［摘 要］“三新”教育改革要求高中數(shù)學(xué)教學(xué)聚焦新課程、研究新教材、全面提升素養(yǎng)，以應(yīng)對新高考。變式教學(xué)作為一種適應(yīng)這一需求的創(chuàng)新教學(xué)模式，有助于數(shù)學(xué)課堂從“知識導(dǎo)向”向“素養(yǎng)本位”轉(zhuǎn)型，進(jìn)而打造高效課堂，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

［關(guān)鍵詞］變式教學(xué)；“三新”背景；學(xué)科核心素養(yǎng)；高中數(shù)學(xué)

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2025）02-0004-03

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)作為課程目標(biāo)的核心，明確指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)具有基礎(chǔ)性、選擇性和發(fā)展性，旨在使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展[1]。隨著“三新”（新課程、新教材、新高考）教育改革的深入，高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨新挑戰(zhàn)與新機(jī)遇。在此背景下，如何有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，成為高中數(shù)學(xué)教師亟待解決的問題。變式教學(xué)作為一種創(chuàng)新教學(xué)模式，通過變換題目的條件、結(jié)論或形式，引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)本質(zhì)，對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、解決問題能力和創(chuàng)新精神，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具有重要意義[2]。

一、“三新”背景下高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的作用

（一）適應(yīng)新課程與新教材的要求

新課程和新教材強(qiáng)調(diào)知識的實(shí)際應(yīng)用、跨學(xué)科整合以及學(xué)生主體性的發(fā)揮。高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)適應(yīng)新課程與新教材的這一要求，它通過靈活變換題目的條件、結(jié)論或形式，引導(dǎo)學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)生活相結(jié)合，從而加深對知識的理解。同時(shí)，變式教學(xué)能夠幫助學(xué)生建立完整的知識體系[3]。通過變換題目的形式，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧和鞏固舊知，聯(lián)系新知，形成知識網(wǎng)絡(luò)，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)的理解，提高學(xué)習(xí)效果。

（二）滿足新高考的要求

新高考注重考查學(xué)生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力，強(qiáng)調(diào)全面評價(jià)學(xué)生的思維能力、解決問題能力和創(chuàng)新精神。高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)通過設(shè)計(jì)具有層次性、挑戰(zhàn)性和創(chuàng)新性的變式題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索、發(fā)現(xiàn)和解決問題。在此過程中，學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、方法和技能，發(fā)展創(chuàng)新思維，提升綜合素質(zhì)和實(shí)踐能力。這滿足新高考的要求。

（三）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力及情感、態(tài)度與價(jià)值觀。高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，如通過變換題目的形式和難度，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同層面思考問題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。

二、“三新”背景下高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的策略

（一）數(shù)學(xué)概念的變式教學(xué)

數(shù)學(xué)概念源自生活又高于生活，它雖然基于具體生活經(jīng)驗(yàn)，但并不完全等同于生活中的數(shù)學(xué)，而是需要通過對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行比較歸納、類比猜想、概括總結(jié)等數(shù)學(xué)化處理后才能形成。要深刻理解概念的本質(zhì)，需明晰其內(nèi)涵和外延。在概念教學(xué)中，教師可利用正反例證設(shè)計(jì)變式問題，引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多側(cè)面進(jìn)行分析比較，深化理解。

1.改變概念的呈現(xiàn)方式，突出概念的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)概念有標(biāo)準(zhǔn)形式和非標(biāo)準(zhǔn)形式兩種。標(biāo)準(zhǔn)形式有助于理解概念的基本含義，但容易限制思維，縮小概念的外延。因此，教師可利用非標(biāo)準(zhǔn)形式，改變概念的非本質(zhì)屬性，從而突出概念的內(nèi)涵。

以高中數(shù)學(xué)中的“超幾何分布”概念為例。超幾何分布模型主要用于不放回簡單隨機(jī)抽樣中的概率計(jì)算，其中每個(gè)個(gè)體僅需考慮其具有的某種特征。人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)教材通過實(shí)際生活中的產(chǎn)品抽取問題，對比有放回和不放回兩種抽樣方式下抽取到的次品數(shù)服從的分布列異同，由特殊到一般引出超幾何分布的概念。其中，不放回抽取產(chǎn)品模型成為超幾何分布的標(biāo)準(zhǔn)形式。為了讓學(xué)生真正把握超幾何分布的本質(zhì)，教師可以采取非標(biāo)準(zhǔn)形式，通過改變模型的呈現(xiàn)方式，設(shè)置如下變式。

變式1：從7名男生和3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，設(shè)選出的女生人數(shù)為隨機(jī)變量[x]，請問[x]服從超幾何分布嗎？

分析：本題將超幾何分布的不放回抽取產(chǎn)品模型應(yīng)用于人物抽取場景，通過變換背景突出超幾何分布的本質(zhì)，即在不放回簡單隨機(jī)抽樣中，關(guān)注抽取的個(gè)體具有的某種特征（如性別）。此題關(guān)注的是抽取的學(xué)生干部中女生的人數(shù)，這與產(chǎn)品抽取問題中的次品數(shù)問題本質(zhì)相同，因此均適用超幾何分布。

變式2：從7名男生和3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，設(shè)選出的男生人數(shù)為隨機(jī)變量[x]，請問[x]服從超幾何分布嗎？

分析：本題通過改變關(guān)注的隨機(jī)變量（男生人數(shù)）來進(jìn)一步突出超幾何分布的本質(zhì)，即關(guān)注在不放回抽樣中，抽取的個(gè)體具有的某種特征（如性別）。

變式3：盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，設(shè)摸出的黑球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量[x]，請問[x]服從超幾何分布嗎？

分析：本題將超幾何分布模型應(yīng)用于摸球場景，通過具體實(shí)例進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)超幾何分布的本質(zhì)屬性，即在不放回抽樣中，關(guān)注抽取的個(gè)體具有的某種特征（如球的顏色）。本題有助于加深學(xué)生對超幾何分布概念內(nèi)涵的理解。

2.設(shè)計(jì)概念的反例變式，明確概念的外延

數(shù)學(xué)概念存在于由多種概念構(gòu)成的概念體系中，要明確其外延，就必須明確其與周邊概念的界限。設(shè)計(jì)概念的反例變式，能幫助學(xué)生明確概念的外延，從而實(shí)現(xiàn)對概念的多角度理解。

以人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)教材中的“超幾何分布”概念為例，為明確其外延，可設(shè)計(jì)反例變式。通過改變超幾何分布的某一關(guān)鍵屬性（如有放回抽樣），使其不再符合超幾何分布特征。通過對比非概念特征與概念特征，可引導(dǎo)學(xué)生深刻理解概念的本質(zhì)。

變式1：盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球再放回，一共摸4次。設(shè)摸到的黑球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量[x]，請問[x]服從超幾何分布嗎？

分析：本題將超幾何分布的“不放回”條件改為“有放回”，使摸球模型變?yōu)橛蟹呕爻槿∧Ｐ汀Ｔ诖四Ｐ拖?，每次摸到黑球的概率都為[37]，且各次抽樣結(jié)果相互獨(dú)立。因此，隨機(jī)變量[x]不服從超幾何分布，而是服從二項(xiàng)分布。通過對比，明確了超幾何分布概念的外延。

變式2：盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，[x]是首次摸出黑球時(shí)的總次數(shù)，請問[x]服從超幾何分布嗎？

分析：本題改變了超幾何分布中“隨機(jī)變量為抽取到的具有某種特征的個(gè)體數(shù)量”的定義。即便為不放回抽取，若隨機(jī)變量的含義不符合超幾何分布的定義，則該抽取模型依然不是超幾何分布模型，進(jìn)一步明確了超幾何分布概念的外延。

（二）數(shù)學(xué)習(xí)題的變式教學(xué)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開習(xí)題教學(xué)，它能深化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式、定理的理解。因此，要重視習(xí)題教學(xué)，使其緊扣教學(xué)目標(biāo)。同時(shí)，要注重習(xí)題的變式、追問與拓展，通過改變條件、結(jié)論或問題情境，打破學(xué)生思維定式，促進(jìn)多角度思考。挑選典型例題作為母題，結(jié)合教學(xué)目標(biāo)置換條件或結(jié)論設(shè)置變式題，是有效方法。具體可采取以下策略：

1.改變例題所求問題，一題多問

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可圍繞教學(xué)目標(biāo)，通過改變例題所求問題，引導(dǎo)學(xué)生在變化中探尋不變的解題規(guī)律，實(shí)現(xiàn)多題歸一，有效提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［例1］在[△ABC]中，角[A]，[B]，[C]所對的邊分別為[a，b，c]，已知[a3cosA=csinC]。（1）求[A]的大小;（2）若[a=6]，求[△ABC]周長的取值范圍。

分析：本題是與解三角形相關(guān)的最值問題。第一問通過正余弦定理進(jìn)行邊角互化，即可求出[∠A]的值。第二問已知對邊對角，求三角形周長的取值范圍。與解三角形相關(guān)的最值問題主要涉及求三角函數(shù)值、邊長、面積、周長、向量的最值。解決方法包括：（1）將所給條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，利用三角函數(shù)求最值；（2）將所給條件轉(zhuǎn)化為邊長形式，利用基本不等式或者函數(shù)求最值。本題中三角形形狀未受限制，所求周長的取值范圍為對稱結(jié)構(gòu)[b+c]的取值范圍，故可先用余弦定理找到兩邊[b，c]的關(guān)系，再用基本不等式求得[b+c]的最大值，最后結(jié)合兩邊之和大于第三邊求另一邊的取值范圍。

變式1：若題中條件不變，試求[△ABC]面積的最值。

分析：本題條件未變，僅問法改變，由求周長的取值范圍轉(zhuǎn)為求面積的最值。面積最值實(shí)為兩數(shù)積的最值，均與基本不等式相關(guān)，依舊可利用“余弦定理+基本不等式”進(jìn)行求解。

變式2：若題中條件不變，試求[BA·CA]的最大值。

分析：本題通過變換所求問題，將面積最值問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的數(shù)量積的最值問題。此變式改變了問題的呈現(xiàn)方式，代入向量數(shù)量積公式后即可轉(zhuǎn)為求兩個(gè)向量數(shù)量積的最值，解題方法在本質(zhì)上和變式1相同。此變式有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，促進(jìn)知識遷移。

變式3：若題中條件不變，試求[b+2c]的最大值。

分析：本題將例題中的對稱結(jié)構(gòu)[b+c]變?yōu)榉菍ΨQ結(jié)構(gòu)[b+2c]，引發(fā)學(xué)生思考：基本不等式還能求最值嗎？學(xué)生嘗試后發(fā)現(xiàn)，余弦定理構(gòu)建的等量關(guān)系無法直接拼湊出[b+2c]的結(jié)構(gòu)。于是，學(xué)生轉(zhuǎn)換策略，采用邊化角的方法，利用三角函數(shù)求[b+2c]的最值，從而打破思維定式，有效提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.改變例題條件設(shè)置，一題多變

高考試題多源于課本例題或習(xí)題的變式。因此，在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，應(yīng)滲透變式思想，精選例題。通過改變例題條件，發(fā)散學(xué)生思維，提升其創(chuàng)新能力。

［例2］［人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第81頁習(xí)題5.2第8題］已知函數(shù)[f（x）=x22+2x-3lnx]，求[f（x）]的導(dǎo)數(shù)，并求出[f（x）gt;0]的解集。

分析：本題是不含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題，涉及冪函數(shù)和自然對數(shù)函數(shù)，屬于典型的超越函數(shù)求導(dǎo)問題。由于不含參數(shù)，故為定態(tài)問題。

變式1：已知函數(shù)[f（x）=x22+ax-（a+1）lnx]，討論函數(shù)[f（x）]的單調(diào)性。

分析：本題在一次項(xiàng)和對數(shù)函數(shù)前引入?yún)?shù)[a]，將例題中的定態(tài)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的含參數(shù)單調(diào)性問題。相比例題，本題對學(xué)生思維要求更高，凸顯了變式教學(xué)在習(xí)題課中的價(jià)值。討論單調(diào)性時(shí)，需先找到參數(shù)[a]分類討論的分界點(diǎn)，再進(jìn)行討論。對函數(shù)[f（x）]求導(dǎo)得[f（x）=x2+ax-（a+1）x]，分子是一個(gè)可因式分解的二次式結(jié)構(gòu)，且二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)，因此只需討論含參數(shù)的根在定義域內(nèi)的情況以及兩根的大小，即可得出函數(shù)單調(diào)性的情況。

變式2：已知函數(shù)[f（x）=ax22-x+alnx]，討論[f（x）]的單調(diào)性。

分析：本題在二次項(xiàng)和對數(shù)函數(shù)前引入?yún)?shù)[a]，將定態(tài)問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)問題。由于引入?yún)?shù)位置的不同，加大了分類討論的難度。對函數(shù)[f（x）]求導(dǎo)得[f（x）=ax2-x+ax]，分子的二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，需先討論其是否為0。因分子不能因式分解，故需根據(jù)判別式[Δ=1-4a2]小于0、等于0和大于0三種情況，討論一元二次方程根的存在性。同時(shí)，需關(guān)注定義域的端點(diǎn)。具備高階思維的學(xué)生可觀察到，當(dāng)[a][≤0]時(shí)，[f（x）lt;0]恒成立，再進(jìn)一步討論[agt;0]時(shí)的單調(diào)性。

變式3：已知函數(shù)[f（x）=ax22-x+alnx]為單調(diào)遞增函數(shù)，求[a]的取值范圍。

分析：本題基于變式2，明確函數(shù)[f（x）]為單調(diào)遞增函數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，采用變式2的逆向思維。由[f（x）≥0]恒成立，即可求解參數(shù)的取值范圍。

變式4：已知函數(shù)[f（x）=ax22-x+alnx]存在單調(diào)遞增區(qū)間，求[a]的取值范圍。

分析：本題在變式3的基礎(chǔ)上，將恒成立求參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為存在性求參數(shù)問題，突出對比變式思維。由[f（x）gt;0]在定義域內(nèi)有解，即可求解參數(shù)的取值范圍。

例2的變式將定態(tài)問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)問題，解答過程充分運(yùn)用了分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想。在習(xí)題變化中，教師引導(dǎo)學(xué)生突破思維瓶頸，從定態(tài)的函數(shù)單調(diào)性討論提升到動(dòng)態(tài)的函數(shù)單調(diào)性討論，并進(jìn)一步延伸至已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)問題，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，同時(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

“三新”背景下，采取以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的變式教學(xué)策略至關(guān)重要。多樣化變式設(shè)計(jì)不僅能夠幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系，提高解決問題能力和思維能力，而且能夠培養(yǎng)他們的綜合素養(yǎng)，為他們未來的學(xué)習(xí)和生活奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。因此，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和特點(diǎn)，采用變式教學(xué)策略因材施教，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

［" "參" "考" "文" "獻(xiàn)" "］

[1]" 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]" 王傳英.高中數(shù)學(xué)“變式教學(xué)”策略例談[J].基礎(chǔ)教育論壇，2024（4）：77-79.

[3]" 王均芳.“變式教學(xué)”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].試題與研究，2024（2）：153-155.

（責(zé)任編輯" " 黃春香）