《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》（2022年版）（以下簡稱“新課標”）指出，在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系；重視單元整體教學(xué)設(shè)計，推進單元整體教學(xué)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián).單元整體教學(xué)是讓學(xué)生掌握學(xué)科核心知識、理解學(xué)習(xí)過程、把握學(xué)科本質(zhì)及思想方法，幫助學(xué)生學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，進而發(fā)展核心素養(yǎng).從有理數(shù)和整式的運算情況看，七年級學(xué)生存在混合運算時運算符號判斷易錯，整式化簡時去括號易錯，合并同類項時系數(shù)相加易錯等普遍問題，在解一元一次方程中應(yīng)用到數(shù)與式相關(guān)運算時也會出現(xiàn)錯誤.七年級數(shù)學(xué)新教材將于2024年秋季學(xué)期使用，為了解決學(xué)生的運算問題，幫助學(xué)生梳理運算的關(guān)鍵點，整體把握運算算理和運算律在數(shù)、式和解一元一次方程中的內(nèi)在邏輯關(guān)系，筆者就單元整體視角下數(shù)與式的運算貫通教學(xué)進行設(shè)計與實踐.

一、教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化整合

1.內(nèi)容分析

有理數(shù)的運算、整式化簡、解一元一次方程屬于初中數(shù)與代數(shù)中的數(shù)與式、方程與不等式內(nèi)容板塊.新課標在教學(xué)提示中提出，在數(shù)與式的教學(xué)中，教師應(yīng)把握數(shù)與式的整體性.大單元教學(xué)的主要目標是讓學(xué)生掌握核心知識，理解學(xué)習(xí)過程，把握學(xué)科本質(zhì)及思想方法.如圖1，有理數(shù)的運算，上接小學(xué)四則運算，下接整式的運算、解方程.從大單元視角對有理數(shù)的運算進行整合教學(xué)，有利于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容：第一，有理數(shù)加法法則和乘法法則的復(fù)習(xí)及應(yīng)用，數(shù)的運算律的使用是為了簡化運算.在小學(xué)“數(shù)與運算”“數(shù)量關(guān)系”兩部分內(nèi)容中，學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了四則運算，并且了解了減法是加法的逆運算，乘法是加法的簡便運算，除法是乘法的逆運算.初中階段數(shù)系擴充到實數(shù)范圍，四則運算可以推廣延續(xù)，在思維層次上要求學(xué)生具有分類及歸納總結(jié)的意識和能力.第二，揭示整式化簡的去括號及合并同類項的實質(zhì)即分配律和加減法的運用.第三，解一元一次方程的過程實質(zhì)是將有理數(shù)的運算在方程兩邊進行等價變換，最后化成一個最簡的方程x=a（即方程的解）.

2.目標確定

根據(jù)內(nèi)容的分析，通過整合梳理，重點掌握有理數(shù)的加法法則和乘法法則，根據(jù)法則和運算律進行正確運算（運算能力）；通過字母代替數(shù)字，知道用字母表達運算規(guī)律的推理結(jié)論，提升學(xué)生對有理數(shù)運算的拓展能力（抽象能力）；通過一個類型的式子建立等量關(guān)系，揭示一元一次方程與整式之間的關(guān)系，從而將有理數(shù)的運算應(yīng)用于等式兩邊，達到等價變換的目的（應(yīng)用意識）.

確定以下目標：

（1）通過表格分類復(fù)習(xí)有理數(shù)的加減法和乘除法的法則，讓學(xué)生產(chǎn)生強烈對比，了解計算時先確定符號再運算的必要性，并能夠靈活運用運算律進行簡化計算，將分配律推廣至整式化簡的去括號和合并同類項的方法中.

（2）從數(shù)字到字母的轉(zhuǎn)換、從整式到方程的延伸，讓學(xué)生深刻感受有理數(shù)加法運算和乘法運算在數(shù)與式的運算推廣中的重要作用.

（3）經(jīng)歷有理數(shù)運算大單元整合復(fù)習(xí)的知識銜接，感悟分類思想、模型思想、化歸思想，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，發(fā)展運算能力、抽象能力、應(yīng)用意識等核心素養(yǎng).

3.學(xué)情分析

進入初中階段，知識以有理數(shù)的運算接序，學(xué)生在已有四則運算法則的經(jīng)驗基礎(chǔ)上，推廣應(yīng)用并提煉出有理數(shù)的運算法則.七年級學(xué)生正處于由感知向意識和能力進階的關(guān)鍵時期，在符號確定、知識遷移等方面還不夠成熟.因此在這個階段的學(xué)習(xí)過程中，教師將知識和方法相關(guān)聯(lián)，揭示運算的本質(zhì)特征，是促進學(xué)生運算能力發(fā)展的重要手段.

二、教學(xué)過程的進階實施

單元整體教學(xué)設(shè)計與知識結(jié)構(gòu)化梳理就是將顯性知識與隱性關(guān)聯(lián)點相互交融，并將其設(shè)計貫穿于整個學(xué)習(xí)過程中.顯性知識：有理數(shù)的運算（加法運算、乘法運算和混合運算，運算技巧）、整式的加減運算、解一元一次方程；隱性關(guān)聯(lián)點：法則是運算的起點，混合運算技巧應(yīng)用是運算的升華，用字母代替數(shù)字是運算的推廣，在等號兩邊作等價運算是運算的應(yīng)用（如圖2）.

1.運算法則與算理——運算起點

任務(wù)一：填一填

同號兩數(shù)相加，取______ 符號，并把絕對值" ______"；

同號兩數(shù)相乘，結(jié)果為" "______，并把絕對值"______ ".

（絕對值不相等的）異號兩數(shù)相加，取______" "的符號，并用"______"；

異號兩數(shù)相乘，結(jié)果為" "______，并把絕對值______" ".

任何數(shù)與0相加，都得" " ______，任何數(shù)與0相乘，都得"______ ";

互為"______ "的兩數(shù)相加，結(jié)果為"______ ";

互為"______ "的兩數(shù)相乘，結(jié)果為"______ ".

2.準確快速進行運算——運算鞏固

任務(wù)二：做一做

（1）計算練習(xí)：

-1+=" ______" " " ×（-）=______

12-7×（-2）=" "______ " 16+6÷（-2）=______

-1×1×1×1="______ " " "（-2）×（-2）=______

（2）運用運算律進行簡便運算：

-+1-="______ " " "（-）×15×（-1）=______

（-+）×36=" "______ "-2×+3×=______

設(shè)計理念：有理數(shù)的運算包括加法、減法、乘法、除法、乘方運算，教師利用轉(zhuǎn)化思想，最終整理出主要的兩種核心運算：加法運算和乘法運算，梳理這兩種運算法則，合在一起采用分類、歸類思想以填空形式，明確如何先確定符號，再進行絕對值運算.這個思路源于新教材習(xí)題2.2復(fù)習(xí)鞏固第7題：

1×（-5）=" ______" ；" " "1÷（-5）=" "______ ；

1+（-5）=" "______ ；" " "1-（-5）=" " ______；

（-1）×（-5）=" "______ ；" "（-1）÷（-5）="______ " ；

（-1）+（-5）="______ " ；" "（-1）-（-5）="______ " 。

由一般到特殊，教師帶領(lǐng)學(xué)生對運算法則進行復(fù)習(xí).之后是一組圍繞法則的鞏固練習(xí)，包含混合運算.運算的最終目的就是簡化結(jié)果，延伸到利用運算律進行簡便運算，乘法分配律的兩種用法都有涉及.

3.由數(shù)的運算到式的運算——運算推廣

任務(wù)三：想一想

-2×+3×，上述運算把數(shù)字換成字母a時，則有：-2a+3a=" " .

分配律逆用：ab+ac=a（b+c）.

從下面展示的式子中找到同類項，并進行合并：

x，-p2，-5x，-2x2，-（x+y），-3p2，2x2，7ab，3（x+y）.

設(shè)計理念：由數(shù)到式的轉(zhuǎn)換利用新教材習(xí)題2.2拓廣探索第15題的思路：

利用分配律可以得到

-2×6+3×6=（-2+3）×6，

-2×（-5）+3×（-5）=（-2+3）×（-5）.

如果用a表示任意一個數(shù)，那么利用分配律可以得到-2a+3a等于什么？

小學(xué)階段在數(shù)量關(guān)系的教學(xué)中，用字母表示數(shù)的教學(xué)要設(shè)計合理的實際情境，引導(dǎo)學(xué)生會用字母或含有字母的式子表達實際情境中的數(shù)量關(guān)系、性質(zhì)、規(guī)律.初中階段數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)是學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號，以及感悟用數(shù)學(xué)符號表達事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的關(guān)鍵內(nèi)容，是初步形成抽象能力、推理能力、感悟用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界的重要載體.新教材內(nèi)容組織更加注重核心素養(yǎng)發(fā)展的一致性，通過設(shè)計相應(yīng)內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)的具體計算過渡到式的抽象運算過程，為進一步學(xué)習(xí)方程、不等式和函數(shù)等內(nèi)容奠定基礎(chǔ).七年級新教材第二章在介紹完有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運算后，利用分配律進行簡便運算時，引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)與式的轉(zhuǎn)換.在教學(xué)設(shè)計中，教師應(yīng)充分利用教材資源，關(guān)聯(lián)知識要點，做到將運算進行推廣.

任務(wù)四：練一練

分配律：a（b+c）=ab+ac，可以看成是" " 的方法，去括號化簡-2（-2y2+5xy-x2）時，有如下結(jié)果，請判斷是否正確.

A.4y2-5xy+x2（" ）" B.-4y2+10xy-1x2（" ）

C.4y2-10xy+x2（" ） D.-2-2y2+5xy-x2（" ）

正確結(jié)果：" " " " " " " " ".

將下列各式去括號：

5（x-3）=" " " "-4（-x+5）=

（1-x）=" " " "-（x-1）=

思考：請將上述式子兩兩組合，建立等量關(guān)系，是關(guān)于x的" " ".

設(shè)計理念：學(xué)生在小學(xué)階段初步感知方程形成，在初中階段完整學(xué)習(xí)方程的概念，在方程概念的形成過程中，重點分析“如何構(gòu)建等量關(guān)系式”這個算理，從而構(gòu)造“方程”這個運算對象，通過將含有字母x的一次二項式建立等量關(guān)系，打通式與方程間的運算關(guān)聯(lián)點，從而將運算在等號兩邊合理應(yīng)用.

4.從算式到方程——運算應(yīng)用

任務(wù)五：解一解

解方程：=-.

解：去分母：3（1-x）=-2（x-1）（有理數(shù)乘法）

去括號：3-3x=-2x+2（整式化簡）

移項：-3x+2x=2-3（整式加減）

合并同類項：-x=-1（整式加減）

系數(shù)化為1：x=1（有理數(shù)的乘除法）

設(shè)計理念：解方程的思想是根據(jù)等式的基本性質(zhì)進行等式變形，最終化歸為x=a的形式.等式的基本性質(zhì)涉及有理數(shù)和整式的運算.教師讓學(xué)生理解數(shù)與式的運算實質(zhì)是簡化的過程，最終指向問題解決——解方程.

5.課堂小結(jié)（如圖3）

三、課后反思與建議

1.生態(tài)創(chuàng)新地使用教材資源，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

作為承載有理數(shù)運算的單元整體教學(xué)，揭示知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)非常重要，問題的串聯(lián)尤為關(guān)鍵，復(fù)習(xí)加減法、乘除法法則，對法則進行鞏固，在使用分配律時將數(shù)字換成字母，自然而然就生成整式化簡.由整式到方程的轉(zhuǎn)變，運算的實質(zhì)沒有變，需要串聯(lián)出等號兩邊同時作等價運算.在人教版新教材七年級上冊習(xí)題、練習(xí)的提示中找到串聯(lián)思路，能夠讓有理數(shù)的運算方法在整個初中代數(shù)運算體系中得到推廣.

2.堅持“以學(xué)定教”“以學(xué)為主”的生態(tài)定位，促進學(xué)生發(fā)展

“以學(xué)定教”是教學(xué)定位的基本策略，任務(wù)驅(qū)動是“以學(xué)為主”的重要路徑.新課標指出，根據(jù)學(xué)生在數(shù)與式運算中的突出問題來設(shè)計課程，讓學(xué)生明白有理數(shù)的運算最核心的就是加法運算和乘法運算.新教材中用了大量引導(dǎo)、探索、操作、規(guī)律揭示等總結(jié)法則，以筑牢學(xué)生的運算基礎(chǔ).單元整合教學(xué)不是將所有知識點羅列覆蓋，而是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系和一致性，讓學(xué)生用單元整體的眼光來進行運算，并通過任務(wù)驅(qū)動讓學(xué)生提升運算能力.

3.強化運算思維訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力

新課標明確提出，能夠運用符號運算、形式推理等數(shù)學(xué)方法，分析、解決數(shù)學(xué)問題，能夠通過計算思維將各種信息約簡和形式化，進行問題求解與系統(tǒng)設(shè)計；由數(shù)的運算推廣到式的運算，以及解一元一次方程思想的應(yīng)用，在形成符號意識的同時，發(fā)展運算能力.本節(jié)課力圖讓學(xué)生理解運算的關(guān)聯(lián)，掌握相關(guān)的運算求解方法，促進代數(shù)推理能力的提升，讓學(xué)生形成一定的運算能力、推理能力和抽象能力.