摘要：在函數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生函數(shù)概念的認(rèn)知水平，直接決定了高中函數(shù)知識(shí)的理解和掌握情況，也是影響學(xué)生函數(shù)解題能力的主要因素.本文結(jié)合函數(shù)解題教學(xué)實(shí)踐，對(duì)基于函數(shù)概念認(rèn)知情況的解題教學(xué)模式進(jìn)行了詳細(xì)的探究，獲得了一些結(jié)論.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)概念認(rèn)知；函數(shù)解題

縱觀整個(gè)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)體系，函數(shù)內(nèi)容貫穿其中，并占據(jù)十分重要的地位.同時(shí)，函數(shù)也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，在考試中占據(jù)很大的比例，且考查的題目類型靈活多變，常常與其他的內(nèi)容綜合到一起.在傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，常常寄希望于“題海戰(zhàn)術(shù)”模式，旨在借助大量的函數(shù)解題訓(xùn)練，提升學(xué)生的函數(shù)解題能力.但在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，“題海戰(zhàn)術(shù)”效果不甚理想，學(xué)生常常因?yàn)楦拍畈磺宓葐?wèn)題，導(dǎo)致其在解題時(shí)面臨諸多困難，甚至導(dǎo)致其成績(jī)忽高忽低.同時(shí)，“題海戰(zhàn)術(shù)”的訓(xùn)練模式也在很大程度上增加了高中生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).“雙減”背景下，部分教師開始意識(shí)到學(xué)生的函數(shù)概念認(rèn)知與數(shù)學(xué)解題之間的關(guān)系，并嘗試提升學(xué)生函數(shù)概念認(rèn)知水平，強(qiáng)化學(xué)生的函數(shù)解題教學(xué)，從而培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)解題能力.

1函數(shù)概念認(rèn)知與高中函數(shù)解題研究

1.1基于函數(shù)概念，直接解決問(wèn)題

在高中函數(shù)這一部分內(nèi)容學(xué)習(xí)中，概念是基礎(chǔ)和關(guān)鍵，直接影響了學(xué)生的解題能力.尤其是部分函數(shù)題目，難度系數(shù)比較低，基本上都是緊緊圍繞函數(shù)概念設(shè)置的，學(xué)生只要掌握函數(shù)概念，吃透概念，就可以順利解答.

例1求函數(shù)y=x-｜1-x｜的單調(diào)增區(qū)間.

分析：這一函數(shù)題目相對(duì)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生只要對(duì)函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)概念吃透，即可結(jié)合概念知識(shí)，通過(guò)該函數(shù)圖象（如圖1）的輔助，順利找到該題目的答案，即（-∞，1］.可以說(shuō)，在這一題目中，學(xué)生對(duì)相關(guān)概念的認(rèn)知情況，直接決定了學(xué)生的解題效果，唯有徹底理解和掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，才能高效、正確地解答這一問(wèn)題.

例2已知函數(shù)y=f（2x＋1）的定義域是（1，5），求解函數(shù)y=f（x-3）的定義域.

分析：這一道數(shù)學(xué)題目看似非常簡(jiǎn)單，是對(duì)函數(shù)概念的考查，但是多數(shù)學(xué)生在解答問(wèn)題時(shí)，常常因?yàn)楦拍罾斫獠磺?，?dǎo)致其在解題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤的解題思路，即y=f（2x＋1）的定義域是（1，5），因此1＜2x＋1＜5，解得0＜x＜2，即y=f（x-3）的定義域?yàn)椋?3，-1）.也有的學(xué)生在解題時(shí)，認(rèn)為1＜x＜5，因此，3＜2x＋1＜11，所以y=f（x-3）的定義域?yàn)椋?，8）.其實(shí)這兩種解題思路都是錯(cuò)誤的，其根本原因就是概念理解不清.針對(duì)y=f（x）與y=f（2x＋1）的概念認(rèn)知不夠清楚，學(xué)生唯有理解這一概念，明確函數(shù)y=f（x）中，x具備兩重身份，即x不僅僅是自變量，還是法則f作用的對(duì)象.如此，基于這一函數(shù)概念，就可明確2x＋1和x-3的范圍是一致的，因?yàn)?＜x＜5，所以3＜2x＋1＜11，3＜x-3＜11，即6＜x＜14，因此得出函數(shù)y=f（x-3）的定義域?yàn)椋?，14）.

例3已知函數(shù)f（x）=ex（2x-1）-ax＋a，其中a＜1，如果存在唯一整數(shù)x0，使得f（x0）＜0，那么a的取值范圍應(yīng)該是多少？

分析：這一題目建立在函數(shù)概念基礎(chǔ)之上，學(xué)生唯有真正內(nèi)化、理解了相關(guān)的概念，才能在解題的時(shí)候，從不同的角度進(jìn)行思考，最終找出具體的解題方法.根據(jù)題目含義可知，要使得f（x）=ex（2x-1）-ax＋a＜0存在唯一整數(shù)解為x0，則ex0（2x0-1）-ax＋a＜0.假設(shè)g（x）=ex（2x-1），h（x）=ax-a，則g′（x）=ex（2x＋1），因此，在區(qū)間-∞，-12上，g（x）單調(diào)遞減；在區(qū)間-12，+∞上，g（x）單調(diào)遞增，因此h（0）＞g（0），h（-1）≤g（-1），最終得出32e≤a＜1.

1.2深挖隱藏的函數(shù)關(guān)系，簡(jiǎn)化函數(shù)問(wèn)題

在高中函數(shù)問(wèn)題中，部分函數(shù)問(wèn)題難度相對(duì)比較大.面對(duì)這一現(xiàn)狀，唯有增強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，引導(dǎo)學(xué)生在明確的函數(shù)概念認(rèn)知中，厘清函數(shù)中存在的關(guān)系，才能在解題時(shí)深挖其中蘊(yùn)含的函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)化，最終達(dá)到解決函數(shù)問(wèn)題的目的.［1］

例4設(shè)g（x）=mx2＋x＋1.

（1）若g（x）的定義域?yàn)镽，求m的取值范圍.

（2）若g（x）的值域是［0，＋∞］，求m的取值范圍.

分析：這一類型的函數(shù)題目在考試中占據(jù)的比例比較大，并且具備一定的難度，對(duì)學(xué)生的要求相對(duì)比較高，唯有全面、深刻掌握相關(guān)的函數(shù)概念，在對(duì)其內(nèi)化的基礎(chǔ)上，融入一定的分類討論思想，方可進(jìn)行正確解答.

在對(duì)第（1）問(wèn)進(jìn)行解答的時(shí)候，根據(jù)相關(guān)的函數(shù)概念，以及題目中的已知條件可知，f（x）=mx2＋x＋1≥0恒成立.在這一條件下，融入分類討論思想，當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x＋1≥0不恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，要想滿足題意，必須滿足兩個(gè)條件，即m＞0，

Δ=1-4m≤0，解方程組可得m≥14，最終可求出m的取值范圍，即m∈14，＋∞.

在對(duì)第（2）問(wèn)進(jìn)行解答的過(guò)程中，學(xué)生也必須建立在深厚的概念基礎(chǔ)之上，對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行內(nèi)化，并結(jié)合題目得出f（x）=mx2＋x＋1能夠取得大于或者等于0的所有實(shí)數(shù).當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x＋1≥0，能夠取得所有大于或者等于0的實(shí)數(shù)；當(dāng)m≠0時(shí)，要想滿足題意的要求，則有m＞0，

Δ=1-4m≥0，解得0＜m≤14.綜上所述，m的取值范圍為0，14.

1.3基于函數(shù)圖象，優(yōu)化函數(shù)解題

在高中函數(shù)解題中，圖象是最為重要的輔助工具.同時(shí)，函數(shù)圖象也是學(xué)生函數(shù)概念認(rèn)知能力的具體體現(xiàn).鑒于此，在指導(dǎo)學(xué)生解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，必須結(jié)合必要的函數(shù)概念知識(shí)，再結(jié)合一定的函數(shù)圖象分析，從中得出正確的答案.

例5求不等式16-x2＋8x-x2＞4的解集.

分析：這一道函數(shù)問(wèn)題與不等式知識(shí)進(jìn)行了有效的融合.從總體上來(lái)說(shuō)，這一問(wèn)題的難度系數(shù)不大，但是在解答時(shí)學(xué)生需要具備扎實(shí)的函數(shù)概念知識(shí)，能夠結(jié)合函數(shù)內(nèi)容，準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，并以此作為切入點(diǎn)進(jìn)行解題.解答過(guò)程中，可先對(duì)原來(lái)的不等式進(jìn)行變形，得到16-x2＞4-8x-x2.之后，令y1=16-x2，y2=4-8x-x2.

通過(guò)所求不等式的兩次變形之后，可得出x2＋y21=16（y1≥0），（x-4）2＋（y2-4）2=16（y2≤4）.

在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答時(shí)，學(xué)生唯有具備扎實(shí)的函數(shù)概念知識(shí)，才能結(jié)合這兩個(gè)函數(shù)的解析式，將其圖象（如圖2）準(zhǔn)確地畫出來(lái)，隨即結(jié)合圖形觀察，即可得出不等式對(duì)應(yīng)的解集為｛x|0＜x＜4｝.

1.4基于函數(shù)性質(zhì)，優(yōu)化函數(shù)解題

在高中函數(shù)學(xué)習(xí)中，性質(zhì)是函數(shù)概念的拓展和延伸，也屬于基本的函數(shù)知識(shí)，是學(xué)生解答函數(shù)問(wèn)題的重要工具.一旦學(xué)生在解題的時(shí)候，出現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)不明的現(xiàn)象，就會(huì)導(dǎo)致解題思維受到限制.

例6設(shè)函數(shù)f（x）=ln｜2x＋1｜-ln｜2x-1｜，該函數(shù)（）.

A. 是偶函數(shù)，且在12，＋∞上單調(diào)遞增

B. 是奇函數(shù)，且在-12，12上單調(diào)遞減

C. 是偶函數(shù)，且在-∞，-12上單調(diào)遞增

D. 是奇函數(shù)，且在-∞，-12上單調(diào)遞減

分析：這是一道非常典型的函數(shù)問(wèn)題，學(xué)生在解答的時(shí)候，需要深刻掌握相關(guān)的函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)等，并在此基礎(chǔ)上，結(jié)合題目條件，在函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，結(jié)合f（x）和f（-x）的關(guān)系對(duì)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行判斷，結(jié)合函數(shù)自變量的取值范圍，對(duì)函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化，并將其單調(diào)性質(zhì)和符合函數(shù)“同增異減”的性質(zhì)，對(duì)函數(shù)的單調(diào)性展開判斷.因此，在該題目中，結(jié)合已有條件得出f（x）的定義域?yàn)閤x≠±12.結(jié)合定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的已知條件，得f（-x）=ln｜-2x＋1｜-ln｜-2x-1｜=ln｜2x-1｜-ln｜2x＋1｜=-f（x），由此可判斷出該函數(shù)在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)，對(duì)x∈-12，12時(shí)，函數(shù)f（x）的增減性進(jìn)行判斷，結(jié)果顯示該函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)x∈-∞，-12時(shí)，函數(shù)f（x）在該區(qū)間單調(diào)遞減.綜上所述，可得出正確的選項(xiàng)為D.

2函數(shù)概念認(rèn)知在函數(shù)解題應(yīng)用中的教學(xué)啟示

結(jié)合上述分析，不難發(fā)現(xiàn)在高中函數(shù)問(wèn)題解答中，學(xué)生的函數(shù)概念認(rèn)知情況直接決定了函數(shù)解題的效果.實(shí)踐證明，全面提升學(xué)生的函數(shù)概念認(rèn)知水平，可提升學(xué)生的符號(hào)化水平，使得學(xué)生在解題時(shí)，能夠?qū)?shù)字、文字、圖象等進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以便迅速掌握題目的核心，牢牢把握函數(shù)題目的重點(diǎn)內(nèi)容，進(jìn)而在短時(shí)間內(nèi)形成明確的解題思路.［2］可以說(shuō)，在高中函數(shù)解題教學(xué)中，學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)知水平，直接決定了學(xué)生的解題水平.

2.1發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念在整個(gè)高中函數(shù)學(xué)習(xí)中，概念構(gòu)建起了整個(gè)框架，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，唯有深刻理解數(shù)學(xué)概念，

構(gòu)建系統(tǒng)化的知識(shí)體系，才能更好地開展解題.［3］鑒于此，高中數(shù)學(xué)教師必須轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的函數(shù)概念教學(xué)模式，借助問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生在自主探究中，經(jīng)歷函數(shù)概念的生成、發(fā)展過(guò)程，最終在深度學(xué)習(xí)過(guò)程中，深刻把握數(shù)學(xué)概念知識(shí).

2.2加深函數(shù)概念知識(shí)的理解

在高中函數(shù)概念教學(xué)中，為了提升學(xué)生的函數(shù)概念感知力，教師在開展概念教學(xué)時(shí)，不僅僅要借助問(wèn)題的引導(dǎo)，幫助學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，構(gòu)建新的函數(shù)概念，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行深度解讀，關(guān)注函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞，以便于學(xué)生更好地理解函數(shù)概念.［4］同時(shí)，鑒于函數(shù)概念涉及的知識(shí)面比較廣，學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候，常常出現(xiàn)理解不到位的現(xiàn)象，必須圍繞函數(shù)概念核心，結(jié)合其關(guān)鍵詞，從多個(gè)層面進(jìn)行引導(dǎo)，使得學(xué)生在多角度的剖析中，對(duì)函數(shù)概念知識(shí)形成全面、深刻的理解，真正掌握函數(shù)概念的本質(zhì).

2.3加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用函數(shù)的概念具備極強(qiáng)的連貫性，在提升學(xué)生函數(shù)概念認(rèn)知力時(shí)，如果只是簡(jiǎn)單地講解概念，學(xué)生的函數(shù)認(rèn)知力僅限于表層，難以對(duì)其形成深刻的理解.鑒于此，在優(yōu)化函數(shù)概念教學(xué)時(shí)，必須提升函數(shù)的實(shí)用性，結(jié)合具體的函數(shù)概念，精心選擇實(shí)例，以便于學(xué)生在函數(shù)概念的實(shí)例應(yīng)用中，形成深刻地感悟和理解.需要說(shuō)明的是，在選函數(shù)概念應(yīng)用實(shí)例時(shí)，還應(yīng)立足函數(shù)概念的連貫性，既要包括對(duì)舊知識(shí)的復(fù)習(xí)，還應(yīng)關(guān)注函數(shù)概念的拓展，確保學(xué)生在函數(shù)概念的應(yīng)用中，逐漸形成系統(tǒng)化的知識(shí)體系.［5］

3結(jié)語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)體系中，函數(shù)解題尤為重要，同時(shí)也是教學(xué)的重難點(diǎn).鑒于當(dāng)前高中函數(shù)解題教學(xué)的現(xiàn)狀，高中數(shù)學(xué)教師在優(yōu)化函數(shù)解題教學(xué)時(shí)，應(yīng)立足學(xué)生函數(shù)概念認(rèn)知能力與解題之間的關(guān)系，重視函數(shù)概念的教學(xué)，優(yōu)化函數(shù)概念教學(xué)的手段，使得學(xué)生在函數(shù)概念的生成、發(fā)展、應(yīng)用探究活動(dòng)中，逐漸形成極強(qiáng)的函數(shù)感知能力.只有做到這一點(diǎn)，才能在解題的時(shí)候，靈活利用函數(shù)概念、性質(zhì)和圖象等解題工具，不斷提升自身的函數(shù)問(wèn)題解決能力.

參考文獻(xiàn)

［1］張坤.關(guān)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法舉例探索［J］.數(shù)理化解題研究，2022（27）：56-58.

［2］蔡洪洪.淺談高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法［J］.數(shù)理化解題研究，2021（24）：16-17.

［3］甘德學(xué).例析高中函數(shù)性質(zhì)在解題中的活用［J］.高中數(shù)理化，2020（18）：4.

［4］張繼潤(rùn).函數(shù)概念認(rèn)知對(duì)高中數(shù)學(xué)解題的影響——以函數(shù)為例［J］.考試周刊，2020（17）：119-120.

［5］余文.利用圖象特征巧解高中數(shù)學(xué)函數(shù)題研究［J］.成才之路，2019（27）：57-58.