［摘 要］ “誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)”是測(cè)繪工程專業(yè)的一門(mén)核心課程，也是“大地測(cè)量”“GNSS原理”等一系列數(shù)據(jù)處理課程的基礎(chǔ)，更是測(cè)繪從業(yè)人員所必備的基礎(chǔ)知識(shí)。通過(guò)教學(xué)研究和實(shí)踐的綜合分析，研究總結(jié)了“誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)”的研究對(duì)象和核心問(wèn)題，以及各部分間的關(guān)系，課程中促進(jìn)學(xué)生使用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行充分實(shí)踐。同時(shí)，由于該課程貫穿專業(yè)課程的學(xué)習(xí)、學(xué)生的研究項(xiàng)目和畢業(yè)設(shè)計(jì)，課程改革有效提升了學(xué)生對(duì)課程理論的理解和應(yīng)用能力。另外，探討了課程思政教育在測(cè)繪專業(yè)課程中的切入點(diǎn)，在課堂中引導(dǎo)學(xué)生堅(jiān)定“四個(gè)自信”。實(shí)踐結(jié)果表明，通過(guò)對(duì)課程內(nèi)容的梳理，強(qiáng)化學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，學(xué)生可以將理論知識(shí)融會(huì)貫通，在相關(guān)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)中提高學(xué)習(xí)效率；同時(shí)，課程思政的引入，提高了學(xué)生的專業(yè)熱情。

［關(guān)鍵詞］ 誤差理論；教學(xué)方法；課程思政

［基金項(xiàng)目］ 2023年度國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“復(fù)雜環(huán)境下的多源融合導(dǎo)航模型智能優(yōu)化”（42274024）

［作者簡(jiǎn)介］ 楊 誠(chéng)（1984—），男，江蘇泰州人，博士，中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）土地科學(xué)技術(shù)學(xué)院副教授，主要從事多源PNT彈性融合研究。

［中圖分類號(hào)］ G642.0 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1674-9324（2025）07-0137-04 ［收稿日期］ 2023-11-29

引言

測(cè)繪專業(yè)要求學(xué)生具備較強(qiáng)的測(cè)繪數(shù)據(jù)分析和處理能力，“誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)”作為測(cè)繪工程專業(yè)的一門(mén)核心課程，其目的為培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)誤差和處理誤差的能力。該課程的核心研究對(duì)象為“觀測(cè)誤差”，以“高等數(shù)學(xué)”“線性代數(shù)”和“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”為基礎(chǔ)，兼具理論性與實(shí)踐性的課程。課程內(nèi)容的邏輯性較強(qiáng)，涉及的概念抽象、方程復(fù)雜且公式繁多。學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容的理解和掌握程度直接影響后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)質(zhì)量，以及未來(lái)從事測(cè)繪行業(yè)的工作能力和繼續(xù)深造的潛力。眾多學(xué)者針對(duì)“誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)”這門(mén)課程的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了深入總結(jié)和思考［1-2］。閆勇剛等［1］基于成果導(dǎo)向教育理念，闡述了課程目標(biāo)定位、反向教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)、學(xué)習(xí)成果評(píng)價(jià)等過(guò)程中的教學(xué)改革方法和策略。實(shí)踐結(jié)果表明，學(xué)生基本可以獲得相關(guān)學(xué)習(xí)成果和體驗(yàn)，達(dá)到自主學(xué)習(xí)和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的課程目標(biāo)。吳云恩［2］針對(duì)高職學(xué)生的特點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，借助基本計(jì)算工具，弱化理論難度，強(qiáng)化結(jié)果驗(yàn)證，讓學(xué)生在大量的驗(yàn)證計(jì)算中獲得信心，教學(xué)取得了意想不到的實(shí)效。王一等［3］分析了“誤差理論與數(shù)據(jù)處理”課程在教學(xué)理念、過(guò)程組織、手段與評(píng)價(jià)以及認(rèn)識(shí)方面存在的問(wèn)題，有針對(duì)性地提出了改善教學(xué)質(zhì)量的措施，在實(shí)踐中初見(jiàn)成效。

根據(jù)“誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)”課程的特點(diǎn)，課程分為兩個(gè)部分，即誤差理論與測(cè)量平差方法。兩部分內(nèi)容均從“觀測(cè)誤差”出發(fā)，前者介紹了誤差的分類、偶然誤差的規(guī)律和廣義誤差傳播規(guī)律；后者在偶然誤差的基礎(chǔ)上，以最小二乘為核心介紹平差的數(shù)學(xué)模型以及平差結(jié)果的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)以“觀測(cè)誤差”為核心，系統(tǒng)地厘清不同誤差類型的來(lái)源及相互關(guān)系，以及與誤差相關(guān)的精度的概念和評(píng)估方法；在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步講授在函數(shù)關(guān)系中誤差的傳播與影響，幫助學(xué)生系統(tǒng)性地掌握誤差的相關(guān)概念，為后續(xù)熟練應(yīng)用平差理論和平差思想打好基礎(chǔ)。

2020年，教育部印發(fā)《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，明確要求高校全面推進(jìn)課程思政建設(shè)，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)［4］。然而，將課程思政融入專業(yè)課并不是另起爐灶，更不是將專業(yè)課打造成“政治課”，而是需要將思政內(nèi)容融入專業(yè)知識(shí)中，幫助學(xué)生樹(shù)立正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀，提高學(xué)生的思想道德水平［5-6］。本文結(jié)合前人的工作經(jīng)驗(yàn)，以及我國(guó)測(cè)繪事業(yè)中的重大工程，嘗試將思政內(nèi)容融入專業(yè)知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)測(cè)繪、愛(ài)測(cè)繪、奉獻(xiàn)測(cè)繪的事業(yè)心的形成，成為學(xué)生奉獻(xiàn)祖國(guó)的引路人。

一、課程教學(xué)思考

結(jié)合多年課程教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和畢業(yè)生反饋等信息，筆者針對(duì)教學(xué)過(guò)程中的主要問(wèn)題進(jìn)行了思考。課程教學(xué)過(guò)程中主要存在教學(xué)內(nèi)容組織不清晰、理論教學(xué)缺少應(yīng)用場(chǎng)景，以及教學(xué)評(píng)價(jià)與能力培養(yǎng)不匹配等問(wèn)題。

課程教學(xué)組織不清晰?！罢`差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)”是測(cè)繪類專業(yè)最難學(xué)的課程之一，也是學(xué)時(shí)最多的課程之一。該課程的課堂授課學(xué)時(shí)一般在50學(xué)時(shí)左右，往往排課較為緊湊，學(xué)生須在有限的時(shí)間內(nèi)掌握核心理論，厘清復(fù)雜的數(shù)據(jù)公式［7］；若教學(xué)內(nèi)容組織不夠清晰，會(huì)影響學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。例如，在講授誤差來(lái)源、誤差類型、誤差傳播等概念時(shí)，若沒(méi)有明確地對(duì)它們的關(guān)系和作用進(jìn)行整合和說(shuō)明，可能導(dǎo)致學(xué)生對(duì)這些概念的理解存在困惑，無(wú)法形成完整的知識(shí)體系。

理論缺少應(yīng)用場(chǎng)景。在教材選用上，各大高?；具x用經(jīng)典教材，注重理論知識(shí)的學(xué)習(xí)。教材以靜態(tài)大地網(wǎng)為核心，注重講述誤差理論和處理誤差的基本方法以及經(jīng)典理論，缺乏與實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景的聯(lián)系。學(xué)生對(duì)三角網(wǎng)難以形成直觀的認(rèn)識(shí)，對(duì)于所學(xué)的理論和公式，只能通過(guò)課后的習(xí)題來(lái)了解平差的過(guò)程。同時(shí)，為便于學(xué)生計(jì)算和分析，數(shù)據(jù)往往是理想的，掩蓋了真實(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)的復(fù)雜性，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)平差模型在實(shí)際應(yīng)用中的挑戰(zhàn)性和限制性缺乏深刻理解。

教學(xué)評(píng)價(jià)與能力培養(yǎng)不匹配。課程的教學(xué)評(píng)價(jià)體系注重學(xué)生對(duì)計(jì)算步驟和公式的掌握，忽視對(duì)平差方法的理解和應(yīng)用能力的培養(yǎng)，導(dǎo)致部分學(xué)生機(jī)械地使用公式進(jìn)行計(jì)算，缺乏對(duì)平差原理和方法的深入理解。同時(shí)，評(píng)價(jià)體系無(wú)法全面評(píng)估學(xué)生在實(shí)際測(cè)量中的識(shí)別誤差并處理數(shù)據(jù)的能力，這可能進(jìn)一步導(dǎo)致學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中缺乏全面分析問(wèn)題并靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

二、課程改革探索

根據(jù)課堂教學(xué)中總結(jié)的各種問(wèn)題，筆者通過(guò)深入思考與研究，以及在課堂教學(xué)中的嘗試，對(duì)課程的內(nèi)容進(jìn)行了梳理，如圖1所示。

誤差理論包括誤差分類、誤差分布、誤差傳播和精度評(píng)定等主要內(nèi)容，是各種平差方法確定隨機(jī)模型、推導(dǎo)精度估計(jì)公式的理論基礎(chǔ)。該部分須明確“多余觀測(cè)”的概念，即多余必須觀測(cè)的觀測(cè)量。只有通過(guò)多余觀測(cè)，才能揭示由于誤差存在而出現(xiàn)的矛盾，從而發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，并通過(guò)解決矛盾來(lái)提高觀測(cè)值的質(zhì)量。誤差理論部分還需要學(xué)生重點(diǎn)理解偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性以及相關(guān)的精度概念，即中誤差是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，表示的是誤差分布，而不是某個(gè)觀測(cè)量具體的誤差數(shù)值。誤差的廣義傳播規(guī)律包括協(xié)方差傳播規(guī)律、協(xié)因數(shù)傳播規(guī)律和權(quán)倒數(shù)的傳播規(guī)律。誤差廣義傳播規(guī)律反映的是觀測(cè)量精度與其函數(shù)的精度之間的規(guī)律，其目的是解算觀測(cè)量函數(shù)的精度指標(biāo)。

觀測(cè)量函數(shù)是區(qū)分不同平差模型的主要因素，也是實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象。測(cè)量過(guò)程的多余觀測(cè)，必然引發(fā)觀測(cè)值間的矛盾，無(wú)法得到唯一解。這里需要引入估計(jì)準(zhǔn)則，即數(shù)學(xué)中的極值函數(shù)，求得參數(shù)的最優(yōu)解。由于最小二乘的解具有最小方差的性質(zhì)，其廣泛應(yīng)用于平差解。結(jié)合具體的數(shù)學(xué)模型和估值準(zhǔn)則，可以推導(dǎo)具體的平差模型，幫助學(xué)生理解不同平差模型的區(qū)別。同時(shí)，還需要強(qiáng)調(diào)，所得到的最優(yōu)解是在一定條件下的，即觀測(cè)量所含誤差僅含有偶然誤差。在推導(dǎo)不同的平差模型過(guò)程中，教師須多次強(qiáng)調(diào)最小二乘極值函數(shù)的構(gòu)建思想，即殘差平方和最小準(zhǔn)則，幫助學(xué)生理解平差的核心思想：“平差是通過(guò)一定的原則，分配誤差，合理地消除矛盾?！蓖ㄟ^(guò)對(duì)圖1中各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解，學(xué)生可以獲得較為完整的經(jīng)典平差知識(shí)體系。

現(xiàn)代測(cè)繪工程的數(shù)據(jù)獲取已經(jīng)從地面測(cè)量，發(fā)展到了地面、海底、航空、航天等多源和多樣的數(shù)據(jù)獲取手段。異構(gòu)異質(zhì)的測(cè)量數(shù)據(jù)依然無(wú)法避免觀測(cè)誤差的存在，無(wú)法回避測(cè)量數(shù)據(jù)之間的矛盾，因此，誤差理論與測(cè)量平差依然是測(cè)繪學(xué)科的重要理論之一。為提高課程的實(shí)踐性以及考查學(xué)生對(duì)理論的掌握和應(yīng)用能力，組織學(xué)生使用前期課程實(shí)踐的一手?jǐn)?shù)據(jù)，采用小組作業(yè)的形式，要求學(xué)生撰寫(xiě)施測(cè)方案，根據(jù)觀測(cè)量構(gòu)建合理的函數(shù)模型，編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序，完成數(shù)據(jù)的平差作業(yè)，評(píng)定精度，并撰寫(xiě)報(bào)告。課程實(shí)踐在評(píng)估學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力的同時(shí)，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)課堂理論的理解深度，并收獲了實(shí)踐技能和經(jīng)驗(yàn)。教師在對(duì)實(shí)踐報(bào)告點(diǎn)評(píng)的過(guò)程中，結(jié)合課程中的概括平差模型，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)課程難點(diǎn)的理解，使學(xué)生在完成學(xué)習(xí)任務(wù)的過(guò)程中構(gòu)建自己的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生的終身學(xué)習(xí)能力。

課程思政是以課程為載體，將專業(yè)知識(shí)與思政元素相結(jié)合，以將正確的世界觀和價(jià)值觀等思想政治教育融入專業(yè)課程為基本途徑的育人實(shí)踐活動(dòng)［8］。專業(yè)課程的授課在傳授專業(yè)知識(shí)和技能的同時(shí)，還要重視學(xué)生品德的培養(yǎng)和愛(ài)國(guó)情操的培養(yǎng)，使學(xué)生將自己的前途與國(guó)家命運(yùn)密切結(jié)合起來(lái)，不斷提升綜合素質(zhì)，堅(jiān)定“四個(gè)自信”，在實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的道路上有所作為［9］。教師除授理論知識(shí)外，還可以通過(guò)案例與故事相結(jié)合的多元化教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)將愛(ài)國(guó)主義情懷融入社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)中，提高思政教學(xué)的實(shí)效性。在利用大地網(wǎng)講授必要觀測(cè)和多余觀測(cè)的環(huán)節(jié)中，可以將大地網(wǎng)與我國(guó)北斗星間鏈路相結(jié)合，將平差的理論問(wèn)題與應(yīng)用實(shí)際相結(jié)合，以融入實(shí)際工程案例作為參考，引導(dǎo)學(xué)生將平差模型與北斗導(dǎo)航定位系統(tǒng)的定軌技術(shù)相結(jié)合，闡述我國(guó)北斗系統(tǒng)監(jiān)測(cè)站如何創(chuàng)新使用星間鏈路實(shí)現(xiàn)高精度定軌，在拓展學(xué)生知識(shí)面的同時(shí)，拓展了課程的廣度和深度，讓學(xué)生通過(guò)真實(shí)案例的分析與討論，感受理論的價(jià)值和意義，強(qiáng)化理論聯(lián)系實(shí)際的能力，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，堅(jiān)定“四個(gè)自信”，培養(yǎng)了學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感和創(chuàng)新精神。

結(jié)語(yǔ)

本文介紹了筆者在“誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)”教學(xué)過(guò)程中的一些思考和探索實(shí)踐，在強(qiáng)化理論學(xué)習(xí)的同時(shí)，注重對(duì)學(xué)生具體問(wèn)題應(yīng)用能力的鍛煉；結(jié)合我國(guó)自主北斗導(dǎo)航定位系統(tǒng)的發(fā)展，充分融入課程思政元素，培養(yǎng)了學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感和創(chuàng)新精神。應(yīng)不斷探索和改進(jìn)“誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)”課程教學(xué)，在理論教學(xué)和實(shí)際問(wèn)題的綜合處理中不斷嘗試、實(shí)踐。

參考文獻(xiàn)

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Teaching Exploration and Curriculum Ideology and Politics of Error Theory and Foundation of Surveying Adjustment Course

YANG Cheng

（School of Land Science and Technology， China University of Geosciences（Beijing）， Beijing

100083， China）

Abstract： Error Theory and Foundation of Surveying Adjustment is a core course for surveying and mapping engineering. This course is about the basic data processing knowledge required by the practitioners， which is widely employed in other major courses， such as Geodesy and GNSS Principles. Through the comprehensive analysis of teaching and practice， this paper summarizes the research object and core problem of Error Theory and Foundation of Surveying Adjustment， as well as the relationship between each section， so as to promote students to use computer language to fully practice what they have learned. At the same time， this course will run through the study of professional courses， student research projects and graduation design， so that students can get a deeper understanding and application of the theories in the course. In addition， it discusses the entry point of ideological and political education in the curriculum， and guides students to adhere to “Four Confidences”. The practical results indicate that by combing the course content and strengthening the practical ability of students， they can integrate the theoretical knowledge and improve the learning efficiency in the study of related professional courses. At the same time， the introduction of ideology and politics in the curriculum has improved students’ professional enthusiasm.

Key words： error theory; teaching method; curriculum ideology and politics