摘 要：在中國知網(wǎng)中，檢索得到237篇關于中小學數(shù)學課堂留白的文獻。采用文獻計量法統(tǒng)計各年的發(fā)文量，利用CiteSpace軟件繪制研究機構、論文作者和論文關鍵詞共現(xiàn)、突現(xiàn)的知識圖譜，進行分析；采用內(nèi)容分析法，分理論基礎、內(nèi)涵、原則、方式、存在的問題、優(yōu)化的策略六個主題梳理論文的主要觀點。進而，對中小學數(shù)學課堂留白的實踐提出建議；巧借數(shù)學史料，豐富留白內(nèi)容；構建評價體系，調(diào)控留白行為。

關鍵詞：數(shù)學課堂；留白；研究綜述；文獻計量；內(nèi)容分析

隨著基礎教育課程改革的不斷推進，“以學生發(fā)展為本”理念的逐步增強，留白在數(shù)學課堂中顯得越來越重要，課堂留白成為數(shù)學教育領域的一個重要話題。目前，中小學數(shù)學課堂留白的研究成果豐碩，但是，該領域研究成果的綜述還很少。尹超采用質(zhì)性研究的方法，從內(nèi)涵、價值、教學策略、教學原則等方面回顧了中小學數(shù)學課堂留白的研究成果，并展望了未來的研究方向，但是，沒有深入剖析課堂留白的理論基礎以及存在的問題，也缺少更加量化和直觀的梳理。［1］

基于此，筆者在中國知網(wǎng)的高級檢索中輸入“數(shù)學課堂留白”“數(shù)學課堂布白”“數(shù)學課堂空白”三個主題，用“or”連接，設置截止時間為2023年12月31日（不設置起始時間），進行“主題”檢索，得到294篇文獻；剔除關于職業(yè)教育的和主要內(nèi)容不是數(shù)學課堂留白的文獻，得到237篇關于中小學數(shù)學課堂留白的文獻。對此，采用文獻計量法統(tǒng)計各年的發(fā)文量，利用CiteSpace軟件繪制研究機構、論文作者和論文關鍵詞的知識圖譜，進行分析；采用內(nèi)容分析法，分主題梳理論文的主要觀點。進而，對中小學數(shù)學課堂留白的實踐提出一些建議。

一、 研究綜述

（一） 年發(fā)文量分析

統(tǒng)計各年的發(fā)文量，可以整體把握研究的變化趨勢。有關文獻的年發(fā)文量的折線統(tǒng)計圖如圖1所示。由圖可知，1996—2023年，國內(nèi)對數(shù)學課堂留白的研究總體呈現(xiàn)“先波動增加，后波動下降”的趨勢，具體可以分為三個階段：（1） 穩(wěn)定保持期（1996—2008年），這一階段年發(fā)文量都很小，保持在1—2篇；（2） 快速增長期（2009—2014年），這一階段年發(fā)文量開始大幅增加，6年內(nèi)增加到28篇；（3） 波動下降期（2015—2023年），這一階段年發(fā)文量起伏較大，且整體呈現(xiàn)下降趨勢。

（二） 研究機構和論文作者分析

分析研究機構和論文作者，可以明確主要研究力量的分布及合作關系，對進一步關注相應領域的研究發(fā)展方向具有重要意義。

繪制研究機構的知識圖譜（圖略），分析發(fā)現(xiàn)，研究機構主要有兩大類。第一類是中小學，其占比更高，集中在江蘇地區(qū)，偶爾有廣西地區(qū)和福建地區(qū)的；第二類是高等院校，其占比較低，所在的地區(qū)較為廣泛，主要有蘇州大學、南京師范大學、重慶師范大學、西南大學、華中師范大學等。同時，研究機構之間的合作關系較為薄弱。

繪制論文作者的知識圖譜（圖略），分析發(fā)現(xiàn)，論文作者主要包括中小學教師、碩士研究生。中小學教師是數(shù)學課堂留白研究的核心力量，其研究成果大多數(shù)與課堂實例相結(jié)合，具有實踐性；碩士研究生主要對中學數(shù)學課堂留白進行獨立研究，其研究內(nèi)容各具特色。綜合看來，研究者對數(shù)學課堂留白的研究較為獨立、分散，研究者之間的協(xié)作程度有待提高。

（三） 論文關鍵詞分析

關鍵詞共現(xiàn)知識圖譜中，節(jié)點和字體越大，說明相應關鍵詞出現(xiàn)的頻次越多，即受到的關注越多；連線越多，說明相應關鍵詞的中心性越大，即重要性（影響力）越大。分析關鍵詞出現(xiàn)的頻次和中心性，可以明確研究的熱點和重點。有關文獻的關鍵詞共現(xiàn)知識圖譜如圖2所示。其中，出現(xiàn)頻次居于前20位的關鍵詞（出現(xiàn)的頻次、中心性）分別是留白（56、0.29）、課堂留白（44、0.35）、課堂教學（31、0.41）、高中數(shù)學（27、0.17）、小學數(shù)學（25、0.83）、初中數(shù)學（20、0.48）、留白藝術（13、0.56）、數(shù)學教學（13.0.50）、數(shù)學（10、0.16）、數(shù)學課堂（7、0.09）、課堂（7.0.05）、教學策略（7、0.14）、空白（5、0.08）、空白藝術（5、0.27）、藝術（5、0.02）、策略（5、0.10）、數(shù)學思維（5、0.02）、深度學習（3、0.09）、探究（3、0.10）、反思（3、0.13）。合并同義/近義詞，分析發(fā)現(xiàn)，研究者主要關注課堂留白（藝術）、課堂教學、數(shù)學教學等關鍵詞，并對留白進行了顯性、隱性、綜合等的分類，導入、提問、探究、評價、反思、總結(jié)等方式的介紹，促進深度學習、鍛煉數(shù)學思維、激發(fā)求知欲望等價值的論述，同時研究全面關注了小學、初中、高中數(shù)學課堂的留白（藝術）。

關鍵詞突現(xiàn)知識圖譜能夠顯示關鍵詞出現(xiàn)的時間分布和動態(tài)變化，可以用來預測研究的發(fā)展趨勢。有關文獻突現(xiàn)強度居于前12位的關鍵詞的突現(xiàn)知識圖譜如圖3所示。合并同義/近義詞，分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)學課堂留白領域的核心研究內(nèi)容幾乎沒有改變；2011年以后突現(xiàn)的關鍵詞逐漸增多，主要原因可能是數(shù)學課堂留白研究開始進入激增階段；近4年突現(xiàn)的關鍵詞“數(shù)學思維”“深度學習”等是數(shù)學教育研究的熱點話題，體現(xiàn)出研究者開始關注現(xiàn)代教育理念下數(shù)學課堂留白的發(fā)展，從不同的視角對數(shù)學課堂留白進行了深入的研究。

（四） 論文內(nèi)容分析

有關文獻的研究內(nèi)容各有側(cè)重，主要涉及數(shù)學課堂留白的理論基礎、內(nèi)涵、原則、方式、存在的問題、優(yōu)化的策略等。下面，分別對這些方面的研究內(nèi)容進行分析。

1. 理論基礎分析

數(shù)學課堂留白的理論基礎深厚，包括美學、心理學、教育學三個角度的理論依據(jù)。美學的角度：中國傳統(tǒng)繪畫注重虛實的辯證統(tǒng)一與相生相襯，為數(shù)學課堂留白賦予了美學底蘊；數(shù)學課堂中的虛虛實實留下了無盡的想象空間［23］。心理學的角度：格式塔心理學派的“完形壓強”理論揭示，有空白或缺陷的事物會推動大腦積極活動，以填補這些空白和缺陷［45］；當作者在作品中有意留下空白，觀者會主動填補空白，這種心理活動叫作“連情心理”［6］；蔡格尼克效應揭示，面對數(shù)學課堂中留而未講的空白，學生會保持深刻的記憶［7］；留白后需等待學生回答，回答后需等待教師（同學）評價，課堂教學中的合理留白是“等待時間”理論的一種重要運用［8］。教育學角度：新課改理念強調(diào)，教師應該提供豐富

的數(shù)學活動機會，讓學生在自主探究與合作交流中，深刻理解和掌握數(shù)學基礎知識與技能，培養(yǎng)數(shù)學基本思想和方法，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗［910］；“參與者知識觀”強調(diào)，數(shù)學知識不是結(jié)論性產(chǎn)品，而是需要個人參與建構、探索的生產(chǎn)性過程——課堂留白留給了學生親身從事數(shù)學活動和自主建構數(shù)學知識體系的機會［11］。

總體而言，數(shù)學課堂留白的理論基礎在于：美學中，留白創(chuàng)造了自由想象的空間；心理學中，自主補白能完善有缺陷的事物；教育學中，留白提供了活動的機會，發(fā)展了多元的能力。

2. 內(nèi)涵分析

數(shù)學課堂留白的內(nèi)涵沒有統(tǒng)一的表述，但是，其實質(zhì)都是留下時間和空間給學生。有研究認為：數(shù)學課堂留白是指，數(shù)學教師在課堂教學的某些環(huán)節(jié)，有意留出時間和空間，讓學生自主思考、感悟，為學生建構數(shù)學認知結(jié)構，從事數(shù)學探究活動，表達對數(shù)學的理解提供機會［12］；或者說，在課堂上不把所有內(nèi)容塞給學生，而故意留下理解的“缺口”，給學生時間和空間填入自己思考的結(jié)果，不以確定的學習內(nèi)容填滿整個教學時段，而有意識地留下一段時間，讓學生思考屬于自己的數(shù)學［13］。

總體而言，數(shù)學課堂留白是一種“雖無但有”的教學方式：在沒有教師滿堂灌，而有空間時間、學習主體、思考探索的情形下，引導學生建構對數(shù)學知識的理解，提升數(shù)學思維能力和自主學習能力。

3. 原則分析

為避免無效的課堂留白，很多研究者都提出了課堂留白應當遵循的基本原則。總體看來，研究者圍繞課堂留白實踐中出現(xiàn)的問題，從教學和師生的角度提出了相應的原則，觀點比較一致。具體來看，主要包括四大原則：

第一，目的性原則。這是針對留白目標不夠明確、教學任務隨意更改、教師放任學生自流提出的。留白是課堂教學的組成部分，是為教學目標服務的。因此，課堂留白要遵循目的性原則，有明確的目的性和鮮明的針對性。［14］

第二，適度性原則。包括留白難度、留白次數(shù)、留白時間三個方面的適度。課堂留白的難度要落在學生認知的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，符合學生認知的發(fā)展規(guī)律；可采取階梯式問題串的形式，逐步提升課堂留白的難度。［15］課堂需要留白，但是不能處處留白；留白次數(shù)過多，會使學生疲于應對，無法提升思維深度；要根據(jù)不同課型、不同教學重難點，調(diào)整留白的次數(shù)。［16］留白的時間也要適度，例如：回憶舊知、理解概念、運用公式時，留白的時間可相對縮短；探究、變式、拓展時，留白的時間可相對延長。［17］

第三，主體與主導相協(xié)調(diào)原則。在強調(diào)學生主體性的同時，不能忽視教師的主導性。課堂留白時，學生自主、合作的“探究”活動增多，學生的主體性得到充分體現(xiàn)。但是，這不否認教師在課堂中的主導作用。因此，學生的主體地位和教師的主導作用在交往互動的課堂中缺一不可。［18］

第四，差異性原則。教學對象是具有差異性和獨特性的學生群體，課堂留白要尊重學生之間的差異。通過課堂留白，要使不同層次的學生在原有的基礎上得到提升，而不要求所有學生達到同一高度。因此，課堂留白要面向全體學生，關注每一個學生的發(fā)展，進行合理分組，設置適當差異，引發(fā)不同數(shù)學思維之間的碰撞。［19］

4. 方式分析

數(shù)學課堂留白方式的研究成果最為豐富?，F(xiàn)有研究對“方式”的含義給出了不同的表述，如“時機”“形式”“方式”“種類”等。分析有關文獻發(fā)現(xiàn)，“數(shù)學課堂留白的方式”這一表述更具有包容性，不同表述所關注的問題都是在何時、何處以怎樣的方式留白，最終指向?qū)W生的補白。對此，可以從教學環(huán)節(jié)、課型、呈現(xiàn)形式三個角度分類。

數(shù)學課堂留白是數(shù)學課堂教學的方式，因此，根據(jù)數(shù)學課堂教學環(huán)節(jié)留白，具有一定的科學性。從教學環(huán)節(jié)的角度，數(shù)學課堂留白可分為新課導入時、設問（提問）后、運算時、板書時、重難點處、拓展探究時、課堂評價時、課堂小結(jié)時、布置作業(yè)時的留白。［20］導入留白激發(fā)求知欲，設問留白引發(fā)思考，運算留白提升計算力，板書留白助力回顧，重難點留白突破認知，拓展探究留白增強主體意識，評價留白促進自我反思，小結(jié)留白深化理解，作業(yè)留白尊重差異。此外，“錯誤”也是研究者關注的關鍵留白之處。數(shù)學學習中，學生不可避免地會出現(xiàn)一些審題、概念、計算錯誤。此時，要給學生留下能主動發(fā)現(xiàn)并糾正錯誤的空白。［2123］特別是，相似的概念易使學生混淆。因此，還要在知識模糊處留白，讓學生自主反思、對比，從而澄清模糊認識，正確理解知識。［2425］

數(shù)學課因為教學內(nèi)容的不同，可以分為概念課、定理課、法則課、復習課、習題課、試卷講評課等。不同課型所使用的留白方式也有所差異。有研究指出：概念課，要在概念生成時采用停頓留白，讓學生自己抽象概括出概念［2627］，還要在新舊概念聯(lián)系處、混淆處和概念特征處留白［28］；定理課，要在定理推導和定理運用時留白，經(jīng)過推導知道定理的由來，運用定理時將更加靈活［2930］；習題課，要在難點處和變式處留白，幫助學生取得突破；復習課，要在基礎知識和典型例題上留白，幫助學生建構體系；試卷講評課，要在薄弱處和難點處留白，幫助學生查漏補缺［31］。

數(shù)學課堂留白還可以按呈現(xiàn)形式分類。例如：根據(jù)是否存在明顯停頓和沉默的留白痕跡，將數(shù)學課堂留白分為顯性留白、隱性留白、綜合留白［3233］；從數(shù)學課堂教學藝術的維度，提出要留出時間空白給學生思考，留出空間空白給學生想象，留出情感空白豐富學生體驗，留出結(jié)果空白尊重學生個性［34］；從教師語言和動作的維度，提出引導性語言、聲音的短暫中斷、簡約的手勢等留白方式［3536］。

5. 存在的問題分析

在數(shù)學課堂留白的研究中，很多研究者還關注了教學實踐中存在的共性問題，主要表現(xiàn)在四個方面：

第一，數(shù)學課堂留白的時間難以把握。留白時間過長會導致教學活動停滯，學生思維流暢性受到影響；留白時間過短會導致教學活動匆忙，學生補白的過程受阻。對此，有研究提出：切忌留白時間過長，讓學生毫無所獲地干耗。［37］也有研究提出：要讓學生的補白有一定的深度，不能一味地為了教學進度或課堂節(jié)奏壓縮學生的思考時間。［38］

第二，數(shù)學課堂留白的目標不夠明確。課堂教學本身帶有目的性，課堂留白也是為了更好地達到課堂教學目的。因此，完全以留白為目的、沒有科學組織、徒有形式、放任自流的留白都應當合理摒棄。［39］

第三，數(shù)學課堂留白的思維含量難以把握。數(shù)學課堂中，過于簡單和過于困難的問題都不適合用于留白。過于簡單的問題不能發(fā)展學生的數(shù)學思維，如事實性知識的問答；過于困難的問題會打擊學生學習的信心，如抽象概念的直接概括。課堂留白的思維含量應該在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，讓學生通過“跳一跳”的積極思考，最終能有效補白。［4041］

第四，數(shù)學課堂留白數(shù)量偏少，且具有偏向性。在實際的教學中，由于時間緊張、進度緊湊，很多教師雖然有課堂留白的意識，但是沒有課堂留白的機會，常常只能自留自補。還有的教師習慣于在導入時、設問后留白，而在重難點處、評價時不留白。因此，有研究者提出：教師應當有意識地在數(shù)學課堂中運用留白藝術，避免在學生還未充分思考時就給予不必要的提示。［42］同時，課堂留白時，學生作為學習的主體，其思維的發(fā)散性和差異性會導致課堂處于動態(tài)生成的過程中。因此，教師不可能預料到學生的所有想法，而應該發(fā)揮教育機智，利用課堂生成資源進行生成性留白。［43］

6. 優(yōu)化的策略分析

數(shù)學課堂留白存在的問題沒有簡單機械的解決辦法，因為教學是一項靈動的藝術，其對象是具有無限可能的學生。但是，一些研究者還是基于數(shù)學課堂留白的內(nèi)涵、原則、方式等，提出了多種優(yōu)化策略。具體可概括為以下幾點：

第一，注意留白時機，采用多種留白方式。數(shù)學課堂教學可在導入、小結(jié)、探究等多個環(huán)節(jié)留白，同時采用知識性留白、語言留白、手勢留白、情感留白、評價留白等多樣的留白方式，調(diào)動學生的積極性。

第二，創(chuàng)設高質(zhì)量問題，在主問題上多花時間。高質(zhì)量問題基于學生已有的知識經(jīng)驗，貼近學生的“最近發(fā)展區(qū)”，指向教學重難點，蘊含數(shù)學思想方法。［44］主問題是教師為了突破教學的重難點，更好地達到教學目標所提出的問題。［45］高質(zhì)量問題能給學生提供更多的思考空間，是有效留白的前提；在主問題上多花時間，則是課堂留白達到教學目標的必要保證。

第三，樹立正確的留白觀念，增強留白的組織能力。首先，教師要摒棄滿堂灌的傳統(tǒng)教學模式，充分認識數(shù)學課堂留白的價值，給予學生獨立思考的機會。其次，由于課型、知識的難易程度和學生對知識的掌握水平等方面的不同，教師既要在備課的過程中，全面、深入地理解和思考，預設課堂留白，又要在上課的過程中，利用自然生成的資源，隨時進行課堂留白。

二、 實踐建議

（一） 巧借數(shù)學史料，豐富留白內(nèi)容

教師可以借助數(shù)學史料設計問題，為學生提供廣闊的思維空間和足夠的探究機會，以培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。［46］數(shù)學史料為數(shù)學課堂留白提供了取之不盡、用之不竭的資源，使教師在知識的產(chǎn)生、發(fā)展、應用過程中都可以進行留白設計。在新知引入環(huán)節(jié)，可以結(jié)合數(shù)學史料中的問題背景引發(fā)學生的思考，例如，引入等比數(shù)列時，給出“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”的史料。在定理（公式）證明環(huán)節(jié)，可以結(jié)合數(shù)學史料中的多種方法進行補充評價，例如，證明勾股定理時，給出歷史上的多種方法。總之，巧借數(shù)學史料，豐富留白內(nèi)容，是提高課堂留白效果的有效策略。

（二） 構建評價體系，調(diào)控留白行為

數(shù)學課堂留白評價體系是在教學過程中對留白的內(nèi)容、時間、次數(shù)和學生的學習狀態(tài)、參與程度、思維深度等方面進行評價的體系。通過合理的評價，教師可以及時了解學生的學習情況，發(fā)現(xiàn)教學中存在的問題，從而有效調(diào)整教學策略，調(diào)控課堂行為。汪曉勤等提出了留白創(chuàng)造式教學評價的指標體系。借助這個評價體系，可以判斷教師留白設計的目標是否明確、流程是否合理，學生在學習過程中是否有獨立思考、合作交流、資源利用、自我監(jiān)控，最終的課堂留白成效如何。此外，因為課堂時間有限，所以，留白評價的指標要對留白時間和留白次數(shù)有所考量。

參考文獻：

［1］ 尹超.21世紀以來我國中小學數(shù)學課堂留白研究的回顧與展望［J］.中學數(shù)學雜志，2023（2）：1114.

［2］［8］［11］［12］［43］ 蔡甜甜，劉國祥，寧連華.數(shù)學課堂留白藝術的理論探析與實踐反思［J］.數(shù)學教育學報，2018（6）：2932.

［3］［13］［14］［15］ 陳愛萍.對高中數(shù)學“教學布白”的幾點認識［J］.數(shù)學教學通訊，2010（6）：3537.

［4］ 潘新德.數(shù)學課堂教學中的“空白藝術”運用［J］.中小學數(shù)學（初中版），2009（1/2）：910.

［5］［16］［21］［26］ 賴啟茂.例說初中數(shù)學課堂教學中的“留白”［J］.中學數(shù)學雜志，2009（6）：3638.

［6］［22］ 丁春梅.數(shù)學課堂創(chuàng)意設計初探——淺談“布白”藝術在數(shù)學教學設計中的運用［J］.中國科技信息，2009（8）：211212.

［7］ 陳揚帆.高中數(shù)學課堂教學的“留白”藝術［D］.武漢：華中師范大學，2017：7.

［9］ 葉高嬌.在高中數(shù)學課堂教學中運用布白藝術的思考［J］.考試周刊，2009（30）：7475.

［10］ 朱玲超.留白無聲，想象無形——例談小學數(shù)學課堂的留白藝術［J］.知識窗（教師版），2022（2）：8183.

［17］［19］［23］ 趙麗.初中數(shù)學課堂留白的教學研究［D］.重慶：西南大學，2020：27，3031，37.

［18］［20］ 徐建東.基于高中數(shù)學“課堂留白”的教學研究［D］.重慶：重慶師范大學，2012：35，1834.

［24］ 袁紅健.淺談數(shù)學課堂中妙用“教學空白”［J］.新課程（教育學術版），2009（7）：123.

［25］［35］ 胡燕華.數(shù)學課堂教學中巧置空白［J］.福建中學數(shù)學，2007（1）：89.

［27］［29］［31］ 曹春曉.初中數(shù)學課堂留白的教學研究［D］.蘇州：蘇州大學，2018：31，3334，3844.

［28］ 石忠富.活用“布白”教學藝術，激活概念教學活力［J］.中國校外教育，2014（14）：72.

［30］ 黎錫香.高中數(shù)學課堂的“留白”藝術［J］.中學教學參考，2017（29）：8.

［32］ 蔡國發(fā).淺析數(shù)學課堂留白的原則與形式［J］.數(shù)學教學通訊，2022（27）：4445.

［33］［34］ 王曉艷.數(shù)學課堂的留白藝術［J］.內(nèi)蒙古教育（職教版），2014（8）：65.

［36］ 樓淑萍.天高任鳥飛，海闊憑魚躍——淺談數(shù)學課堂教學中教師語言的留白藝術［J］.數(shù)學教學通訊，2015（16）：3738.

［37］［39］ 張宏寶.課堂“留白”：給學生自由馳騁的時空［J］.中國科教創(chuàng)新導刊，2010（9）：118+122.

［38］［40］ 蔣昊.課堂教學“留白”策略的思考及實踐［J］.廣西教育學院學報，2011（6）：202205.

［41］ 陸其坤.數(shù)學課堂教學中的布白藝術淺探［J］.中學數(shù)學，1999（5）：1415.

［42］［45］ 馬茂年，李芳.基于現(xiàn)代教學理念下課堂教學“留白”藝術的觀察研究——以高中數(shù)學《隨機事件的概率》和《割圓術》兩堂課為例［J］.數(shù)學教育學報，2015（2）：7582.

［44］ 張劉成.促進深度學習的課堂教學策略研究——以課堂留白策略為例［J］.高中數(shù)學教與學，2022（4）：2325+22.

［46］ 汪曉勤，鄒佳晨.基于中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學文化的高中數(shù)學留白創(chuàng)造式教學初探［J］.中小學課堂教學研究，2023（9）：16.

（瞿文菊，南京師范大學教師教育學院。）