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        明晰概念與運算法則,規(guī)范書寫運算過程

        2025-04-15 00:00:00史利民
        初中生世界·七年級 2025年4期
        關鍵詞:平方差交換律單項式

        在整式的乘法運算過程中,符號處理是一個極易產生錯誤的環(huán)節(jié)。許多同學往往將這類錯誤簡單地歸因為粗心大意,但實際上,這背后隱藏著更深層次的原因。

        首先,我們要認識到整式乘法雖然包含了單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式,但其核心依然在于對單項式乘單項式的熟練掌握,特別是在符號處理上。比如,計算(-2mn2)·(3m3n)時,根據單項式乘單項式的法則(單項式與單項式相乘,把它們的系數、相同字母的冪分別相乘,對于只在一個單項式里含有的字母,則連同它的指數作為積的一個因式),系數相乘就是(-2)×3,其積為-6,結果為-6m4n3。如果原題變?yōu)椋?2mn2)·(-3m3n),系數相乘就是(-2)×(-3),其積為6,結果為6m4n3。

        其次,對于單項式乘多項式以及多項式乘多項式,關鍵在于根據運算法則將其轉化為單項式乘單項式。以(-4x2)·(3x-1)為例,根據多項式的定義,可知3x-1=3x+(-1),那么(-4x2)·(3x-1)=(-4x2)·3x+(-4x2)·(-1),而(-4x2)·3x和(-4x2)·(-1)都是單項式乘單項式。初學者可能覺得此過程繁瑣,但這是掌握新知不可或缺的階段。熟練后,同學們對(-4x2)·3x和(-4x2)·(-1)就可以心算處理了?,F階段,我們還有一個方法,就是借助一些符號來標記運算對象。比如在多項式3x-1的3x和-1下面畫波浪線,把原式寫成(-4x2)·(3x -1),以明確(-4x2)分別與3x和-1相乘。我們還可以把(-4x2)·3x和(-4x2)·(-1)寫在草稿紙上,這樣也可以避免符號問題出錯。

        接下來,我們以多項式乘多項式(-2x+3y)·(3x-2y)為例。根據多項式的定義以及多項式乘多項式的法則,我們可以將其拆解為四個單項式乘單項式的和,即[(-2x)+3y]·[3x+(-2y)]=(-2x)·3x+(-2x)·(-2y)+3y·3x+3y·(-2y)。規(guī)范書寫步驟,是克服符號問題的關鍵。

        上述例子僅是單一的計算,而我們更容易在綜合問題上出錯。如計算-2x·(-x2+3x-4)-(x+1)·(3x-1),我們可采取分步突破的策略,-2x·(-x2+3x-4)=(-2x)·[(-x2)+3x+(-4)]=(-2x)·

        (-x2)+(-2x)·3x+(-2x)·(-4)。-(x+1)·(3x-1)怎么辦呢?一種解決思路是:-(x+1)·(3x-1)=-[(x+1)·(3x-1)],也就是說先計算(x+1)·(3x -1)=3x2-x+3x-1,則-(x+1)·(3x-1)=-(3x2-x+3x-1)=-3x2+x-3x+1;另一種解決思路是:-(x+1)·(3x-1)=(-1)·(x+1)·(3x-1)=(-x-1)·(3x -1)=-3x2+x-3x+1。

        最后,討論乘法公式的運用。運用完全平方公式時,若括號內多項式首項系數是負數時,需要進行“轉化”。比如,計算(-3x+y)2、(-3x-y)2。根據加法交換律得到(-3x+y)2=(y-3x)2,或者(-3x+y)2=[-(3x-y)]2=(3x-y)2;(-3x-y)2=[-(3x+y)]2=(3x+y)2。我們可以推廣得到如下結論:(-a+b)2=(a-b)2,(-a-b)2=(a+b)2。經過轉化,之前感到難以下筆的問題就得到有效化解。

        運用平方差公式時,同學們在處理(y+3x)·(3x-y),(-y-3x)·(3x-y),(-y-3x)·(-3x+y)這類表達式時,常常會出錯。為此我們可以根據加法交換律,按英文字母順序調整位置:(y+3x)·(3x-y)=(3x+y)·(3x-y),(-y-3x)·(3x-y)=(-3x-y)·(3x-y),(-y-3x)·(-3x+y)=(-3x-y)·(-3x+y)。這時,第一、三這兩個式子容易辨別能否運用平方差公式并計算;第二個式子,要認識到“-y”相當于公式中的“a”,“-3x、3x”相當于公式中的“-b、b”。當然,以上三題,還有其他計算方法,這里我們僅從避免符號出錯的角度提出建議。

        通過今天的交流,你是否已經對整式乘法中的符號問題有了更為清晰的認識?是否不再簡單地將符號出錯歸咎于粗心大意了呢?

        (作者單位:江蘇省南京市江寧區(qū)桃紅初級中學)

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