［摘" 要］ 概念是數(shù)學(xué)的核心，妥善處理概念教學(xué)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)至關(guān)重要. 文章以“指數(shù)函數(shù)”的概念教學(xué)為例，通過(guò)構(gòu)建問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的探索興趣；通過(guò)多元互動(dòng)的探索方式，幫助學(xué)生理解概念與數(shù)學(xué)文化的內(nèi)在聯(lián)系；同時(shí)，注重概念的形成過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)概念；指數(shù)函數(shù)；核心素養(yǎng)

在新課標(biāo)指導(dǎo)下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 數(shù)學(xué)概念作為學(xué)科的基石，清晰理解概念本質(zhì)對(duì)于提高學(xué)生的學(xué)術(shù)能力至關(guān)重要，這也是推動(dòng)數(shù)學(xué)教育高質(zhì)量發(fā)展的關(guān)鍵所在. 概念學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)逐步深入、循序漸進(jìn)的過(guò)程，構(gòu)建新知通常始于學(xué)習(xí)概念. 正如《辭?！匪裕骸熬w者，絲之頭.”章節(jié)通常以核心概念作為導(dǎo)論的開端，專注于章節(jié)或單元“緒論”部分的概念，引導(dǎo)學(xué)生從宏觀視角出發(fā)，探索和研究這些概念，這往往能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率. 本文以“指數(shù)函數(shù)”為例，探討如何通過(guò)概念教學(xué)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教學(xué)設(shè)計(jì)與分析

1. 構(gòu)建問(wèn)題情境，感知概念形成的必然性

情境1 如圖1所示，已知某種細(xì)胞分裂遵循的規(guī)律為1分為2，2分為4，4分為8……若10分鐘完成一次分裂，則1個(gè)細(xì)胞經(jīng)歷1個(gè)小時(shí)后，將形成多少個(gè)細(xì)胞？若將分裂的次數(shù)設(shè)定為x，與之對(duì)應(yīng)分裂而來(lái)的細(xì)胞數(shù)量為y，如何求分裂后的細(xì)胞數(shù)量？

師：在本節(jié)課之前，大家已經(jīng)掌握了函數(shù)的基本概念、性質(zhì)以及圖象，對(duì)它們有了清晰的理解. 從函數(shù)的角度來(lái)看，我們應(yīng)該如何用函數(shù)表達(dá)式來(lái)描述情境中的變量關(guān)系呢？

生1：列式為y=2x.

生2：根據(jù)題意，這種細(xì)胞1個(gè)小時(shí)可分裂6次，即x=6，代入式子有y=26，計(jì)算后得出結(jié)論為64，也就是說(shuō)這種細(xì)胞經(jīng)過(guò)1個(gè)小時(shí)的分裂，可產(chǎn)生64個(gè)新細(xì)胞.

設(shè)計(jì)意圖 概念課堂的初始情境不僅起著導(dǎo)入新課的作用，還承擔(dān)著激發(fā)學(xué)生興趣和提出問(wèn)題的雙重任務(wù). 學(xué)生需要利用“先行組織者”角色，去追溯研究背景的起源，并將情境與數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)聯(lián)，從而抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，為課堂教學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 在這一環(huán)節(jié)，如果教師忽視了學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與新知之間的聯(lián)系，單方面地介紹指數(shù)函數(shù)的概念，學(xué)生可能只會(huì)接觸到表面的知識(shí)點(diǎn)，難以真正地投入探索，從而導(dǎo)致機(jī)械記憶，無(wú)法深入理解概念的內(nèi)涵. 通過(guò)細(xì)胞分裂情境的運(yùn)用，成功點(diǎn)燃了學(xué)生探索的熱情，并讓學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)模型的現(xiàn)實(shí)意義有了初步的認(rèn)識(shí)，使得課堂在情境的輔助下變得更加生動(dòng)和豐富.

2. 多元互動(dòng)探索，讓概念與數(shù)學(xué)文化同行

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展與人類社會(huì)的進(jìn)步緊密相連. 在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)的人文精神、實(shí)際應(yīng)用以及科學(xué)意義，以此拓寬學(xué)生的視野，激發(fā)他們的創(chuàng)新思維，并使他們能夠從數(shù)學(xué)文化中領(lǐng)略到數(shù)學(xué)之美. 這不僅是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化傳承、幫助學(xué)生建立正確數(shù)學(xué)觀念的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵途徑.

情境2 古語(yǔ)有云“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，若將截取次數(shù)設(shè)為x，將木棰的剩余量設(shè)為y，請(qǐng)寫出x，y之間的關(guān)系式［1］.

這句經(jīng)典語(yǔ)錄出自《莊子·天下篇》，學(xué)生在探索該情境的過(guò)程中，不僅推導(dǎo)出了x，y之間的關(guān)系式，還體會(huì)到了數(shù)學(xué)知識(shí)的深邃與古代智者的智慧對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深遠(yuǎn)影響.

師：我注意到第一排第一桌的同學(xué)桌上放有2顆巧克力，假設(shè)我們教室中每排第一桌的同學(xué)都擁有2顆巧克力，每排第二桌的同學(xué)都擁有4顆巧克力，每排第三桌的同學(xué)都擁有8顆巧克力……已知教室共有8排6桌，那么按照這個(gè)規(guī)律，教室最后一排的同學(xué)各有多少顆巧克力呢？

設(shè)計(jì)意圖 帶領(lǐng)學(xué)生追溯歷史上關(guān)于指數(shù)函數(shù)模型的相關(guān)內(nèi)容，深化他們對(duì)指數(shù)函數(shù)應(yīng)用價(jià)值的理解，并培養(yǎng)對(duì)這一模型的特別情感；拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)模型之間的距離，同時(shí)提升他們的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)和審美意識(shí). 此外，利用本地資源設(shè)計(jì)問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的興趣，他們通過(guò)對(duì)這些情境的深入探究，迅速得出了相應(yīng)的結(jié)論. 富有文化內(nèi)涵且生動(dòng)有趣的問(wèn)題能極大提升學(xué)生的課堂參與度，讓課堂洋溢著活力與生機(jī).

3. 關(guān)注形成過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

（1）構(gòu)建概念，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要素之一，通常在“數(shù)與數(shù)量關(guān)系”以及“圖形與圖形關(guān)系”中揭示概念之間的聯(lián)系. 教師引導(dǎo)學(xué)生從具體事物的背景出發(fā)，提取出一般性的結(jié)構(gòu)和規(guī)律，然后用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表述.

設(shè)計(jì)意圖 如果教師在這一環(huán)節(jié)直接提供具體的底數(shù)值，可能會(huì)束縛學(xué)生的思維，使他們對(duì)底數(shù)的大小及其作用產(chǎn)生疑惑. 此外，這種直接提供的方式也與新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“自主探究”理念相沖突. 因此，建議鼓勵(lì)學(xué)生自主選擇指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，操作幾何畫板，并通過(guò)合作交流進(jìn)行探究. 這樣，學(xué)生能夠自主發(fā)現(xiàn)底數(shù)大小分類的原因，從而使整個(gè)課堂洋溢著“探究”的氛圍.

在自主描點(diǎn)作圖的過(guò)程中，由于列舉的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量有限，學(xué)生難以直觀感知到x→∞的圖象. 然而，幾何畫板的使用可以有效解決這一難題. 它能夠?qū)⒋罅繑?shù)據(jù)點(diǎn)展示在圖中，為學(xué)生提供強(qiáng)烈的感官體驗(yàn). 通過(guò)觀察連續(xù)變化的圖象，學(xué)生能夠洞察知識(shí)的深層本質(zhì)，并提煉出從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等思想方法. 在這一環(huán)節(jié)中，教學(xué)的核心目標(biāo)是研究指數(shù)函數(shù)的圖象，總結(jié)研究方法，并為將來(lái)解決更復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

通過(guò)繪制和觀察圖象，學(xué)生自主掌握了指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的基本性質(zhì). 教師挑選出具有特殊意義的圖象進(jìn)行展示，鼓勵(lì)學(xué)生自發(fā)地進(jìn)行評(píng)論和分析，這有助于加深對(duì)指數(shù)函數(shù)定義域的理解，并明確R正是指數(shù)函數(shù)的定義域. 基于此，學(xué)生在列表階段，會(huì)自然而然地關(guān)注x可取負(fù)數(shù)的情況.

引導(dǎo)學(xué)生自主繪制圖表，并借助幾何畫板加以完善，不僅有助于學(xué)生從直觀角度理解指數(shù)函數(shù)，還能進(jìn)一步加深他們對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象的認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言之間的靈活轉(zhuǎn)換. 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握主要體現(xiàn)在這三種語(yǔ)言的靈活運(yùn)用上. 鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行合作交流的目的在于，一方面激勵(lì)學(xué)生自主分析研究過(guò)程，提煉學(xué)習(xí)方法；另一方面促進(jìn)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，勇于表達(dá)，真正體現(xiàn)其主體地位.

（3）滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)

通過(guò)深入解析問(wèn)題來(lái)深刻理解概念，這是概念教學(xué)中常用的一種策略. 教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從特定的題型和解題方法入手，提煉出解題技巧，從而提高解題能力. 在探索的過(guò)程中，教師不必直接告訴學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)使用哪些技巧和方法，而是引導(dǎo)學(xué)生去感知那些“隱性”的數(shù)學(xué)思想方法.

例題？搖比較以下兩個(gè)數(shù)的大小：1.52.5，1.53.2.

此問(wèn)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)以及本節(jié)課所探索的內(nèi)容即可辨別出這兩個(gè)數(shù)的大小. 為了進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的學(xué)力，滲透數(shù)學(xué)思想方法，在此基礎(chǔ)上教師又給出了如下兩個(gè)變式題供學(xué)生探索.

變式題1：比較0.52.5，0.53.2的大小.

變式題2：比較0.52.5，1.53.2的大小.

設(shè)計(jì)意圖 例題和變式題1均采用構(gòu)造指數(shù)函數(shù)的方法，從函數(shù)單調(diào)性的角度進(jìn)行分析和解決. 但變式題2中的兩個(gè)數(shù)無(wú)法直接通過(guò)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)來(lái)比較大小. 一些學(xué)生建議尋找一個(gè)中間值，例如“1”，將其與這兩個(gè)數(shù)進(jìn)行比較. 但問(wèn)題在于，這個(gè)“1”從何而來(lái)？為了幫助學(xué)生深入理解問(wèn)題的本質(zhì)，教師引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)圖象的角度進(jìn)行比較，如圖2所示，將兩個(gè)數(shù)分別與“1”進(jìn)行對(duì)比，根據(jù)它們是大于還是小于“1”來(lái)判定大小. 顯然，數(shù)形結(jié)合思想使得問(wèn)題的解決變得更加直觀和簡(jiǎn)潔.

幾點(diǎn)思考

1. 設(shè)計(jì)科學(xué)的問(wèn)題情境

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，新知的構(gòu)建是建立在學(xué)習(xí)者已有知識(shí)基礎(chǔ)之上的. 在學(xué)生接觸指數(shù)函數(shù)之前，他們已經(jīng)對(duì)一些基礎(chǔ)函數(shù)有所認(rèn)識(shí)，并通過(guò)探索各種函數(shù)的過(guò)程積累了相應(yīng)的知識(shí)和方法. 因此，教師可以利用學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，引導(dǎo)他們運(yùn)用探索函數(shù)的一般方法來(lái)研究指數(shù)函數(shù). 以細(xì)胞分裂和經(jīng)典語(yǔ)錄作為情境，不僅與學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)相契合，而且能成功激發(fā)學(xué)生的探索興趣，為課堂營(yíng)造一個(gè)積極的學(xué)習(xí)氛圍.

2. 關(guān)注概念的生成過(guò)程

新課標(biāo)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)更關(guān)注知識(shí)的形成過(guò)程，倡導(dǎo)“過(guò)程性”教學(xué). 因此，教師在授課過(guò)程中不應(yīng)僅限于將概念直接呈現(xiàn)給學(xué)生進(jìn)行背誦. 相反，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去感知概念的形成和發(fā)展過(guò)程，對(duì)知識(shí)的起源和演變有清晰的認(rèn)識(shí). 在此基礎(chǔ)上，學(xué)生才能實(shí)現(xiàn)真正的深度學(xué)習(xí)，并獲得融會(huì)貫通的能力. 在本節(jié)課中，教師借助實(shí)例、情境和應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生深入理解指數(shù)函數(shù)概念的形成過(guò)程，使學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)有了深刻的認(rèn)識(shí)，并提升了教學(xué)效果.

3. 提供互動(dòng)探索的機(jī)會(huì)

在當(dāng)今的數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)致力于營(yíng)造一個(gè)民主的學(xué)習(xí)環(huán)境，為學(xué)生提供更多的自主探索機(jī)會(huì). 鼓勵(lì)學(xué)生在探索中積極思考，勇于提出問(wèn)題，并在自由表達(dá)和集體智慧的碰撞中，不斷提升他們的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)能力. 在本節(jié)課中，師生之間以及學(xué)生之間進(jìn)行了積極的互動(dòng)和交流. 學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般、從具體到抽象的探索過(guò)程，從而完善了他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并構(gòu)建了一個(gè)完整的概念體系.

總之，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位. 教師應(yīng)從思想上充分重視概念教學(xué)，并運(yùn)用多樣化的教學(xué)方法來(lái)提升學(xué)生的學(xué)力，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王婭.高中數(shù)學(xué)新概念起始課的教學(xué)研究：以“指數(shù)函數(shù)（1）”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（1）：34-37.