摘"要：在互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，為保證傳輸信息的機(jī)密性，需對(duì)信息進(jìn)行加解密。加解密算法設(shè)計(jì)與線性代數(shù)知識(shí)息息相關(guān)，基于密碼學(xué)理論的線性代數(shù)混合式教學(xué)，能夠提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂教學(xué)效率。本文以矩陣的逆這個(gè)教學(xué)內(nèi)容為例，課前發(fā)布學(xué)習(xí)資源與任務(wù)，課上通過案例引入知識(shí)點(diǎn)，課后進(jìn)行評(píng)價(jià)測(cè)試。通過這一系列教學(xué)設(shè)計(jì)將信息技術(shù)應(yīng)用于教學(xué)實(shí)踐，在課堂中融入思政教育，實(shí)現(xiàn)傳道授業(yè)解惑相統(tǒng)一。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；矩陣的逆；混合式教學(xué)；課程思政

中圖分類號(hào)：G4"""""文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""""""doi：10.19311/j.cnki.16723198.2024.18.086

線性代數(shù)作為非數(shù)學(xué)類理工科學(xué)生的一門必修課，是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)很多專業(yè)課知識(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)于加強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力十分重要。混合式教學(xué)是線上線下相結(jié)合，綜合兩種教學(xué)組織形式的優(yōu)勢(shì)，旨在提升學(xué)生學(xué)習(xí)的深度與廣度的教學(xué)模式，為培養(yǎng)學(xué)生對(duì)線性代數(shù)學(xué)習(xí)的興趣，可以將密碼學(xué)知識(shí)引入到線代課堂中，使學(xué)生體會(huì)學(xué)科融合的魅力。本文將以矩陣的逆這一節(jié)為教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合密碼學(xué)加解密的知識(shí)，給出在線性代數(shù)中實(shí)施混合式教學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)思路。

1"教學(xué)目標(biāo)與設(shè)計(jì)思路

為實(shí)現(xiàn)立德樹人，培養(yǎng)應(yīng)用型人才的任務(wù)，教師可以以相關(guān)專業(yè)知識(shí)作為切入點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)。以矩陣的逆為教學(xué)內(nèi)容，制定如下教學(xué)目標(biāo)：在知識(shí)目標(biāo)上，學(xué)生能夠掌握求解矩陣的逆的兩種方式；能力目標(biāo)上，通過案例式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并解決該問題的能力；思政目標(biāo)上，結(jié)合案例知識(shí)背景，引導(dǎo)學(xué)生樹立網(wǎng)絡(luò)安全意識(shí)，提升學(xué)生的民族自豪感。為實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)設(shè)計(jì)思路如圖1所示。

課前通過超星學(xué)習(xí)通平臺(tái)發(fā)布學(xué)習(xí)資源，在節(jié)省課堂教學(xué)時(shí)間、提高教學(xué)效率的同時(shí)，做到在教學(xué)中以學(xué)生為主體。課中借助密碼學(xué)加解密知識(shí)引入教學(xué)內(nèi)容，增強(qiáng)了學(xué)生借助數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力。在課上除了核心知識(shí)的講解還加入了編程實(shí)現(xiàn)，有利于幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，也為想要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模知識(shí)的同學(xué)打下理論知識(shí)基礎(chǔ)。課后增加課堂評(píng)價(jià)以及測(cè)試環(huán)節(jié)，教師可以通過學(xué)生的教學(xué)評(píng)價(jià)了解這堂課的教學(xué)效果，進(jìn)行深刻的教學(xué)反思，不斷完善教學(xué)設(shè)計(jì)，提升教學(xué)水平。

2"教學(xué)過程

2.1"課前：發(fā)布學(xué)習(xí)資源及任務(wù)

2.1.1"學(xué)習(xí)通推送新聞

學(xué)習(xí)通推送學(xué)術(shù)新聞：王小云院士及其團(tuán)隊(duì)歷經(jīng)多年努力，成功破解在計(jì)算機(jī)安全系統(tǒng)中應(yīng)用非常廣泛的MD5和SHA-1兩大密碼算法。讓學(xué)生查看此新聞?dòng)幸韵聝蓚€(gè)目的：一是學(xué)習(xí)王院士團(tuán)隊(duì)腳踏實(shí)地，不忘初心為科研發(fā)展做出努力的精神；二是王院士團(tuán)隊(duì)破解MD5碼這個(gè)重要成就在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的同時(shí)也能提升民族自豪感。

2.1.2"學(xué)習(xí)通發(fā)布教學(xué)資料包

信息時(shí)代，為防止信息泄露，通常會(huì)對(duì)傳輸?shù)男畔⑦M(jìn)行加密，后經(jīng)解密收信方可看到原傳輸信息。對(duì)稱密碼體制是現(xiàn)代密碼體制中應(yīng)用較為廣泛的一類，它的加解密工作原理如圖2。

明文（原傳輸信息）在密鑰和加密算法作用下生成密文，密文在密鑰與解密算法下可恢復(fù)明文。在對(duì)稱密碼中，加解密密鑰相同，解密是加密的逆過程。希爾密碼是一種對(duì)稱密碼，它借助矩陣的相關(guān)理論對(duì)傳輸?shù)男畔⑦M(jìn)行加解密，希爾密碼字母與數(shù)字有如表1的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中涉及的運(yùn)算都是剩余類環(huán)Ζ26上進(jìn)行。若給出密鑰所對(duì)應(yīng)的矩陣（簡(jiǎn)記為密鑰矩陣）為2153，明文為love，思考得到的密文是什么？

若通過希爾密碼進(jìn)行加解密，則已知明文與密鑰矩陣求解密文的步驟如下：

第一步：明文分組。已知密鑰為二階方陣，則明文需要兩兩一組，分為lo，ve這兩組進(jìn)行加密；

第二步：將字母替換為數(shù)字1114，214；

第三步：通過矩陣乘法運(yùn)算得到密文對(duì)應(yīng)的數(shù)字：

21531114=3697

而36≡10（mod26），97≡19（mod26），則在Ζ26上有21531114=1019，不妨簡(jiǎn)記為：

21531114=3697≡1019（mod26）

2153214=46117≡2013（mod26）；

第四步：將密文數(shù)字轉(zhuǎn)化為字母。1019，2013對(duì)應(yīng)的字母分別為kt，un，故密文為ktun。

設(shè)計(jì)意圖：一方面拓展學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)面，讓學(xué)生從這個(gè)例子中體會(huì)到線性代數(shù)的應(yīng)用；另一方面學(xué)生提前了解相關(guān)知識(shí)，課上教學(xué)效率大大提高。

2.2"課中

2.2.1"問題引入

某次軍事演練中，攔截到敵方一傳輸信息為frawqi，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，信息加密使用的是希爾密碼，其中密鑰矩陣為A=0121142251，現(xiàn)需要破譯敵方傳遞的原信息是什么？

設(shè)計(jì)意圖：拋出問題，激發(fā)學(xué)生的探索欲與求知欲。

2.2.2"分析問題，將其轉(zhuǎn)化為常見數(shù)學(xué)問題

設(shè)明文（原傳輸信息）為α→，密文為β→，則有β→=Aα→。密文對(duì)應(yīng)frawgi，根據(jù)密鑰方陣階數(shù)將密文分組，后轉(zhuǎn)化為數(shù)字，得到密文對(duì)應(yīng)的向量β→。已知A，β→且β→=Aα→，求解α→的問題有以下兩種方式：一是在行列式|A|≠0時(shí)，借助克萊姆法則求解。二是若方陣A可逆，則A－1β→=α→。

2.2.3"重點(diǎn)知識(shí)講解

對(duì)于方陣A，如何判斷其是否可逆呢？若可逆，它的逆矩陣A－1如何求解？這需要用到下面的定理：

定理1"n階方陣A可逆的充要條件是A≠0，且A－1=AA。

為求解出明文信息，我們首先要確定方陣A是否可逆。根據(jù)

A=0121142251=0+8+50－4－1－0=53≡1（mod26）

可知矩陣A可逆。而又由于

A11=5，A12=7，A13=23，A21=49≡23（mod26），A22=－4≡22（mod26），A23=2，A31=2，A32=2，A33=－1≡25（mod26）

可確定伴隨矩陣為

A=A11A21A31A12A22A32A13A23A33=5232722223225，

則A的逆矩陣

A－1=AA=5232722223225。

思考借助定理1去求解矩陣的逆這個(gè)方法，在方陣階數(shù)比較高時(shí)，有沒有什么問題？在4階方陣中，要求解方陣的伴隨矩陣，需要求解16個(gè)三階行列式，求解5階方陣的逆時(shí)，需要計(jì)算25個(gè)4階行列式，方陣階數(shù)越高，計(jì)算難度越大。那有沒有其他求解矩陣的逆的方法呢？

根據(jù)矩陣等價(jià)關(guān)系的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)借助矩陣的初等行變換（列變換）A|E初等行變換E|A－1或AE初等列變換EA－1能夠求解A－1。下面以初等行變換為例來求解。

0121001140102251001r1r21140100121002251001

r3－2r1114010012100023－70－21r3－23r211401001210000－53－23－21

≡11401001210000－1－23－21－r3114010012100001232－1

r1－4r3r2－2r3110－92－74010－45－42001232－1r1－r2100－47－32010－45－42001232－1

"≡1005232010722200123225（mod26），

故A－1=5232722223225。

以上就是求解n階方陣的逆的兩種方法，在得到密鑰矩陣的逆矩陣A－1后，借助α→=A－1β→可確定明文（原傳輸信息）：

第一步：密文frawqi根據(jù)密鑰行列數(shù)分為3個(gè)字符一組，即：fra，wqi；

第二步：將分組后信息轉(zhuǎn)碼為數(shù)字5170，22168；

第三步：明文對(duì)應(yīng)的數(shù)字為

52327222232255170=416409149≡01919（mod26），

523272222322522168=494522738≡0210（mod26）；

第四步：確定明文。根據(jù)表1可知01919對(duì)應(yīng)字母att，0210對(duì)應(yīng)字母ack，故明文為attack。

2.2.4"學(xué)以致用

在上述實(shí)例中確定原傳輸信息的計(jì)算都是限制在剩余類環(huán)Ζ26中的，而若在實(shí)數(shù)域中求解矩陣的逆則無須考慮同余問題，其他求解過程類似。以下題為例，學(xué)生練習(xí)該題目后教師講解。

判斷矩陣B=111123136是否可逆，若可逆，求其逆矩陣。

2.2.5"編程實(shí)現(xiàn)

實(shí)際問題中，在求解方陣的逆時(shí)，方陣的行列數(shù)可能非常大，動(dòng)手計(jì)算將十分繁瑣，下面將介紹如何利用matlab軟件求解矩陣的逆。

C=[1，2，3，4;1，0，1，2;3，-1，-1，0;1，2，0，-5]

inv（C）

ans"=

0.0417""0.1250""0.2500""0.0833

0.9167""-2.2500""0.5000""-0.1667

-0.7917""2.6250""-0.7500""0.4167

0.3750""-0.8750""0.2500""-0.2500

2.2.6"課堂小結(jié)與作業(yè)布置

教師總結(jié)教學(xué)思路，再次強(qiáng)調(diào)本節(jié)課的重難點(diǎn)：求解矩陣的逆的兩種方法。

開放性作業(yè)：學(xué)生課下尋找線性代數(shù)知識(shí)在信息安全上的其他應(yīng)用，例如：AES算法設(shè)計(jì)中的行移位涉及線性變換，列混合涉及矩陣的相乘運(yùn)算，線性反饋移位寄存器的工作原理以及反饋函數(shù)系數(shù)的確定涉及線性方程組求解問題。

2.3"課后

學(xué)習(xí)通發(fā)布課堂評(píng)價(jià)，讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課學(xué)到了什么內(nèi)容，思考有沒有疑問？為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，鞏固學(xué)習(xí)內(nèi)容，課后學(xué)習(xí)通發(fā)布學(xué)習(xí)測(cè)試，根據(jù)學(xué)生的答題情況自我評(píng)價(jià)本節(jié)課的教學(xué)效果，據(jù)此進(jìn)行教學(xué)反思。

3"教學(xué)總結(jié)

本節(jié)課通過線上線下相結(jié)合的混合式教學(xué)模式，借助學(xué)習(xí)通平臺(tái)課前發(fā)布學(xué)習(xí)資源，課后進(jìn)行課堂評(píng)價(jià)、討論以及學(xué)習(xí)測(cè)試，教師可有效獲得學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)與教學(xué)效果評(píng)價(jià)，學(xué)生也可以看到線性代數(shù)知識(shí)的應(yīng)用場(chǎng)景，培養(yǎng)借助數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的意識(shí)與能力。

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