辛大偉 田雪
摘要:本文從改革教學(xué)模式、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)評(píng)價(jià)體系等方面,給出了提高高等代數(shù)教學(xué)質(zhì)量的幾點(diǎn)措施:我們?cè)诟叩却鷶?shù)的部分章節(jié)的教學(xué)中嘗試運(yùn)用了新的教學(xué)模式——問(wèn)題教學(xué)模式;將解析幾何融入到高等代數(shù)代數(shù)中,加入高等代數(shù)的背景與應(yīng)用的介紹;加強(qiáng)數(shù)學(xué)軟件在高等代數(shù)課程教學(xué)中的作用;嘗試改革考評(píng)體系。
關(guān)鍵詞:高等代數(shù);教學(xué)模式;教學(xué)內(nèi)容
中圖分類號(hào):O151文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1671—1580(2015)10—0067—03
高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的三大專業(yè)基礎(chǔ)課之一,對(duì)后繼課程的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用。然而,從我院近幾年的考試成績(jī)和考研情況看,高等代數(shù)課程的教學(xué)效果并不是很好。原因是多方面的,例如,由于我校是地方高師院校,地理位置不佳,生源質(zhì)量肯定會(huì)有所影響;由于實(shí)行績(jī)效工資,對(duì)科研考評(píng)的比重加大,教學(xué)只需完成額定工作量即可,一定程度影響了教師的教學(xué)積極性;高等代數(shù)理論性強(qiáng),定理多、定義多,令人感到枯燥乏味;學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高,自學(xué)能力差,課前不預(yù)習(xí),課后不復(fù)習(xí),不愿意做習(xí)題?;谏鲜鲈?,我們?cè)诟叩却鷶?shù)教學(xué)過(guò)程中,做了一些探索,力求提高高等代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量。
一、改革傳統(tǒng)的教學(xué)模式
傳統(tǒng)的高等代數(shù)教學(xué)是以教師講授為主,學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí),參與性不強(qiáng),進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高,學(xué)習(xí)效果不理想。為了改變這一局面,我們?cè)诟叩却鷶?shù)部分章節(jié)的教學(xué)中嘗試運(yùn)用了新的教學(xué)模式——問(wèn)題教學(xué)模式。該模式首先由教師布置任務(wù),提出問(wèn)題,然后讓學(xué)生討論,尋求問(wèn)題的答案。在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)了學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,也使學(xué)生在問(wèn)題解決中感受到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。
下面以行列式的定義教學(xué)為例介紹問(wèn)題教學(xué)模式。行列式的概念比較抽象,對(duì)于剛進(jìn)入大學(xué)的文科生來(lái)說(shuō),難度可想而知。在處理這個(gè)問(wèn)題上,我們先來(lái)介紹行列式的起源,從解二元一次方程組入手,給出一個(gè)二元一次方程組:
a11x1+a12x2=b1
a21x1+a22x2=b2
先讓學(xué)生用中學(xué)所學(xué)的消元法求出解:
x1=b1a22-a12b2a11a22-a12a21
x2=a11b2-a21b1a11a22-a12a21
之后觀察解,提示學(xué)生引入行列式的本來(lái)目的就是為了解n 元一次方程組,當(dāng)n充分大以后,再用這個(gè)方法來(lái)解,難度相當(dāng)大,為此定義二階行列式:
a11a12
a21a22=a11a22-a12a21.
同理,從解三元一次方程組入手,定義三階行列式:
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32.
接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生觀察二階和三階行列式的定義,從中找出規(guī)律,問(wèn)二階行列式有多少項(xiàng)?每一項(xiàng)幾個(gè)元素乘積?這些元素的取法滿足什么規(guī)律?三階行列式呢?經(jīng)過(guò)討論,學(xué)生得出結(jié)果,二階行列式有2!項(xiàng),每一項(xiàng)2個(gè)元素乘積,三階行列式有3!項(xiàng),每一項(xiàng)3個(gè)元素的乘積,這些元素均取自不同的行、不同的列。再問(wèn)學(xué)生,怎么定義n 階行列式呢?經(jīng)學(xué)生討論后,得出結(jié)論,n 階行列式有n!項(xiàng)?每一項(xiàng)有n個(gè)元素,且這n個(gè)元素取自不同行不同列。那么每一項(xiàng)取正號(hào)還是負(fù)號(hào)呢?學(xué)生肯定很想知道,這時(shí)告訴他們,這需要學(xué)習(xí)排列的知識(shí)。顯而易見,學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性被調(diào)動(dòng)起來(lái)了,對(duì)知識(shí)有著某種渴望。
再以線性變換的對(duì)角化為例來(lái)談一下問(wèn)題教學(xué)模式。先給出線性變換可對(duì)角化的定義,設(shè)φ是數(shù)域K上n維線性空間V的一個(gè)線性變換,如果存在V中的一組基,使φ的矩陣為對(duì)角形,就稱φ可對(duì)角化。再問(wèn)學(xué)生:為什么研究線性變換的對(duì)角化呢?給定一組基后,線性變換和矩陣一一對(duì)應(yīng),線性變換構(gòu)成的線性空間和矩陣構(gòu)成的線性空間同構(gòu),因此可以用矩陣來(lái)研究線性變換。問(wèn)題是給定一個(gè)線性變換后,如何恰當(dāng)?shù)剡x擇一組基,使某個(gè)矩陣和它對(duì)應(yīng)。當(dāng)然我們希望和線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣越簡(jiǎn)單越好。經(jīng)過(guò)前面的學(xué)習(xí),大家會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)角矩陣是足夠簡(jiǎn)單的。自然地,我們考慮如何選取一組恰當(dāng)?shù)幕祝咕€性變換和對(duì)角矩陣建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系。這就是研究矩陣對(duì)角化的理由。繼續(xù)提問(wèn),是否每個(gè)線性變換都可以對(duì)角化呢?能否舉例?可以對(duì)角化的線性變換要滿足什么條件呢?回答。那么怎么對(duì)角化呢?不能夠?qū)腔木仃囋趺崔k?準(zhǔn)對(duì)角化。
二、改革教學(xué)內(nèi)容
1.將解析幾何融入到高等代數(shù)教學(xué)中
高等代數(shù)中有些概念、結(jié)論很抽象,對(duì)于初學(xué)者來(lái)講是個(gè)很大的障礙,如向量組線性相關(guān)、向量組等價(jià)等。如果將解析幾何與高等代數(shù)相結(jié)合,那么幾何將給代數(shù)提供了直觀模型,同時(shí)代數(shù)也給幾何提供了研究方法。其中有關(guān)向量的內(nèi)容、直線、平面,和線性代數(shù)結(jié)合是很自然的,對(duì)代數(shù)與幾何的融匯,相互影響是有利的。例如,三維向量組α1,α2,α3 線性相關(guān),不妨假設(shè)α1 可以由α2,α3線性表出,從幾何角度看,實(shí)質(zhì)就是α1在α2,α3所確定的平面上。又如幾何中的二次曲線與二次曲面的分類,實(shí)際上就是實(shí)二次型的分類的幾何背景。
2.加入高等代數(shù)的背景與應(yīng)用的介紹
上好第一堂課非常重要。加入高等代數(shù)的背景介紹,能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。實(shí)踐中,我們?cè)诟叩却鷶?shù)的第一節(jié)課先來(lái)介紹代數(shù)學(xué)的發(fā)展史,使學(xué)生對(duì)高等代數(shù)有一個(gè)粗略的認(rèn)識(shí)。我們是這樣介紹的:18世紀(jì)前的代數(shù)學(xué)主要研究中學(xué)階段所學(xué)的初等代數(shù)。18世紀(jì)~19世紀(jì)關(guān)心的是怎么解方程。方程有兩類:
一類是一個(gè)未知數(shù)的2次、3次等的高次方程,如:
anxn+…+a0=0
關(guān)心的問(wèn)題是找根式解。根式解是指用加減乘除開方及系數(shù)來(lái)表的解。一元2次、3次、4次方程都有根式解。1824年,Abel證明了一元5次及5次以上的方程無(wú)根式解。1830年,Galois 給出方程能否根式求解的判別方法。至此方程求解告一段落。
另一類方程是多變量的、次數(shù)為1的線性方程組。中學(xué)學(xué)過(guò)2、3個(gè)變量的,這門課學(xué)習(xí)一般情況,n 個(gè)變量的。在研究過(guò)程中產(chǎn)生了一些新的概念,如行列式、矩陣(重要的數(shù)學(xué)分支,應(yīng)用廣)、向量空間等。1930年,范德瓦爾登的著作《代數(shù)學(xué)》是劃時(shí)代的,是代數(shù)發(fā)展的里程碑。從這以后代數(shù)學(xué)研究的是代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng),如群環(huán)域。研究對(duì)象不僅僅是數(shù)了,很抽象,當(dāng)然也有稍微具體點(diǎn)的,如置換,矩陣等,主要研究它們的運(yùn)算性質(zhì)。
為了進(jìn)一步調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,筆者幫助學(xué)生解決了下面兩個(gè)問(wèn)題:高等代數(shù)有什么用? 為什么要學(xué)習(xí)高等代數(shù)?理由有如下幾點(diǎn):
(1)我校已實(shí)行學(xué)分制,高等代數(shù)共兩個(gè)學(xué)期,8.5個(gè)學(xué)分,為了能拿到學(xué)位,必須學(xué)好高等代數(shù),得到這個(gè)學(xué)分。
(2)作為師范專業(yè)的學(xué)生,畢業(yè)后絕大部分同學(xué)去做中學(xué)教師,而高等代數(shù)對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)有指導(dǎo)作用,比如多項(xiàng)式的因式分解理論。
(3)我們學(xué)院考研氛圍濃厚,每年都有20%左右的學(xué)生考取研究生,只要你考數(shù)學(xué)專業(yè),初試基本上都是要考高等代數(shù)的。
(4)高等代數(shù)在物理、化學(xué)、生物、計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用,如果要在這些行業(yè)中生存,學(xué)好高等代數(shù)是必須的。
3.加強(qiáng)數(shù)學(xué)軟件在高等代數(shù)課程教學(xué)中的作用
高等代數(shù)課程應(yīng)該注重與數(shù)學(xué)軟件的結(jié)合。在高等代數(shù)教學(xué)中增加數(shù)學(xué)軟件使用的實(shí)驗(yàn)課很有必要,特別是不完全按軟件手冊(cè)的方式介紹Matlab的各種用途,軟件使用的介紹最好力求簡(jiǎn)單,不必講得太多、太繁,最好圍繞高等代數(shù)課程的教學(xué)內(nèi)容來(lái)介紹如何使用Matlab。這有助于讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件以及用高等代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,同時(shí)通過(guò)對(duì)一些具體問(wèn)題的計(jì)算,也能幫助學(xué)生理解一些抽象的代數(shù)概念,拓寬學(xué)生的視野和培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。線性方程組是高等代數(shù)的主要研究對(duì)象,但是高等代數(shù)中主要是討論線性方程組有解的情況下解的結(jié)構(gòu)。事實(shí)上,無(wú)解的線性方程組可以有最小二乘解(最優(yōu)的近似解),這在實(shí)際問(wèn)題中會(huì)經(jīng)常遇到的, 例如由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立起來(lái)的方程組很可能無(wú)解。Matlab函數(shù)庫(kù)中已有最小二乘解的算法。因此,我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中就介紹了如何利用Matlab求解線性方程組的最小二乘解。這樣,既完備了線性方程組各種情況的處理方法,也對(duì)實(shí)用有利。
三、改革考試評(píng)價(jià)體系
高等代數(shù)課目前采用平時(shí)成績(jī)+期末考試成績(jī)的考評(píng)機(jī)制,但在實(shí)施中存在許多問(wèn)題。主要體現(xiàn)在平時(shí)成績(jī)的評(píng)定上。設(shè)置平時(shí)成績(jī)的目的,是為了起到督促學(xué)生學(xué)習(xí)的目的,但實(shí)際上,平時(shí)成績(jī)主要根據(jù)出勤和作業(yè)來(lái)給分,這很難能達(dá)到目的,比如作業(yè)這一塊,現(xiàn)在市面上教輔資料非常多,網(wǎng)上也很容易就能獲得電子版的習(xí)題解答,好多同學(xué)為了應(yīng)付老師,直接引用。
鑒于此,我們將嘗試改進(jìn)考評(píng)體系。對(duì)于平時(shí)成績(jī)這一塊,不能像以往只是根據(jù)出勤和作業(yè)來(lái)給分,將引入隨堂測(cè)驗(yàn)和小論文。具體操作上,可以在每周的最后一次課,留一點(diǎn)時(shí)間,布置幾個(gè)題目,考察學(xué)生這一周的學(xué)習(xí)情況,這種方式雖說(shuō)會(huì)占用課堂教學(xué)時(shí)間,但是能真實(shí)反映學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度,有助于教師根據(jù)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況做相應(yīng)的調(diào)整。同時(shí),也要在每章結(jié)束后,布置一個(gè)小論文,讓學(xué)生可以查閱資料,與他人合作完成,如講完矩陣這一章后,可以布置可逆矩陣的判定與性質(zhì)這樣的題目;學(xué)完二次型之后,布置二次型化標(biāo)準(zhǔn)形的意義與方法等。這將充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。
期末考試應(yīng)嚴(yán)格按照教學(xué)大綱執(zhí)行,題目要覆蓋大多數(shù)知識(shí)點(diǎn),題型要多樣化,難度要適中,不能一味地考慮及格率,最好實(shí)行教考分離。
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