摘要：圓錐曲線是平面解析幾何的重要組成部分，是高考數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)之一，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算和思維有著較高的要求.這部分知識(shí)繁多且復(fù)雜，對(duì)學(xué)生具有極大的挑戰(zhàn).傳統(tǒng)的教學(xué)使學(xué)生處于被動(dòng)接受中，不利于學(xué)生深入了解知識(shí)的本質(zhì).新課標(biāo)中對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的要求，積極推廣并實(shí)施新的教學(xué)方法，以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、大膽探索、合作交流的學(xué)習(xí)方式，變式教學(xué)與課程改革理念中所強(qiáng)調(diào)的學(xué)生能力培養(yǎng)要求相契合.因此，變式教學(xué)在圓錐曲線的教學(xué)中具有關(guān)鍵性作用.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；圓錐曲線；變式教學(xué)；教學(xué)策略

圓錐曲線的理論知識(shí)點(diǎn)繁多，對(duì)于高中學(xué)生來(lái)講，面臨的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)沉重，且必須在有限的時(shí)間掌握，因此掌握高效的學(xué)習(xí)策略顯得格外重要.采取多樣化的學(xué)習(xí)方式來(lái)應(yīng)對(duì)圓錐曲線的課題，可以幫助學(xué)生徹底掌握已學(xué)的知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生積極掌握數(shù)學(xué)概念，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的歷程中掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)提升對(duì)數(shù)學(xué)這門學(xué)科的自信.經(jīng)深入剖析圓錐曲線變式教學(xué)實(shí)踐中的問(wèn)題及其根本原因，本文依據(jù)教師和學(xué)生這兩個(gè)視角提出了如下對(duì)策.

1加強(qiáng)集體備課，分享教學(xué)經(jīng)驗(yàn)

圓錐曲線在高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中占據(jù)了重要地位，對(duì)于學(xué)生而言，它不僅富有挑戰(zhàn)性，還對(duì)學(xué)生的思維能力提出了較高的要求.教師對(duì)教育理念的領(lǐng)悟及施教手法皆不盡相同，集體備課成為一個(gè)互通有無(wú)的舞臺(tái)，教師借此交流心得，集思廣益，進(jìn)而促成小幅調(diào)整促發(fā)深刻轉(zhuǎn)變，以期獲得更優(yōu)質(zhì)的授課成效.在集體備課的階段，教師可以交流他們?cè)谥v授圓錐曲線時(shí)，巧妙運(yùn)用多樣化教學(xué)策略的經(jīng)驗(yàn).教師通過(guò)互相借鑒和推薦，攜手克服了實(shí)際授課中遭遇的諸多挑戰(zhàn).［1］這有助于增強(qiáng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，并對(duì)持續(xù)提升教學(xué)水平產(chǎn)生積極影響.采用集體備課的模式能夠協(xié)調(diào)一致各班級(jí)的授課節(jié)奏，對(duì)教師加深對(duì)變式教學(xué)策略的認(rèn)識(shí)以及處理實(shí)際教學(xué)中的難題大有裨益.此外，此舉也擴(kuò)展了學(xué)生思維的空間，有助于喚起他們對(duì)數(shù)學(xué)這個(gè)學(xué)科的熱情，進(jìn)而促使他們積極投入課堂互動(dòng)中.因此，當(dāng)實(shí)施多樣化的教學(xué)策略時(shí)，教師需特別注重集體備課，并在教學(xué)圓錐曲線時(shí)增進(jìn)研討與溝通，幫助學(xué)生解決疑惑和不確定問(wèn)題，進(jìn)而提高教學(xué)效果.

2深度挖掘教材，充分解析素材

隨著輔助教材和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的不斷提升，在備課所能分配的時(shí)間愈發(fā)有限的背景下，教師傾向于采用現(xiàn)成的教輔資源改編形式，或者簡(jiǎn)單地匯總課本中的練習(xí)題目，卻忽視了對(duì)教材內(nèi)容的深化拓展.教師需高度注重教材內(nèi)容與課堂教學(xué)的相互聯(lián)系.教材不只體現(xiàn)了教學(xué)大綱的實(shí)際運(yùn)用，同時(shí)也承載了大部分教學(xué)素材.因此，教師需要充分發(fā)掘并且利用教材，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整，進(jìn)而使學(xué)生深刻掌握其背后的知識(shí)架構(gòu).借助差異性的教學(xué)方法可促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的基本原理與定律，增進(jìn)數(shù)學(xué)修養(yǎng)，養(yǎng)成優(yōu)秀的學(xué)習(xí)風(fēng)格，拓展邏輯思維技巧.［2］教師應(yīng)深刻掌握?qǐng)A錐曲線這一關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，全方位熟練掌握相關(guān)教材內(nèi)容，透徹辨析教材所要傳達(dá)的核心要旨，進(jìn)一步挖掘教材的深遠(yuǎn)寓意，增強(qiáng)各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)結(jié)，辨識(shí)它們的共性，構(gòu)筑起新、舊知識(shí)間的紐帶，整合教學(xué)資源的同時(shí)，加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與運(yùn)用.教師應(yīng)針對(duì)圓錐曲線的學(xué)習(xí)模塊，透徹解析其可變參數(shù)的層面，并且對(duì)教學(xué)材料執(zhí)行適宜的改編，在現(xiàn)行理解能力的基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)、創(chuàng)新教學(xué)內(nèi)容.這樣一來(lái)，不僅有助于學(xué)生溫故知新，在變式教學(xué)模式下提高他們的學(xué)習(xí)成效，同時(shí)保證了教學(xué)過(guò)程的順暢銜接.

教學(xué)過(guò)程中教師可將教材中的例題和練習(xí)題放在一起進(jìn)行研究，創(chuàng)設(shè)新的題目.

新題設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-49，求點(diǎn)M的軌跡方程.

解析：假設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，0），所以直線AM的斜率為kAM=yx＋5（x≠-5）.同理，直線BM的斜率為kBM=yx-5（x≠5），由已知有yx＋5×yx-5=-49（x≠±5）化簡(jiǎn)得x225+9y2100=1（x≠±5）.因此，點(diǎn)M的軌跡是除去（-5，0），（5，0）兩點(diǎn)的橢圓.

教師通過(guò)變題練習(xí)幫助學(xué)生鞏固所學(xué)，指導(dǎo)他們梳理尋找解題軌跡的基本步驟，并讓他們領(lǐng)悟多個(gè)問(wèn)題采用同一解法是解題變化中的一種策略.

3變式難度適當(dāng)，面向全體學(xué)生

教師施行圓錐曲線變式教學(xué)法時(shí)，須顧及學(xué)生之間的差異性，依據(jù)其已有的知識(shí)水平調(diào)整教學(xué)方案，激發(fā)那些基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與參與度.如果題目改編的難度偏高，可能打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；反之若太簡(jiǎn)單，則會(huì)導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容失去深度，難以喚醒學(xué)生的好奇心和發(fā)掘其潛力，改編題目的優(yōu)點(diǎn)亦難以在教學(xué)過(guò)程中顯現(xiàn).［3］變式教學(xué)理應(yīng)依循學(xué)生最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行逐層次深入的構(gòu)建，從而補(bǔ)足學(xué)生在知識(shí)與技術(shù)層面的潛在缺陷，幫助學(xué)生樹(shù)立初步理念，并獲取初階實(shí)踐體驗(yàn).因此，教師需站在學(xué)生的角度，針對(duì)其心理屬性進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，簡(jiǎn)化難題，以便于學(xué)生領(lǐng)會(huì)，逐步攻破問(wèn)題.

以學(xué)習(xí)橢圓離心率的取值范圍相關(guān)知識(shí)為例，在編寫例題時(shí)，教師應(yīng)遵循由易到難、循序漸進(jìn)的原則.

例題已知F1， F2是雙曲線C：x2a2-y2b2=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，則雙曲線C的離心率為.

解析：焦點(diǎn)三角形條件背景下求雙曲線的離心率，一般結(jié)合雙曲線的定義，運(yùn)用已知條件研究出△PF1F2的三邊之比或內(nèi)角正弦值之比，得到

e=ca=2c2a=｜F1F2｜||PF1｜-｜PF2｜｜=sin∠F1PF2｜sin∠PF1F2-sin∠PF2F1｜.

不妨設(shè)｜PF2｜=1，則｜PF1｜=3，｜F1F2｜=2，由橢圓離心率公式，得

e= ｜F1F2｜｜｜PF1｜-｜PF2｜｜=23-1=3＋1.

變式1已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2-y2b2=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為.

解析：因?yàn)椤鰽BF2是等腰直角三角形，所以△AF1F2也是等腰直角三角形.由離心率公式，得

e=sin∠F1PF2｜sin∠PF1F2-sin∠PF2F1｜=sin45°｜sin90°-sin45°｜=2＋1.

變式2過(guò)雙曲線C：x2a2-y2b2=1的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交C于A，B兩點(diǎn)，C的右焦點(diǎn)為F2，若cos∠AF2B=18，則雙曲線C的離心率為.

解析：由題，cos∠AF2B=cos2∠AF2F1=2cos2∠AF2F1-1=8，解得cos∠AF2F1=34，即|F1F2||AF2|=34.

不妨設(shè)|F1F2|=3，|AF2|=4，則|AF1|=7，所以e=|F1F2||AF2|-|AF1|=34-7=4+73.

【設(shè)計(jì)意圖】上述三個(gè)問(wèn)題依次設(shè)計(jì)，形成了一個(gè)遞進(jìn)式學(xué)習(xí)的過(guò)程，讓學(xué)生逐漸領(lǐng)會(huì)并學(xué)會(huì)離心率相關(guān)的運(yùn)用.尤其是變式2，鑒于其融入了三角函數(shù)的恒等式轉(zhuǎn)換知識(shí)，對(duì)學(xué)生的能力要求更高.直接推演變式2有可能導(dǎo)致一些學(xué)生困惑，所以從簡(jiǎn)易案例出發(fā)并融入三角函數(shù)公式，以此逐漸引導(dǎo)學(xué)生解題.通過(guò)這種方式，既可以輔助學(xué)生記起雙曲線的離心率計(jì)算方法，又能保證每位學(xué)生發(fā)現(xiàn)最適合自己的掌握途徑，減輕了學(xué)習(xí)的難度，增加了學(xué)習(xí)的樂(lè)趣.在案例教學(xué)的帶動(dòng)下，筆者逐漸提高了題目的難度水平，促使學(xué)生能在掌握的知識(shí)陣地上持續(xù)自我突破，養(yǎng)成他們的探求能力.在解答例題時(shí)，先設(shè)出PF2的長(zhǎng)，隨后依據(jù)垂直性質(zhì)確定PF1的長(zhǎng)，由此推導(dǎo)出焦距的值，最后運(yùn)用相應(yīng)的公式來(lái)計(jì)算離心率，這樣既加深了學(xué)生的基本理解，又提升了他們分析推斷的能力.在變式2解題中，針對(duì)焦點(diǎn)三角形知識(shí)的測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了進(jìn)階加強(qiáng).盡管如此，得益于早先的例題以及變式1的基礎(chǔ)搭建，學(xué)生形成了一套理論結(jié)構(gòu)，從淺入深，能夠更加自信地迎接這次考驗(yàn).此過(guò)程充分顯現(xiàn)了富于意義的學(xué)習(xí)理論的核心觀點(diǎn)，即在學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知與新領(lǐng)域知識(shí)之間架設(shè)紐帶，確保每一名學(xué)生都能融入學(xué)習(xí)過(guò)程，并獲得解決棘手問(wèn)題技巧的機(jī)會(huì).這不僅能促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的精進(jìn)，也能喚醒他們創(chuàng)新的思想火花，促使他們?cè)诟髯缘膶用嫔先〉眠M(jìn)步.

4變式數(shù)量適度，重視學(xué)生體驗(yàn)

課堂教學(xué)中，如果變式練習(xí)的次數(shù)太頻繁，學(xué)習(xí)的樂(lè)趣將減少，容易使學(xué)生感到疲乏，失去積極探求的動(dòng)力，這與教學(xué)的初衷相悖.另外，上課時(shí)間有其固定限制，變式太多會(huì)擠占后續(xù)教程的時(shí)間，使得之后的內(nèi)容倉(cāng)促應(yīng)付，影響教學(xué)效果.變式少到一定程度，又會(huì)限制問(wèn)題探索的廣度和深度，進(jìn)而影響學(xué)生思維能力的全面發(fā)展.因此，教師應(yīng)當(dāng)巧妙地構(gòu)思變式設(shè)計(jì)，確保既揭示知識(shí)相互之間的聯(lián)系，又能彰顯其固有的特性.教師需準(zhǔn)確了解變式的數(shù)量，數(shù)量的大小并不是決定性因素，真正重要的是準(zhǔn)確度.施行變式教學(xué)時(shí)，教師需依據(jù)教育對(duì)象量力而行，設(shè)計(jì)教案時(shí)要兼顧教學(xué)內(nèi)容的難易程度與學(xué)生的理解能力，并且在授課前清晰界定差異教學(xué)的應(yīng)用邊界.授課時(shí)，教師需以既定目標(biāo)為引領(lǐng)，兼顧學(xué)生的接受程度，恰當(dāng)掌握適度原則.實(shí)施過(guò)程中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的參與頻率、表情的微妙變化以及課堂互動(dòng)反饋，適當(dāng)改進(jìn)教學(xué)方法，以期達(dá)到最佳的教學(xué)成效.教與學(xué)應(yīng)該并重，僅僅教師向?qū)W生傳授課程內(nèi)容遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，學(xué)生亦需積極參與其中，使學(xué)習(xí)過(guò)程由被動(dòng)轉(zhuǎn)為主動(dòng).在涉及圓錐曲線的學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)在掌握初步概念之后，積極進(jìn)行多樣化的練習(xí)，課余時(shí)間應(yīng)養(yǎng)成自我反思與梳理的習(xí)慣，通過(guò)這種方法才能深化對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)與掌握.這樣，在多變的習(xí)題訓(xùn)練過(guò)程中，他們才能開(kāi)闊思路，從新穎的視角審視和思索問(wèn)題.

5優(yōu)化布置創(chuàng)新型作業(yè)，拓展課外多樣化學(xué)習(xí)空間

多樣化的教學(xué)方法并非只適用于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，在課堂以外，學(xué)生亦應(yīng)被賦予實(shí)踐不同教學(xué)模式的自由.此類多變的教學(xué)方式被視作一項(xiàng)行之有效的教學(xué)策略.研究拋物線等二次函數(shù)過(guò)程中，所牽涉的理論點(diǎn)頗為繁雜，這導(dǎo)致課堂講授時(shí)難以對(duì)各環(huán)節(jié)內(nèi)容做到細(xì)致全面地呈現(xiàn).運(yùn)用多樣化的教學(xué)策略，既能夠增強(qiáng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解與記憶，也能構(gòu)建一個(gè)供學(xué)生獨(dú)立研究和應(yīng)用多樣化學(xué)習(xí)法的空間，最大限度地發(fā)揮多樣化教學(xué)法的特殊益處，進(jìn)而提升學(xué)生的實(shí)際操作技能.再者，針對(duì)“中國(guó)學(xué)習(xí)者悖論”現(xiàn)象，采用差異化的教學(xué)策略同樣是一種妥當(dāng)?shù)年U釋手段.為緩解學(xué)生的學(xué)業(yè)壓力并提升其操作實(shí)踐技能，教師可以規(guī)劃更為合理的動(dòng)態(tài)性作業(yè)內(nèi)容，創(chuàng)新作業(yè)形式.在準(zhǔn)備教案的過(guò)程中，更為專注并深入探討相關(guān)資料，從而構(gòu)建一整套既合理又具有實(shí)操性的動(dòng)態(tài)教學(xué)任務(wù).

教師在布置作業(yè)時(shí)應(yīng)緊扣教育目標(biāo)，并依據(jù)學(xué)生當(dāng)日所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)更改，以確保作業(yè)內(nèi)容與學(xué)生已掌握知識(shí)相適應(yīng).即便外在形態(tài)存在差異，教師亦可探索多種呈現(xiàn)方法以創(chuàng)設(shè)題目的多樣化，從而維持思想的一致和融洽，激發(fā)學(xué)生探索多種解題途徑，感悟不同策略的優(yōu)劣，以便在面對(duì)未來(lái)相似難題時(shí)能夠更有效率地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)膽?yīng)對(duì)技巧.構(gòu)建具有一致性的習(xí)題時(shí)，教師要讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中明確他們所使用的解題方法和思考方式，從這批相似的問(wèn)題中總結(jié)出普適性的處理辦法，提升學(xué)生在解決多個(gè)問(wèn)題時(shí)運(yùn)用統(tǒng)一解答技巧的能力.為激發(fā)學(xué)生的好奇心和實(shí)驗(yàn)精神，教師應(yīng)設(shè)計(jì)多樣化的探究型任務(wù)，以此拓展學(xué)生的思考邊界及其深層次的認(rèn)知能力.

6結(jié)語(yǔ)

在實(shí)際的圓錐曲線教學(xué)過(guò)程中，教師在設(shè)計(jì)變式時(shí)必須遵循相應(yīng)的規(guī)則.首先，教師需要設(shè)計(jì)出具有針對(duì)性的變式，而不是盲目地進(jìn)行.這需要以存在的問(wèn)題為中心，針對(duì)學(xué)生的特定思維進(jìn)行專門的訓(xùn)練.其次，變式應(yīng)以學(xué)生的具體需求為基礎(chǔ)，既需保證變式的復(fù)雜程度，滿足他們總體上的接納程度，又需保證變式的數(shù)量恰如其分.唯有如此，學(xué)生的參與熱情才能得以激發(fā).同時(shí)，鑒于課程的時(shí)長(zhǎng)是有限的，教師需要恰當(dāng)?shù)卣瓶剡@個(gè)“度”.

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