摘 要 文章探討了數(shù)學(xué)建模思想與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的融合實(shí)踐，旨在提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力，進(jìn)而提升高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量。文章首先分析了數(shù)學(xué)建模思想與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的四個(gè)結(jié)合點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)的交融、思維方式的拓展、實(shí)踐能力的提升，以及創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。隨后，提出了融合實(shí)踐的策略與方法，包括引入真實(shí)世界的復(fù)雜性、強(qiáng)化數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的思維、跨學(xué)科整合，以及培養(yǎng)批判性思維。這些策略旨在通過數(shù)學(xué)建模的橋梁作用，將高等數(shù)學(xué)與實(shí)際問題緊密相連，從而增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和問題解決能力。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；融合實(shí)踐

中圖分類號(hào)：G642 " " " " " " " " " " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A " " DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2024.29.015

The Integration Practice of Mathematical Modeling Ideas and"Advanced Mathematics Teaching

LIU Yan

（Yuncheng Advanced Normal College， Yuncheng， Shanxi 044000）

Abstract This article explores the integration of mathematical modeling ideas with advanced mathematics teaching， aiming to enhance students' interest in learning， cultivate their innovative thinking and practical abilities， and ultimately improve the quality of advanced mathematics teaching. The article first analyzes four integration points between mathematical modeling ideas and advanced mathematics teaching： the integration of knowledge points， the expansion of thinking modes， the improvement of practical abilities， and the cultivation of innovative abilities. Subsequently， strategies and methods for integrating practice were proposed， including introducing the complexity of the real world， strengthening data-driven thinking， interdisciplinary integration， and cultivating critical thinking. These strategies aim to closely connect advanced mathematics with practical problems through the bridging effect of mathematical modeling， thereby enhancing students' mathematical application and problem-solving abilities.

Keywords mathematical modeling; advanced mathematics; mathematics teaching; integration practice

數(shù)學(xué)建模作為一種運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和方法來描述和解決實(shí)際問題的方法論，具有極高的實(shí)用性和創(chuàng)新性。通過引入數(shù)學(xué)建模思想，不僅可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用能力，還能激發(fā)他們的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力。本文旨在探討數(shù)學(xué)建模思想與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的融合實(shí)踐。探討如何將數(shù)學(xué)建模思想有效融入高等數(shù)學(xué)，以期提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力，進(jìn)而提升高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。

1" 數(shù)學(xué)建模思想與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合點(diǎn)

1.1" 知識(shí)點(diǎn)的交融：高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模的互補(bǔ)教學(xué)

高等數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容以其深厚的理論基礎(chǔ)和廣泛的適用范圍而著稱，然而，這種教學(xué)方式有時(shí)過于強(qiáng)調(diào)理論的深度和廣度，導(dǎo)致學(xué)生難以直觀理解數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的緊密聯(lián)系。數(shù)學(xué)建模的引入，恰恰能夠彌補(bǔ)這一缺陷，實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與實(shí)際問題的交融[1]。

數(shù)學(xué)建模能夠?qū)⒏叩葦?shù)學(xué)中的抽象概念具體化，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題。例如，在微積分的教學(xué)中，導(dǎo)數(shù)和積分的概念往往顯得抽象難懂。然而，通過數(shù)學(xué)建模，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將這些概念應(yīng)用于實(shí)際問題的解決，如優(yōu)化工業(yè)生產(chǎn)流程、分析物理運(yùn)動(dòng)規(guī)律等。這樣一來，學(xué)生不僅能夠在實(shí)踐中深化對(duì)數(shù)學(xué)理論的理解，還能更加直觀地感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用性和魅力。

1.2" 思維方式的拓展：從邏輯推理到問題解決

高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程強(qiáng)調(diào)邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，這無疑對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力提出了高要求。然而，過度依賴邏輯推理可能導(dǎo)致學(xué)生在面對(duì)實(shí)際問題時(shí)缺乏靈活性和創(chuàng)造性。數(shù)學(xué)建模的融入，可以引導(dǎo)學(xué)生從單一的邏輯推理思維向多元的問題解決思維轉(zhuǎn)變，從而拓展他們的思維方式。

數(shù)學(xué)建模注重問題的發(fā)現(xiàn)和解決過程，鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度審視問題，提出創(chuàng)新性的解決方案。這種思維方式有助于學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問題時(shí)能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，提高解決問題的效率。例如，在處理優(yōu)化問題時(shí)，學(xué)生不僅需要運(yùn)用微積分的知識(shí)進(jìn)行理論分析，還需要結(jié)合實(shí)際問題的特點(diǎn)，提出切實(shí)可行的解決方案。

1.3" 實(shí)踐能力的提升：理論與實(shí)踐的有機(jī)結(jié)合

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)往往側(cè)重于理論知識(shí)的傳授而忽視了對(duì)學(xué)生實(shí)踐操作能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模的引入，可以為學(xué)生提供更多的實(shí)踐機(jī)會(huì)，使他們?cè)趯?shí)踐中深化對(duì)數(shù)學(xué)理論的理解和應(yīng)用，從而提升他們的實(shí)踐能力。

數(shù)學(xué)建模需要學(xué)生親自動(dòng)手構(gòu)建模型、收集數(shù)據(jù)、進(jìn)行分析和求解。這一過程不僅鍛煉了學(xué)生的動(dòng)手能力，還提高了他們的實(shí)踐意識(shí)和能力。例如，在處理統(tǒng)計(jì)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生需要親自收集數(shù)據(jù)、進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，并根據(jù)分析結(jié)果提出合理的結(jié)論和建議[2]。這一過程不僅使學(xué)生更加深入地理解了統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理和方法，還提高了他們的數(shù)據(jù)處理和分析能力。

1.4" 創(chuàng)新能力的培養(yǎng)：激發(fā)創(chuàng)新思維，提高解決問題的能力

數(shù)學(xué)建模不僅是一種數(shù)學(xué)應(yīng)用方法，還是一種創(chuàng)新思維方法。將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)，有助于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)他們?cè)诿鎸?duì)新問題時(shí)獨(dú)立思考和解決問題的能力。這種創(chuàng)新能力的培養(yǎng)對(duì)于學(xué)生未來的職業(yè)發(fā)展和個(gè)人成長具有重要意義。

數(shù)學(xué)建模鼓勵(lì)學(xué)生面對(duì)實(shí)際問題時(shí)提出新的解決方案和思路。在這一過程中，學(xué)生需要充分發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力，從不同角度審視問題并尋求創(chuàng)新性的解決方法。例如，在處理復(fù)雜的優(yōu)化問題時(shí)，學(xué)生可以嘗試運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)方法和技巧來求解最優(yōu)解，從而提高他們的創(chuàng)新思維和解決問題的能力。

2" 融合實(shí)踐的策略與方法

2.1" 引入真實(shí)世界的復(fù)雜性：以數(shù)學(xué)建模為橋梁

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容往往側(cè)重于理想化的數(shù)學(xué)模型和理論推導(dǎo)，這種教學(xué)方式雖然能夠幫助學(xué)生建立堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但卻往往忽略了現(xiàn)實(shí)世界問題的復(fù)雜性和不確定性。為了彌補(bǔ)這一缺陷，數(shù)學(xué)建模成為一個(gè)有效的橋梁，連接了高等數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界。

數(shù)學(xué)建模的過程涉及對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的深入理解和分析，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去描述和解決實(shí)際問題。這一過程不僅要求學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，還需要他們具備敏銳的問題洞察力和靈活的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生可以更加深入地理解數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時(shí)也能夠提升他們解決實(shí)際問題的能力。在具體的教學(xué)中，教師可以通過選擇具有現(xiàn)實(shí)意義和復(fù)雜性的案例，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)去建立數(shù)學(xué)模型[3]。例如，可以選擇涉及經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域的實(shí)際問題，讓學(xué)生嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去描述和解決。在建模過程中，學(xué)生需要考慮多種影響因素，如市場供需關(guān)系、物理現(xiàn)象中的多種作用力、生物種群間的相互作用等，這使得建模過程更加貼近現(xiàn)實(shí)世界，也更具挑戰(zhàn)性。

教師還可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證和優(yōu)化。通過與實(shí)際數(shù)據(jù)的對(duì)比和分析，學(xué)生可以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性和可靠性，進(jìn)而對(duì)模型進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化。這一過程不僅能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建和優(yōu)化過程，還能夠培養(yǎng)他們的批判性思維和創(chuàng)新能力。

2.2" 強(qiáng)化數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的思維：結(jié)合大數(shù)據(jù)與數(shù)學(xué)建模

高等數(shù)學(xué)作為理工科學(xué)生的基礎(chǔ)課程，其教學(xué)內(nèi)容與方式需與時(shí)俱進(jìn)，緊密結(jié)合大數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模技術(shù)。將數(shù)據(jù)分析和處理的技巧融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)，可以顯著提升學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和實(shí)際問題解決能力。

首先，高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往更關(guān)注數(shù)學(xué)公式和理論的推導(dǎo)，導(dǎo)致學(xué)生忽視數(shù)據(jù)在實(shí)際問題中的重要作用。因此，教師可以通過引入實(shí)際案例，讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)據(jù)在問題解決過程中的核心地位，從而激發(fā)他們對(duì)數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模的興趣。其次，高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)融入具體的數(shù)據(jù)分析和處理技巧。例如，教師可以介紹數(shù)據(jù)清洗、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)挖掘等基本技能，并引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用這些技能處理和分析實(shí)際數(shù)據(jù)。通過實(shí)踐操作，學(xué)生可以更加深入地理解數(shù)據(jù)的本質(zhì)和特性，進(jìn)而提升他們的數(shù)據(jù)處理能力。再次，教師還可以通過數(shù)學(xué)建模項(xiàng)目來強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)思維。在這些項(xiàng)目中，學(xué)生需要運(yùn)用所學(xué)的數(shù)據(jù)分析和處理技巧，從海量數(shù)據(jù)中提取有用的信息，進(jìn)而構(gòu)建和優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。通過這一過程，不僅可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模方法的理解，還能夠提升他們?cè)诿鎸?duì)實(shí)際問題時(shí)的靈活性和準(zhǔn)確性。最后，為了更好地融合大數(shù)據(jù)與數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，教師還可以利用現(xiàn)代技術(shù)手段，如云計(jì)算、機(jī)器學(xué)習(xí)等輔助學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模。這些技術(shù)手段不僅可以提高數(shù)據(jù)處理和模型構(gòu)建的效率，還能夠幫助學(xué)生拓展視野，了解最新的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模技術(shù)[4]。

2.3" 跨學(xué)科整合：打破學(xué)科壁壘，豐富數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)建模作為一種綜合性的思維與技能，其應(yīng)用廣泛滲透到物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等諸多學(xué)科中。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，跨學(xué)科整合不僅為傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容注入了新的活力，還有助于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)與問題解決能力。

實(shí)施跨學(xué)科整合的關(guān)鍵在于選取恰當(dāng)?shù)陌咐蛦栴}。例如，物理學(xué)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的市場均衡模型、生物學(xué)中的種群增長模型等，都是極佳的切入點(diǎn)。將這些領(lǐng)域中的具體問題引入高等數(shù)學(xué)課堂，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)其進(jìn)行分析和解決，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模與其他學(xué)科的有機(jī)融合。在解決這些問題的過程中，學(xué)生不僅能夠深化對(duì)數(shù)學(xué)概念和方法的理解，還能領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。這種教學(xué)方式極大地增加了高等數(shù)學(xué)教學(xué)的趣味性和實(shí)用性，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

跨學(xué)科整合還有助于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)。在解決跨學(xué)科問題的過程中，學(xué)生需要綜合運(yùn)用多個(gè)學(xué)科的知識(shí)和方法，這不僅鍛煉了他們的綜合分析能力，還促進(jìn)了其創(chuàng)新思維能力的發(fā)展。同時(shí)，通過小組合作與討論，學(xué)生還可以提升團(tuán)隊(duì)協(xié)作和溝通能力，為未來的學(xué)術(shù)研究或職業(yè)生涯奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?？鐚W(xué)科整合也對(duì)教師提出了更高的要求[5]，教師需要不斷更新自己的知識(shí)儲(chǔ)備，關(guān)注不同學(xué)科的前沿動(dòng)態(tài)，以便能夠選取更具代表性和啟發(fā)性的教學(xué)案例。同時(shí)，教師還需要具備跨學(xué)科的教學(xué)設(shè)計(jì)能力，能夠?qū)⒉煌瑢W(xué)科的知識(shí)和方法有機(jī)融合，形成富有創(chuàng)意和實(shí)效性的教學(xué)方案。

2.4" 培養(yǎng)批判性思維：通過數(shù)學(xué)建模審視和改進(jìn)模型

數(shù)學(xué)建模不僅是一個(gè)構(gòu)建模型的過程，還是一個(gè)不斷審視、反思和優(yōu)化模型的過程。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)初步建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行批判性審視，不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，還能使他們更加深入地理解數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)和構(gòu)建過程。

在初步建立數(shù)學(xué)模型后，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行批判性評(píng)估。這包括對(duì)模型的假設(shè)、參數(shù)選擇、數(shù)據(jù)處理方法，以及模型結(jié)果的合理性和可靠性進(jìn)行全面分析。通過這一過程，學(xué)生可以識(shí)別出模型中的潛在缺陷或局限性，如過度簡化、數(shù)據(jù)偏差或邏輯不一致等問題。在審視模型的基礎(chǔ)上，教師需要指導(dǎo)學(xué)生提出具體的改進(jìn)方案。這可能涉及對(duì)模型假設(shè)的修訂、參數(shù)調(diào)整、數(shù)據(jù)清洗或引入更復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法。學(xué)生應(yīng)學(xué)會(huì)如何根據(jù)批判性分析的結(jié)果有針對(duì)性地優(yōu)化模型，以提高自身的預(yù)測(cè)精度和解釋力。審視和改進(jìn)模型的過程并非一次性活動(dòng)，而是一個(gè)迭代循環(huán)的過程。每次優(yōu)化后，都需要重新評(píng)估模型的性能，并根據(jù)新的分析結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的調(diào)整。這個(gè)迭代優(yōu)化的過程不僅鍛煉了學(xué)生的耐心和觀察力，還培養(yǎng)了他們?cè)诿鎸?duì)復(fù)雜問題時(shí)不斷嘗試和改進(jìn)的能力[6]。

通過數(shù)學(xué)建模過程中的審視與優(yōu)化，不僅能夠提升學(xué)生的批判性思維，還能使學(xué)生更加深入地理解數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建和優(yōu)化過程。這種教學(xué)方式有助于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，培養(yǎng)他們?cè)谖磥韺W(xué)術(shù)或職業(yè)生涯中面對(duì)復(fù)雜問題時(shí)能夠獨(dú)立思考、勇于挑戰(zhàn)并持續(xù)改進(jìn)的能力。

3" 結(jié)語

通過將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用能力，還能有效激發(fā)他們的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力。本文所探討的融合策略與方法，包括引入真實(shí)世界的復(fù)雜性、強(qiáng)化數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的思維、跨學(xué)科整合以及培養(yǎng)批判性思維，為高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革與創(chuàng)新提供了有益的參考。未來，隨著數(shù)學(xué)建模在更多領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，其在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性將更加凸顯，有望推動(dòng)高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量持續(xù)提升，培養(yǎng)出更多具備創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的高素質(zhì)人才。

參考文獻(xiàn)

[1] 段舒婷，吳文斌.高中數(shù)學(xué)教科書中數(shù)學(xué)建模專題內(nèi)容的比較研究——以北師大版和湘教版為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2024，43（3）：12-18.

[2] 楊雯.建模思想在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐與應(yīng)用研究[J].學(xué)周刊，2024（19）：77-80.

[3] 張琳娜.高職數(shù)學(xué)教學(xué)的探索與實(shí)踐[J].山西青年，2024（10）：72-74.

[4] 馬和平，李貝貝.基于數(shù)學(xué)建模競賽的數(shù)學(xué)模型課程改革研究[J].現(xiàn)代職業(yè)教育，2024（15）：93-96.

[5] 晁增福，邢小寧.“賽課一體”模式下數(shù)學(xué)建模課程群的構(gòu)建與實(shí)踐[J].湖北開放職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2024，37（10）：171-173.

[6] 吳懷兵.數(shù)學(xué)建模思想融入高職數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐研究[J].湖北開放職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2024，37（9）：188-189，192.