù)的開口由二次項系數(shù) a 決定.（3） ∣ a∣ 越大則開口越小，反之則開口越大.（4）圖象關(guān)于 軸對稱，過點（0，0）.（5）當(dāng) agt;0 時開口向上，圖象先減后增，有最小值，最小值為0；當(dāng)alt;0 時開口向下，圖象先增后減，有最大值，最大值為0.

通過GeoGebra軟件的動態(tài)演示，展示了最簡單的二次函數(shù) 圖象上點的密集化，即從有限個點逐漸延伸至無限個點.這種直觀的展示方式促使學(xué)生能夠真切地感受到這些點是如何分布在拋物線上的，從而幫助他們突破對二次函數(shù)圖象理解的難點.GeoGebra軟件以其操作的便捷性和動態(tài)效果的清晰展示，極大地促進(jìn)了學(xué)生對函數(shù)圖象的直觀理解.

2探究頂點式二次函數(shù) 的圖象和性質(zhì)

頂點式作為二次函數(shù)的一種標(biāo)準(zhǔn)形式，不僅揭示了函數(shù)圖象的對稱性和頂點位置，而且為求解最值問題提供了直接的方法.

2.1探究二次函數(shù) 的圖象和畫法

以小組為單位，操作GeoGebra，畫出函數(shù) y= 的圖象，并設(shè)置參數(shù) ，通過左右拖動滑動條改變各參數(shù)的值.除了描點畫圖，在GeoGebra輸人欄中我們可以直接輸人函數(shù)解析式，GeoGebra軟件會自動生成參數(shù) 的滑動條，根據(jù)參數(shù)的區(qū)間設(shè)置可以畫出 ， 的圖象，見圖4.

2.2探究系數(shù)對二次函數(shù) y=a 的影響

學(xué)生用GeoGebra畫出頂點式二次函數(shù)的圖象后，通過改變?nèi)齻€參數(shù)的值，在課堂上展示小組探討的最終結(jié)果，并選擇上述一個二次函數(shù)展示其作圖過程并講解.組內(nèi)其他成員可以對以上圖象進(jìn)行總結(jié)，歸納探討結(jié)果，形成記錄表.記錄表反映了頂點式二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掃碼查看附錄1.

歸納總結(jié)：（1）拋物線的開口方向由參數(shù) a 確定，agt;0 時開口向上， alt;0 時開口向下.（2）對稱軸由 h 的值確定，注意“左加右減”（3）參數(shù) k 決定拋物線的上下移動情況.（4）單調(diào)性.當(dāng) 時， y 隨著 x 的增大而減??；當(dāng) agt;0，xgt;h 時， y 隨著 x 的增大而增大；當(dāng) 時， y 隨著 x 的增大而增大；當(dāng) 時， y 隨著 x 的增大而減小.

反思本次利用GeoGebra學(xué)習(xí)二次函數(shù)的過程，可以針對操作過程中的困難或不足，以及以往描點畫圖式的學(xué)習(xí)和利用GeoGebra軟件學(xué)習(xí)的區(qū)別進(jìn)行總結(jié).通過小組交流，可以很好地取長補短.

3探究二次函數(shù) 的圖象和性質(zhì)

我們已經(jīng)學(xué)過頂點式二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可以利用頂點式的研究結(jié)論來研究一般式的二次函數(shù)圖象及性質(zhì).

3.1探究一般形式二次函數(shù) 的圖象及畫法

3.2探究一般式與頂點式的轉(zhuǎn)化

4結(jié)語

本課程設(shè)計將GeoGebra軟件應(yīng)用于新課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生親自動手操作，在以往學(xué)過的知識點基礎(chǔ)上，通過GeoGebra操作，探討交流，建構(gòu)新的知識，豐富自身知識體系.GeoGebra提供了一個探索性學(xué)習(xí)的環(huán)境，學(xué)生可以通過自己動手操作來探索數(shù)學(xué)概念.這種學(xué)習(xí)方式能夠激發(fā)學(xué)生的興趣和好奇心，培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力.教師可以根據(jù)學(xué)生的實際情況，設(shè)計個性化的學(xué)習(xí)任務(wù)和活動，利用GeoGebra來幫助學(xué)生解決具體的問題.這樣的個性化學(xué)習(xí)方式能夠更好地滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，提高學(xué)習(xí)效果.

學(xué)生通過GeoGebra調(diào)整參數(shù)觀察二次函數(shù)圖象的變化，這一過程顯著加深了他們對數(shù)學(xué)概念的理解，通過GeoGebra，學(xué)生不僅獨立探索動態(tài)幾何構(gòu)造和函數(shù)性質(zhì)，還在小組合作中積極交流，共同完成了探究項目.這些活動不僅展示了他們的學(xué)習(xí)成果，也體現(xiàn)了團(tuán)隊合作的精神.學(xué)生對GeoGebra的積極反饋，以及他們在面對挑戰(zhàn)時的解決方案，證明了該軟件在實際教學(xué)中的應(yīng)用價值.教師根據(jù)學(xué)生的探究成果，調(diào)整教學(xué)策略，優(yōu)化GeoGebra的使用，進(jìn)一步提升了教學(xué)效果.筆者經(jīng)過長期跟蹤與研究還發(fā)現(xiàn)，GeoGebra的使用對學(xué)生的長期學(xué)習(xí)有著積極的影響.此外，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的融合，不僅提升了學(xué)生的探究熱情，開闊了他們的視野，還激發(fā)了他們的想象力，提高了信息素養(yǎng).

雖然GeoGebra在教學(xué)中有很多優(yōu)勢，但也存在一些挑戰(zhàn)和不足之處.要充分發(fā)揮GeoGebra的作用，需要教師和學(xué)生共同努力，加強(qiáng)對工具的理解和使用，合理設(shè)計和安排教學(xué)活動，確保教學(xué)效果的最大化.本研究存在的不足之處在于GeoGebra課程設(shè)計僅在設(shè)計階段，尚未在課堂上實施，存在不確定因素.