摘要：化歸思想作為初中數(shù)學教學中的核心思想之一，在指導(dǎo)和實施過程中扮演著至關(guān)重要的角色.然而，當前在初中數(shù)學教育實踐中，化歸思想的有效融入及滲透程度并不理想，仍面臨一系列挑戰(zhàn)和問題.鑒于此，探討如何在初中數(shù)學教學中實現(xiàn)化歸思想的有效滲透，成為亟待深入研究的課題.為了充分發(fā)揮化歸思想的教育價值并促進學生數(shù)學素養(yǎng)的提升，有必要對化歸思想的教學機制進行深入剖析，探索創(chuàng)新的教學策略，并優(yōu)化教學規(guī)劃，以確?；瘹w思想在教學實踐中的充分落實與應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：化歸思想；初中數(shù)學；教學建議

數(shù)學思想作為數(shù)學學科的核心要素，全面滲透于數(shù)學知識的構(gòu)建、演進及其實際運用的各個環(huán)節(jié)，代表了對數(shù)學原理與方法的深度提煉與綜合概括.相較于僅傳授知識，培養(yǎng)學生的數(shù)學思想認知更為重要，此舉不僅能夠促使學生深化對數(shù)學本質(zhì)的理解，還能顯著提升教學效能.化歸思想作為一種基本策略，在初等代數(shù)與幾何等多個領(lǐng)域展現(xiàn)出廣泛的應(yīng)用價值.因此，深入探討化歸思想，對于指導(dǎo)初中數(shù)學教育實踐而言，意義重大，可為一線教育工作者提供有益見解與啟示.

1方程中的化歸思想

1.1化歸在方程概念中的體現(xiàn)

二元一次方程作為一元一次方程的擴展，其形成背景在于解決含有兩個變量的問題時，通過設(shè)定一個變量表示另一個變量來簡化方程.此過程涉及引入新未知數(shù)，構(gòu)建二元一次方程概念.接著，兩個此類方程聯(lián)立，形成二元一次方程組；三個二元一次方程聯(lián)立，則構(gòu)成三元一次方程組.化歸思想的核心在于將復(fù)雜問題簡化為更易處理的形式，以及將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，以此不斷豐富數(shù)學概念的內(nèi)涵與外延，并促進數(shù)學知識體系的深化與發(fā)展.

1.2化歸在方程求解中的體現(xiàn)

在探討二元一次方程組的學習過程中，學生的先前知識已涵蓋對“元”及“次數(shù)”概念的理解，特別是在解決一元一次方程時的運用，為深入理解二元一次方程組提供了理論基礎(chǔ).單一的二元一次方程的存在表明方程組的解有無數(shù)個，凸顯兩未知數(shù)間的直接聯(lián)系，為將二元方程組簡化至一元提供基礎(chǔ).解二元一次方程組的關(guān)鍵在于逐步消減未知數(shù)，教材對此有深入講解.這一解題過程充分體現(xiàn)了化歸思想，即將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，通過分步求解最終得到問題的答案.在教材中提供了兩種解二元一次方程組的方法，分別是代入消元法和加減消元法.

例1用代入消元法解方程組x+y＝10①，

2x+y＝16②.

解析：由①得x＝10-y ③，把③代入②，得2（10-y）+y＝16.

解這個方程，得y＝4.

把y＝4代入③，得x＝6.

綜上，這個方程組的解為x＝6，

y＝4.

通過詳盡剖析方程①與方程②可知，消除y系數(shù)需要方程②與方程①相減，得出x的值之后，把求出的x值代入到方程①或者方程②中求出y值.當未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時，如方程組x+2y＝10①，

3x-2y＝-1②，兩式相加即可消掉 y ，剩余步驟同上.在探討方程組求解策略時，一種核心方法是通過對兩個方程進行加法或減法的數(shù)學操作，其主要目標在于從方程組中消除一個未知數(shù)，進而簡化方程組的結(jié)構(gòu)，將其轉(zhuǎn)化為僅含單一未知數(shù)的線性方程，便于直接求解.此技術(shù)手段在學術(shù)領(lǐng)域被正式命名為“加減消元法”.當面對方程組中不存在直接可用來消元的相反或相同系數(shù)時，如方程組5x+2y＝25①，

3x+4y＝15②，可以策略性地引入或設(shè)定未知系數(shù)成為輔助求解的關(guān)鍵步驟.具體而言，若方程組內(nèi)某未知數(shù)的系數(shù)既不呈現(xiàn)相同也不具備相反關(guān)系，則可采取如對方程①進行兩倍放大后，再從中減去方程②的操作，以此策略來消除未知數(shù)y，從而達成求解的目的.無論選擇代入法還是加減消元法，其核心理念均聚焦于減少未知數(shù)的個數(shù)，將原本復(fù)雜的二元方程組問題簡化為更為直接的一元一次方程求解問題.［1］此解題路徑深刻彰顯了化歸思想的精妙之處，即巧妙地將二元方程系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為單一方程系統(tǒng)，以此實現(xiàn)求解過程的簡化與優(yōu)化.

解分式方程的核心策略是把分式方程轉(zhuǎn)變?yōu)檎椒匠?解出整式方程的解之后，必須驗證解的有效性，確保分母不能為零.去分母的方法充分體現(xiàn)了化歸思想在解分式方程中的應(yīng)用.

在處理一元二次方程時，其核心目標聚焦于方程的簡化和形態(tài)轉(zhuǎn)換，這一過程往往依賴于配方法或因式分解法的運用，以達成將原方程轉(zhuǎn)變?yōu)橐子谔幚淼囊辉淮畏匠绦问降哪康?當方程展現(xiàn)出完全平方（ax ± b）2＝m 的形式時，利用平方根的基本數(shù)學屬性，可以直接將原二次方程拆解為兩個相互獨立的一次方程.［2］緊接著，對這兩個一次方程分別進行求解，所得結(jié)果即為原二次方程的兩個根.

例2解下列方程.

（1）2x2+1＝3x.

（2）5x2-2x-14＝x2-2x+34.

通過細致審視所列的兩個等式，可以直觀地認識到其與一般形式存在差異.在求解過程中，第一個步驟是實施移項操作，即將所有涉及未知數(shù)的項放在方程的左側(cè)，而將常數(shù)項留于方程的右側(cè)；第二個步驟是采用配方法或因式分解等方法執(zhí)行“降次”處理，將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程.

（1）解析：移項，得2x2-3x＝-1.

二次項系數(shù)化為1，得x2-32x＝-12.

配方，得x2-32x+342＝-12+342，

即x-342＝116.

由此可得x-34＝±14.

所以x1＝1，x2＝12.

（2）解析：移項、合并同類項，得4x2-1＝0.

因式分解，得（2x+1）（2x-1）＝0.

得2x+1＝0或2x-1＝0.

所以 x1＝-12， x2＝12.

經(jīng)由對前兩個示例的解析，揭示了解二次方程時需掌握移項、合并同類項與因式分解等數(shù)學知識，以便將二次方程轉(zhuǎn)換為可求解的一次方程.

解無理方程的核心策略：先將方程兩邊同步平方或者是通過換元法將無理方程轉(zhuǎn)換為有理方程來解方程，如2x-3＝x-3，將等號兩邊平方，得2x-3＝（x-3）2，再化簡移項可得二次方程 x2-8x+12＝0，最后解二次方程.無理方程轉(zhuǎn)為有理方程是轉(zhuǎn)化與化歸的核心步驟.

這些方程的解題過程無不滲透著化歸思想，是在初中數(shù)學教學中應(yīng)用化歸思想的典型例子.

2圖形與幾何中的化歸思想

在初中數(shù)學的“圖形與幾何”章節(jié)里，化歸思想的運用隨處可見.本節(jié)將從不同角度切入，討論這一點.

2.1四邊形與三角形的轉(zhuǎn)化

2.1.1四邊形問題轉(zhuǎn)化為全等三角形證明

在初中數(shù)學范疇內(nèi)，三角形與四邊形是最重要的兩個基礎(chǔ)平面幾何圖形.其中，四邊形的類別包括但不限于平行四邊形、矩形、菱形與正方形.在掌握三角形基本理論后，解決四邊形相關(guān)問題時，三角形原理成為關(guān)鍵工具.在平行四邊形性質(zhì)的深入研究中，其核心任務(wù)聚焦于驗證該圖形對邊等長且對角相等的特性.為達成此目標，教師采用引入輔助線的技巧，巧妙地構(gòu)建出兩個三角形（如圖1），并嚴格依據(jù)三角形全等的判定準則，展開了周密的邏輯論證.為進一步證實平行四邊形對角線相互平分的屬性，沿用前述策略框架，即借助三角形全等原理（如圖2），通過系統(tǒng)的邏輯推導(dǎo)，實現(xiàn)了對該性質(zhì)的證明.此外，菱形與正方形的特性亦可通過三角形全等的原理得以證明.［3］

在幾何學領(lǐng)域，四邊形與三角形之間存在互補關(guān)系，彼此間的問題能夠相互轉(zhuǎn)化，形成一種動態(tài)的交互模式.三角形問題的解決策略往往可以轉(zhuǎn)換為四邊形問題.在探討數(shù)學中的幾何證明時，利用直角三角形斜邊上的中線特性，即其長度恰好為斜邊長度的一半，這一結(jié)論可巧妙地借助矩形的固有屬性來加以驗證.同樣地，三角形中位線定理的闡釋，則巧妙地轉(zhuǎn)化為了對平行四邊形性質(zhì)的運用，從而實現(xiàn)了定理的證明.以下，聚焦于三角形中位線定理的實例，展示如何通過構(gòu)造四邊形（特別是平行四邊形）的策略，實現(xiàn)從三角形問題向四邊形問題的自然過渡與化歸.

2.1.2三角形的中位線轉(zhuǎn)移至平行四邊形的問題

三角形的中位線與其相對的第三邊平行，且其長度正好是第三邊長度的二分之一.將此幾何原理轉(zhuǎn)化為如下數(shù)學問題.

問題如圖3所示，D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點.求證：DE//BC ，且DE＝12BC.

解題思路：本題要證明D、E兩點構(gòu)成的線段與BC平行，且DE的長度為BC的一半.如圖4所示，依據(jù)平行四邊形的基本屬性，通過延長DE至點F，使得DE＝EF，進而連接FC，以構(gòu)成一個平行四邊形DBCF.這一操作巧妙地將原問題轉(zhuǎn)化為證實DF與BC相等.鑒于E是AC的中點，可以推斷出AE＝EC.通過將AC與DF作為對角線構(gòu)建平行四邊形ADCF，把目標變?yōu)榇_認四邊形DBCF是否具備平行四邊形的特征.

2.1.3中點四邊形問題化歸為三角形中位線定理解決

學完三角形中位線定理后，研究中點四邊形就成了化歸對象.要實現(xiàn)這一目標，三角形的中位線無疑是最關(guān)鍵的轉(zhuǎn)化要素.此策略旨在通過將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為學生已掌握的概念，進而促進抽象思維能力和綜合解決問題技巧的提升.

問題如圖5所示，在正方形ABCD中，每條邊的中點分別是E、F、G、H，分析這個四邊形是什么四邊形.

審視題目所給條件，已知正方形ABCD各邊的中點分別標記為E、F、G、H.基于三角形中位線定理的啟示，證實其能夠構(gòu)成一個平行四邊形.隨后，依托正方形的固有屬性，可以得出EH＝HG，且∠EHG＝90°.至于四邊形EFGH是否嚴格滿足正方形的定義，關(guān)鍵在于能否精巧地構(gòu)建與之相關(guān)的三角形體系，并精確運用三角形中位線定理進行驗證，以全面確認其具備四邊等長且四角均為直角的正方形本質(zhì)特征.

解析：四邊形EFGH是一個正方形，理由如下.

如圖6所示，連接 AC、BD.

∵E、F、G、H分別是正方形ABCD 各邊的中點，

∴由三角形的中位線定理可得 EH∥BD，EF∥AC.

∴四邊形EFGH是一個平行四邊形.

∵四邊形ABCD 是一個正方形，

∴AC＝BD，且 AC⊥BD.

∴EH＝HG，且 EH⊥HG.

∴四邊形EFGH是一個正方形.

2.2將多邊形的內(nèi)角和等效化歸為三角形的內(nèi)角和

在人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學八年級上冊》第十一章《三角形》的教學內(nèi)容里，驗證三角形內(nèi)角和為180°的過程利用了度量和剪拼的方法，如圖7所示.然而，鑒于實際操作中的測量誤差，對于這一結(jié)論的嚴格性提出了質(zhì)疑.因此，有必要引入嚴謹?shù)臄?shù)學證明來支撐這一命題.仔細審視拼接后的圖形，可以清晰地觀察到∠B′、∠C′和∠A這三個內(nèi)角合并后構(gòu)成了一個平角.在此基礎(chǔ)上，引入一條通過點A的直線l，這一構(gòu)造不僅直觀地展現(xiàn)了三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，還引發(fā)了對直線l與△ABC的邊BC之間關(guān)系的深入思考.

基于上述拼合法的啟示，可采取策略：自△ABC的頂點A引出一條直線l，使之與△ABC的邊BC保持平行.借助平行線的性質(zhì)以及對平角定義的深入理解，能有效論證三角形內(nèi)角總和恰為180°.此過程巧妙地融合了化歸方法，通過構(gòu)造平行線以生成內(nèi)錯角或同位角，將三角形內(nèi)角和定理的證明轉(zhuǎn)化為直觀地應(yīng)用平行線性質(zhì)的問題，簡化了解題路徑.

基于三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，探索并證明了多邊形內(nèi)角和的可能性與計算方法.具體操作步驟如下：通過繪制輔助線，將多邊形分解為多個三角形.由此，原問題得以轉(zhuǎn)化為計算各個三角形內(nèi)角和的任務(wù).

在小學階段，學生已學習到特殊四邊形如正方形及長方形的內(nèi)角和為360°.探究任意四邊形的內(nèi)角和是否同樣等于360°，這個問題可以通過應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理來解答.通過將任意四邊形分割成兩個三角形，可以直觀地驗證這一結(jié)論.實現(xiàn)這一分割的方法僅需連接四邊形內(nèi)部的一條對角線.此過程不僅證實了任意四邊形的內(nèi)角和為360°，同時也展示了幾何形狀間內(nèi)在聯(lián)系與轉(zhuǎn)換的原理.

接下來，探討五邊形與六邊形的內(nèi)角和特性，采用與四邊形相似的分析方法.如圖8所示，通過在五邊形的一個頂點處繪制一條對角線，能夠?qū)⒃摱噙呅畏指畛扇齻€三角形；對于六邊形而言，這一操作則會導(dǎo)致其被劃分為四個三角形.基于此，僅需計算并記錄三角形的數(shù)量，即可據(jù)此推算出相關(guān)多邊形的內(nèi)角和.

因此，按照這種方法，由選取多邊形的一個頂點并繪制相應(yīng)的對角線，進一步計數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)量，進一步歸納總結(jié)，導(dǎo)出多邊形內(nèi)角和的表達式為180°×（n-2）.

2.3不規(guī)則圖形化歸為規(guī)則圖形

2.3.1通過實施平移操作，可將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形

平移操作常出現(xiàn)在日常生活與初中數(shù)學的教學中.借助于這一幾何變換，復(fù)雜形狀可以通過轉(zhuǎn)化為更簡潔的形式來簡化問題解決過程.以計算平行四邊形面積為例，這一任務(wù)可通過平移方法轉(zhuǎn)化為求解矩形面積的問題（如圖9）.此操作策略實質(zhì)上揭示了平行四邊形面積計算的理論依據(jù)，即平行四邊形面積公式S＝ah的推導(dǎo)原理.

除特殊情況外，日常生活中的諸多非規(guī)則幾何形體問題，也是經(jīng)由平移操作轉(zhuǎn)換為規(guī)則圖形問題，實現(xiàn)有效解決之道.

例1圖10呈現(xiàn)了一處矩形草地的具體情境，該草地被明確界定為長度am、寬度bm.在這片矩形區(qū)域內(nèi)，蜿蜒穿行著一條小徑，其左側(cè)邊界緊密地平行于矩形的右側(cè)邊緣，且當此左側(cè)邊界整體向右側(cè)方向移動1m時，恰好與矩形的右側(cè)邊緣相重合.為了精確衡量該草地的實際綠化面積，即排除小徑所占用的空間后剩余的草地面積，需要執(zhí)行一系列必要的計算步驟.

解析：本題的核心挑戰(zhàn)在于精確計算草地中實際可綠化區(qū)域的面積，這一面積具體涵蓋了小徑兩側(cè)非規(guī)則形狀綠地的總面積.為了化繁為簡，我們采取了平移的策略，具體操作為將左側(cè)草地整體沿其邊界向右平移1m，直至無縫銜接至右側(cè)草地邊緣，從而形成一個規(guī)則的矩形區(qū)域（如圖11）.在此矩形中，寬度保持為不變，而由于平移過程，其長度縮短為（a-1） m.基于這一矩形的具體尺寸，我們便能直接推導(dǎo)出綠地總面積的計算公式為［（a-1）×b］ m2.

2.3.2使用割補法將平面直角坐標系內(nèi)三角形的面積化歸為規(guī)則圖形的面積

在人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學七年級下冊》第七章《平面直角坐標系》中，涉及計算三角形面積.假如三角形的邊與坐標軸平行，學生通?？梢允炀殤?yīng)對.不過，一旦遇到?jīng)]有邊與坐標軸平行且不落在坐標軸上的不規(guī)則三角形，倘若學生不能運用好勾股定理來確定三角形的邊長，計算三角形面積的難度和挑戰(zhàn)性就會大大增加.在這種情況下，先將不規(guī)則的三角形分割成幾個規(guī)則圖形，或者通過添補的方式將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，再進行面積計算.這樣一來，原本棘手的問題就變得簡單易解了.

例2如圖12，△ABC 的三個頂點的坐標分別是A（0，-2），B（2，4）， C（5，3），求△ABC的面積.

分析：求解三角形面積時，需確定底與高.此題中，三角形底及高都不在坐標軸且不平行.因此直接求它們的長度有一定難度.面對這種情況，可以考慮采用補形法或分割法.

補形法的思路是：先將給定的三角形填補成一個較容易計算面積的規(guī)則圖形，如矩形或平行四邊形；再用這個規(guī)則圖形的面積減去填補部分的面積，就得到了原三角形的面積.

分割法的思路則是：先將給定的三角形按照一定的方式分割成幾個規(guī)則圖形，如直角三角形或特殊三角形等；然后分別計算這些規(guī)則圖形的面積；最后將各部分相加，就得到了原三角形的面積.

無論是補形法還是分割法，其核心均在于運用化歸思想，將不規(guī)則三角形面積問題化為規(guī)則圖形面積計算，簡化求解過程.這種化繁為簡的處理方式，能夠幫助我們更好地分析問題，尋找解題思路，得到最終答案.

方法1：補形法.

如圖13所示，將△ABC 填補成四邊形ADEF，則△ABC的面積等于四邊形ADEF的面積減去△ADB、△BEC、△ACF面積的差值.

S△ABC ＝S四邊形ADEF-S△ADB-S△BEC-S△ACF

＝6×5-12×6×2-12×3×1-12×5×5

＝10.

方法2：分割法.

如圖14所示，將△ABC分割成△ADB和△BDC，則△ABC 的面積是△ADB和△BDC 的面積之和.

S△ABC ＝S△ADB+S△BDC

＝12×4×2+12×4×3

＝10.

2.4一般情況化歸為特殊情況

在中學的幾何學習范疇內(nèi)，特殊化策略被頻繁運用于求解問題.此策略的核心在于，先深入探索特定情況下的問題解決途徑，進而提煉出適用于更為廣泛情境的方法.該方法為幾何難題提供了一種新穎的解決思路.以

人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學九年級上冊》

中第二十四章“圓周角定理”為例，該章節(jié)明確指出圓周角與對應(yīng)的圓心角之間的關(guān)系，即圓周角等于其對應(yīng)圓心角的一半.這一實例生動地展示了特殊化策略是如何實現(xiàn)從普遍性原則到具體問題解決的轉(zhuǎn)換過程.

在⊙O任取一個圓周角，如∠BAC，沿AO所在直線將圓對折，由于點 A 的位置不同，會出現(xiàn)三種情況（如圖15）：圓周角與圓心角之間有一條邊重合；圓心角在圓周角的內(nèi)部；圓心角在圓周角外部.

在這三種情況中，第一種尤為特殊，后兩者則可通過構(gòu)造輔助線被簡化為第一種情況.故而，證實圓周角定理的核心，聚焦于確認當邊共線時結(jié)論有效.

在第一種情況中，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠C.

又∠BOC是三角形AOC的一個外角，

∴根據(jù)三角形外角定理，∠BOC＝∠A+∠C.

結(jié)合這兩個結(jié)論，可以得到∠A＝12∠BOC，即圓周角等于它所對的圓心角的一半.

對于第二種和第三種情況，可以添加輔助線，如圖16所示.通過巧妙地添加輔助線，將一般情況化歸為特殊情況，從而完成了圓周角定理的證明.這充分體現(xiàn)了化歸思想在幾何證明中的重要作用.

化歸思想在初中數(shù)學中的應(yīng)用廣泛且深入.在學習過程中，將新問題視為化歸對象，目標是將其轉(zhuǎn)化成已掌握的公式、定理等基本元素.這一策略有助于將復(fù)雜問題簡化為可解決的形式，從而實現(xiàn)未知到已知的轉(zhuǎn)變.掌握化歸思想，能增強學生對知識間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的理解，顯著提升其問題分析與解決能力.此舉不僅強化了學生對數(shù)學知識的掌握，更為其后續(xù)解決實際問題提供了堅實的基礎(chǔ).

3結(jié)語

在數(shù)學教學中，化歸思想雖然被普遍應(yīng)用，但多浮于表面，缺乏系統(tǒng)性和深度研究.教師常采用單一策略，如問題討論、師生互動、多媒體展示等，忽視了多樣化滲透的必要性.因此，教師不僅需要在習題講解與新知識構(gòu)建中強調(diào)化歸思想，還需在課程導(dǎo)入與總結(jié)環(huán)節(jié)深化其應(yīng)用，避免學生對化歸意識的輕視.本研究立足初中數(shù)學教材中化歸思想的分析，在梳理前人研究成果的基礎(chǔ)上，針對化歸思想在初中數(shù)學教學中的融入提出了一些建設(shè)性意見.

參考文獻

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