【摘" 要】 高等代數(shù)作為高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程之一，以其豐富的概念體系、繁多的定理及高度抽象和邏輯嚴(yán)密的內(nèi)容著稱，對初學(xué)者而言，確實(shí)存在一定的學(xué)習(xí)難度。在教學(xué)中引入問題導(dǎo)入式教學(xué)法，能夠顯著提升教學(xué)效果，達(dá)到事半功倍的效果。該方法不僅能夠增強(qiáng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)邏輯推理能力，還能夠激發(fā)其科學(xué)創(chuàng)新能力，使學(xué)生在解決問題的過程中積累寶貴的科學(xué)研究經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而有效培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】 高等代數(shù);問題導(dǎo)入式教學(xué)法;教學(xué)效果

南宋教育家朱熹：“讀書無疑者須教有疑，有疑者卻要無疑，這里方是長進(jìn)”。明代教育家陳獻(xiàn)章：“前輩學(xué)貴有疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)。疑者，覺悟之機(jī)也，一番覺悟，一番長進(jìn)”。學(xué)起于思，思源于疑，疑問是思維的火種，思維以疑問為起點(diǎn)，有疑問才有思維，經(jīng)過思維才能解疑，故探索知識(shí)的思維過程總是從問題開始，又在研究解決問題中得到發(fā)展。可見，在我國古代教育教學(xué)中就有了問題導(dǎo)入式教學(xué)法的基本思想。

問題導(dǎo)入式教學(xué)法起源于20世紀(jì)50年代，70年代以后得到較大的發(fā)展。目前，這類教學(xué)方法在高等教育教學(xué)中已形成一種基本的改革思路和教學(xué)方式。問題導(dǎo)入式教學(xué)法在國內(nèi)學(xué)者的不斷推進(jìn)和完善下，其在高等教育教學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用，并取得良好的效果。

一、問題導(dǎo)入式教學(xué)法相比傳統(tǒng)教學(xué)法的優(yōu)勢

傳統(tǒng)的教學(xué)方法強(qiáng)調(diào)教師在課堂教學(xué)中起主導(dǎo)作用，教師控制整個(gè)課堂節(jié)奏，掌握教學(xué)進(jìn)度，發(fā)揮教育教學(xué)作用，對學(xué)生傳授知識(shí)的同時(shí)也進(jìn)行思想品德教育。然而缺點(diǎn)是教學(xué)課堂中學(xué)生參與得較少，有很大的局限性，容易形成注入式教學(xué)。問題導(dǎo)入式教學(xué)法就是以問題為線索貫穿整個(gè)教學(xué)過程，讓學(xué)生在探索問題、分析問題和解決問題的思維活動(dòng)中，掌握新知識(shí)。因此，相比傳統(tǒng)教學(xué)法，問題導(dǎo)入式教學(xué)法有以下幾點(diǎn)優(yōu)勢：

首先，問題導(dǎo)入式教學(xué)法基本思想是以問題為核心，以教學(xué)內(nèi)容（即，所要講授的知識(shí)點(diǎn)）為目標(biāo)，利用知識(shí)的遷移規(guī)律，把與所要講授的知識(shí)點(diǎn)通過相關(guān)的舊知識(shí)點(diǎn)牽引出來，讓學(xué)生根據(jù)新舊知識(shí)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系研究問題，分析問題，最后解決問題，從而達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果。該過程也是讓學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行充分的復(fù)習(xí)和帶著疑問去預(yù)習(xí)，同時(shí)，讓新舊知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合在一起，起到承上啟下，溫故而知新，事半功倍的教學(xué)效果。

其次，問題導(dǎo)入式教學(xué)法克服了傳統(tǒng)教學(xué)法簡單機(jī)械化程序，即復(fù)習(xí)導(dǎo)入、講授新知識(shí)、歸納總結(jié)和鞏固練習(xí)，最后布置課后習(xí)題。問題導(dǎo)入式教學(xué)法強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)思考和自主探究性。教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)問題，學(xué)生圍繞這些問題，自主思考，查閱資料，充分討論，尋找解決問題的方法，在這個(gè)過程中學(xué)生可以不斷摸索最適合自己的學(xué)習(xí)方法，同時(shí)也為創(chuàng)新性地解決問題積累經(jīng)驗(yàn)，并夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)。同時(shí)，有利于拓展與增強(qiáng)學(xué)生的問題意識(shí)和創(chuàng)新能力，改變了傳統(tǒng)教學(xué)單一的經(jīng)驗(yàn)式教與學(xué)模式。正如孔子曰：“不憤不啟，不悱不發(fā)。舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也?！苯處熢诮虒W(xué)活動(dòng)中要激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考的能力，要讓學(xué)生去獨(dú)立思考，并能夠“舉一反三”。教師作為引導(dǎo)者，組織者.讓學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中更好地發(fā)揮自己所長。因此，相比傳統(tǒng)的教學(xué)模式，問題導(dǎo)入式教學(xué)法更有利于激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)力，提高學(xué)習(xí)的自信心。

二、以線性空間部分教學(xué)內(nèi)容為例設(shè)計(jì)導(dǎo)入式教學(xué)過程中的問題

線性空間章節(jié)的教學(xué)目標(biāo)要求學(xué)生深刻理解線性空間的定義和掌握其性質(zhì)，熟悉常用的線性空間的例子;掌握基、維數(shù)與坐標(biāo)的概念并會(huì)靈活應(yīng)用;理解子空間的定義，掌握子空間之間的運(yùn)算并會(huì)熟練應(yīng)用，理解直和分解的思想;理解線性空間同構(gòu)的定義及判定方法，熟悉同構(gòu)的思想;理解商空間的概念和等價(jià)分類的思想。

（一）導(dǎo)入式教學(xué)法引入線性空間的定義

線性空間是高等代數(shù)最基本的概念之一，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到的第一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)過程中若直接引入概念講解相關(guān)理論，再通過邏輯推理給出相應(yīng)性質(zhì)和定理，會(huì)使學(xué)生感到抽象難懂，枯燥無味，甚至是線性空間的概念都難以記住，從而導(dǎo)致學(xué)生對學(xué)習(xí)高等代數(shù)的積極性不高，甚至產(chǎn)生厭學(xué)情緒。因此，教師可以將學(xué)生已掌握的知識(shí)點(diǎn)作為切入點(diǎn)，設(shè)計(jì)合理的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考問題，使其積極主動(dòng)地解決問題，試圖達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果，同時(shí)有效培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰涂茖W(xué)研究能力。

因此，教學(xué)初始，教師可以先從解線性方程組的解入手，通過行列式的教學(xué)，讓學(xué)生知道行列式的基本性質(zhì)和克萊姆法則，并學(xué)會(huì)判斷數(shù)域K上n個(gè)方程的n元線性方程組解的情況，并且可以給出唯一解的表達(dá)式。但此時(shí)，學(xué)生仍無法辨別無解和有無窮多個(gè)解的情形，因此需要繼續(xù)研究解的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而解決數(shù)域上線性方程組有無解，有多少解以及有無窮個(gè)解的問題。

然后，教師可以進(jìn)一步開展對線性方程組實(shí)施初等變換的教學(xué)。1. 用非零數(shù)乘以某一方程;2. 把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上;3. 互換兩個(gè)方程的位置。通過初等變換將原線性方程組簡化為階梯形方程組，從而判斷原方程組有無解以及有多少解。使學(xué)生由此受到啟發(fā)，從而引出對數(shù)域K上的n元有序數(shù)組之間定義一個(gè)加法：

（a1，a2，…，an）+（b1，b2，…，bn）（a1+b1，a2+b2，…，an+bn）.

以及對數(shù)域K的元素與n元有序數(shù)組之間定義一個(gè)乘法：

k（a1，a2，…，an）（ka1，ka2，…，kan）.

利用過往在解析幾何中學(xué)習(xí)過向量的加法，引導(dǎo)學(xué)生將α，β，γ∈Kn看成向量，思考以上定義的加法是否滿足向量的加法？學(xué)生通過驗(yàn)證可知，所定義的加法滿足向量加法的四條規(guī)則。于是，教師可以進(jìn)一步利用在解析幾何中還學(xué)習(xí)過數(shù)量與向量的乘法引導(dǎo)學(xué)生思考在數(shù)域K的元素與n元有序數(shù)組之間定義的乘法是否也滿足數(shù)量與向量乘法的四條規(guī)則？學(xué)生通過驗(yàn)證可知，所定義的乘法滿足數(shù)量與向量乘法的四條規(guī)則。

以上類比思想還可以被運(yùn)用到很多熟悉的案例中。例如解析幾何中討論過的三維空間中的向量，它有向量的加法，也就是平行四邊形法則，還有數(shù)乘向量運(yùn)算，不難驗(yàn)證這兩種運(yùn)算也滿足以上8條規(guī)則。再比如，數(shù)域K上一元多項(xiàng)式環(huán)K[x]，按通常的多項(xiàng)式加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法，不難驗(yàn)證這兩種運(yùn)算也滿足以上8條規(guī)則。以及數(shù)域K上s×n矩陣組成的集合，對通常矩陣的加法與數(shù)量乘法，不難驗(yàn)證這兩種運(yùn)算也滿足以上8條規(guī)則。

類似這樣的例子很多，它們的共同點(diǎn)是都有加法和數(shù)量乘法，且滿足向量線性運(yùn)算的8條規(guī)則。因此，教師可以根據(jù)這些類比結(jié)果設(shè)計(jì)如下問題：“通過以上例子，同學(xué)們是否可以把這些具體實(shí)例中的共同點(diǎn)抽象出來，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，并且這個(gè)數(shù)學(xué)模型能夠解決數(shù)域K上線性方程組有無解、有多少解的判定，以及有無窮個(gè)解的解集的結(jié)構(gòu)問題呢？”這樣具體的問題順理成章地引入了線性空間的定義。通過對以上問題的思考，學(xué)生就很容易理解線性空間的定義和背景了，并也知道了線性空間這個(gè)數(shù)學(xué)模型能夠解決線性方程組解的結(jié)構(gòu)問題。

（二）導(dǎo)入式教學(xué)法引入線性空間的結(jié)構(gòu)

線性空間是研究具有“線性”的空間形式數(shù)學(xué)模型，按照數(shù)學(xué)思維方式，接下來要研究它的結(jié)構(gòu)。作為具有代數(shù)結(jié)構(gòu)的一個(gè)集合，學(xué)生學(xué)習(xí)線性空間的結(jié)構(gòu)應(yīng)該考慮從線性空間的元素和子集出發(fā)，來研究其結(jié)構(gòu)。

1. 基和維數(shù)的概念

為了使學(xué)生理解基和維數(shù)的概念，教師可以設(shè)計(jì)以下問題：“從數(shù)域K上的線性空間V的元素的角度入手，結(jié)合解析幾何中向量的線性關(guān)系與向量的組合和分解的性質(zhì)進(jìn)行思考，線性空間V中的任何一個(gè)元素是否能寫成有限多個(gè)元素的線性組合的形式，或者說是否能被有限多個(gè)元素線性表示且表法唯一呢？”先讓學(xué)生對這個(gè)問題進(jìn)行思考，教師再講解線性空間的基和維數(shù)的概念，可以使抽象的數(shù)學(xué)概念變得具體化，讓學(xué)生更容易理解和接受。

2. 子空間及其運(yùn)算

從數(shù)域K上的線性空間V的子集的角度入手研究線性空間V的非空子集U，可知它對線性空間V的加法與數(shù)量乘法也構(gòu)成數(shù)域K上的一個(gè)線性空間，可以將看作的一個(gè)線性子空間，簡稱子空間。為此，教師可設(shè)計(jì)以下導(dǎo)入問題：“結(jié)合集合的運(yùn)算，考慮是否可以通過V的子空間之間的運(yùn)算來構(gòu)筑線性空間V呢？如果可以，那么研究線性空間V的結(jié)構(gòu)是否可歸結(jié)為研究若干個(gè)較為簡單的子空間的結(jié)構(gòu)呢？”通過對以上問題的引導(dǎo)，學(xué)生可以通過類比集合的運(yùn)算，再結(jié)合線性空間的性質(zhì)和元素之間的線性運(yùn)算，自然地接受了子空間的交與以及直和的概念。

3. 線性空間的同構(gòu)

本質(zhì)一樣的線性空間，可被看成同一類線性空間，這些線性空間可能表現(xiàn)出不同的元素形式，但是它們有著相同的性質(zhì)，因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可以通過熟悉的、具體的線性空間來研究未知的抽象的線性空間。除了元素的表現(xiàn)形式不同，這些線性空間的元素之間的加法和數(shù)量乘法的定義也可能有所不同，但是它們的元素之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系，使得它們對應(yīng)的元素在它們所屬的線性空間中進(jìn)行加法和數(shù)量乘法的性質(zhì)完全相同，因此從代數(shù)運(yùn)算的觀點(diǎn)來看，它們的代數(shù)結(jié)構(gòu)完全相同。

為此，教師可以設(shè)計(jì)以下導(dǎo)入問題：“從線性空間之間關(guān)系的角度來考慮。線性空間很多，是否可以將其分類？這樣就要考慮它們的本質(zhì)區(qū)別是什么？它們哪些本質(zhì)上一樣的？”在學(xué)生對該問題有所思考后，教師可以很自然地引出一個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語“同構(gòu)”來表達(dá)這些線性空間之間的關(guān)系，讓學(xué)生自然地接受了線性空間同構(gòu)的概念。

4. 商空間的概念

由于許多線性空間的結(jié)構(gòu)都比較復(fù)雜，為了簡化這些線性空間的結(jié)構(gòu)，教師可以在導(dǎo)入問題中請學(xué)生思考，是否可以對線性空間進(jìn)行劃分，把一個(gè)等價(jià)類看成一個(gè)元素，而后讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)分類的思想和商集的性質(zhì)對以上問題進(jìn)行思考，從而很自然地引入商空間的概念。

三、在高等代數(shù)教學(xué)中應(yīng)用問題導(dǎo)入式教學(xué)法的注意事項(xiàng)

問題導(dǎo)入式教學(xué)法是引導(dǎo)學(xué)生探索和思考問題，積極主動(dòng)地解決問題，從而獲得新知識(shí)。在實(shí)際的高等代數(shù)課堂教學(xué)中教師應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)。

問題導(dǎo)入式教學(xué)法在高等代數(shù)的教學(xué)中想要取得良好的教學(xué)效果，教師設(shè)計(jì)問題的質(zhì)量是關(guān)鍵，如果問題的質(zhì)量較高，新舊知識(shí)的銜接較好，學(xué)生通過對問題的分析不僅能夠順利地引出所要講授的教學(xué)內(nèi)容，還能被充分調(diào)動(dòng)起學(xué)習(xí)的積極性和學(xué)習(xí)新知識(shí)的欲望。因此，教師在設(shè)計(jì)問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)課程內(nèi)容設(shè)計(jì)探究性問題，緊緊圍繞所要教授的知識(shí)點(diǎn)來進(jìn)行，設(shè)計(jì)的問題應(yīng)具有新舊知識(shí)的銜接性、難易適度性和可探究性等特點(diǎn)，使問題一環(huán)扣一環(huán)，環(huán)環(huán)相扣，并具有可操作性。

高等代數(shù)課堂教學(xué)強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心的同時(shí)，要堅(jiān)持以教師為主導(dǎo)。課堂教學(xué)時(shí)間有限，講授知識(shí)點(diǎn)較多，再加上學(xué)生人數(shù)較多，要充分發(fā)揮每個(gè)學(xué)生積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性，又要高質(zhì)量地完成課堂教學(xué)任務(wù)，這需要教師把握好課堂節(jié)奏，保障課堂教學(xué)能夠按照教學(xué)計(jì)劃和課程進(jìn)度有序的進(jìn)行，從而高質(zhì)量地完成高等代數(shù)的教學(xué)任務(wù)。

四、結(jié)語

問題導(dǎo)入式教學(xué)法可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，豐富課堂教學(xué)手段，加強(qiáng)教學(xué)效果，提高教學(xué)質(zhì)量。不是所有的課程都適用于問題導(dǎo)入式教學(xué)法。適用于問題導(dǎo)入法的學(xué)科課程需滿足以下特點(diǎn)：首先，教學(xué)內(nèi)容是概念、規(guī)律、理論，而不是傳授實(shí)踐知識(shí)和培養(yǎng)勞動(dòng)技能;其次，教學(xué)內(nèi)容是承前啟后的，前后知識(shí)是存在普遍聯(lián)系的。在高等代數(shù)教學(xué)中實(shí)施問題導(dǎo)入式教學(xué)法，可以起到事半功倍的效果，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰涂茖W(xué)研究能力。

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