“將軍飲馬”作為初中數學中尤為重要的問題模型，為求線段和的最值提供了思路和方法1.然而，從學生的解題情況來看，很多學生并未掌握該方法.在遇到問題時，無法靈活利用“將軍飲馬”求出線段和的最值.但是，從最近幾年的中考情況來看，“將軍飲馬”出現(xiàn)的幾率非常大，這就使一線教師不得不想方設法將之講清、講透.鑒于這種形勢與需要，本文中對“將軍飲馬”的理論進行剖析，為學生講清楚為什么“將軍飲馬\"可用于求線段和的最值，也為一線教師提供更多授課思路.

1剖析理論基礎

“將軍飲馬”用于求線段和的最值，是基于兩個方面的理論，其一是“兩點之間，線段最短”，其二是軸對稱的性質.下面針對這兩大理論基礎分別作進一步的介紹：

（1）“兩點之間，線段最短”

如果題中出現(xiàn)了兩個定點，那么只需將兩定點連接起來構成一條線段，那么這條線段的長度就是兩點之間的最短距離[3].證明如下：

如圖1所示，有兩個點 A，B ，連接這兩點得到線段 A B .如果用曲線連接 A，B 兩點，可將曲線看成圖2中的折線，于是根據“在三角形中，兩邊之和大于第三邊”，可證得 A C+B Cgt;A B .換言之，只有將 A，B 兩點直接連成線段 A B，A，B 兩點之間的距離才有最小值，最小值就是線段 A B 的長度.

（2）軸對稱的性質

“兩點之間，線段最短”為求線段和的最小值提供了重要思路，即把幾條線段轉化成一條線段，或讓線段的幾個端點在同一條直線上.那么如何將幾條線段轉化成一條線段呢？接下來就需要借助“軸對稱的性質”

線段AC和BC原本不在同一直線上，那么可利用“軸對稱的性質”將它們以如圖3所示的方式進行轉化.

受圖3啟發(fā)，可將“兩定一動”的問題利用圖4來解決，這樣把“軸對稱的性質”和“兩點之間，線段最短\"結合起來，就解決了兩線段和的最小值問題.那么，為何通過圖4中的“將軍飲馬”模型就可得到 C A+ CB的最小值？下面，進一步釋疑：

如圖5所示， D 是 ι 上除 c 點外的任意一點，則就有線段 A D ， 此時， A D+B D 就是點A，B 到點 D 的距離之和.因為直線l 是線段 的垂直平分線，所以有 .于是，利用等量代換就得到 A D+B D= .在 中，根據“在三角形中，兩邊之和一定大于第三邊”，可得 ，即 所以，點 D 并非是使 C A+C B 的值最小的點.如此在直線 l 上多取幾個點進行如上驗證，會發(fā)現(xiàn)使得 C A+C B 的值最小的點只有一個，那就是 和 正好在一條直線上的點 C

其實，通過以上兩個知識點，就構成了一個等腰三角形，而等腰三角形可將兩條線段的位置轉化.這時，再結合三角形的三邊關系，自然就能得到線段和的最小值.

2例題分析

在介紹“將軍飲馬”的理論基礎后，接下來結合例題展示其如何應用于求線段和的最值.

例題如圖6所示，在正方形A B C D 中， E 是 A B 上一點， B E= 2，A E=3B E，P 是 A C 上的動點，則 P B+P E 的最小值是________

分析：本題是典型的“將軍飲馬”模型，只需作出其中一個點的對稱點，然后將另一個點和該對稱點連接，必會出現(xiàn)與 A C 的交點，該點即為符合題意的動點的位置.

首先，作一個點關于直線的對稱點；

然后，將另一個點和該對稱點連接，與直線會有一個交點，該交點就是使線段和為最小值的點的位置；

3方法總結及注意事項

最后，借助圖5對“在三角形中，兩邊之和一定大于第三邊”“兩點之間，線段最短”兩點理論的直觀展現(xiàn)非常重要，這是學生加深理解并提高應用效率的關鍵，因為只有學生通過圖5對它們產生了更深入、更全面的理解，才能真正理解“為什么‘將軍飲馬'模型可用于求線段和的最值”

通過上述理論剖析和例題分析，利用“將軍飲馬”模型解決線段和的最值問題（兩個定點位于直線同側

總之，在面對學生學習過程中存在的問題時，作為一線數學教師，一方面要正視問題，另一方面要積極探究其解決方式.初中生的思維能力尚不夠成熟，探究能力也有限，面對這類求線段和最值的題型時，不免捉襟見肘、難以下筆.但是，倘若教師能在這類問題的解決方法上提供更多的指導，那么學生的自信心和解題能力都可得到提升，對學生素養(yǎng)的整體提升也會產生極大幫助.

參考文獻：

[1]劉崇志.關于“線段和”最短問題的分析與解決方法舉例[J].進展，2021（9）：183-185.

[2]吳勤.巧用軸對稱解決生活中的最短路徑問題[J].新高考（升學考試），2015（5）：17-18.

[3]趙曉明.運用“兩點之間線段最短”解題的奧妙[J].中國校外教育，2013（13）：43，73.

[4]蔡立翔“將軍飲馬”問題的思考—利用軸對稱性質求最小值J.讀書文摘，2014（11）：127-128.

[5]于波.利用軸對稱求極值在中考題中的應用[J].中學數學研究（華南師范大學版），2018（22）：47-49.